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魏康鸿-第一讲、不等式与不等式组-学生


第 1 讲 不等式与不等式组
知识点汇总 9.1 不等式 9.1.1 不等式及其解集 用“<”或“>”号表示不等关系的符号,表示大小关系的式子叫做不等式。 (≥, ≤,≠) 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。 能使不等式成立的未知数的取值范围,叫做不等式解的集合,简称解集。 含有一个未知数,未知数的次数是 1 的不等式,叫做一元一次不等式。 9.1.2 不等式的性

质 不等式有以下性质: 不等式的性质 1 不等式两边加(或减)同一个数(或式子) ,不等号的方向不变。 不等式的性质 2 不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。 不等式的性质 3 不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。 9.2 实际问题与一元一次不等式 解一元一次方程,要根据等式的性质,将方程逐步化为 x=a 的形式;而解一元一次 不等式,则要根据不等式的性质,将不等式逐步化为 x<a(或 x>a)的形式。 解一元一次不等式的方法与解一元一次方程相类似:去分母->去括号->移项->合并 同类项->系数化为一(注:如果系数是负数则需要改变不等号的方向,正数则不改变) 9.3 一元一次不等式组 把两个不等式合起来,就组成了一个一元一次不等式组。 几个不等式的解集的公共部分,叫做由它们所组成的不等式的解集。解不等式就是 求它的解集。 对于具有多种不等关系的问题,可通过不等式组解决。解一元一次不等式组时。一 般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,利用数轴可以直观地表示 不等式组的解集。 9.4 带有绝对值的不等式有两种形式

a?b (1) a ? b ,可以变形为不等式组 ? ;注意:若 b>0 时才如此;若 b≤0 时,本不 ? ?a ? ?b 等式无解。
(2) a ? b ,可以变形为 a>b 或 a<-b,条件是 b≥0,这里的解集是“或者”的关系, 两个不等式的解集都是 a ? b 的解集中的一部分。若 b<0 时,a 可以取全体有理数。 一、选择题

? x ? 2 ≥ ?1 1.不等式组 ? 的解集在数轴上可表示为( ?3x ? 1 ? 8
A.
0 1 1 2 2 3 3 4 4



B.
0
1

C. D.
0 0 1 1 2 2 3 3 4 4

2.如果不等式组 ? A .m=2

? ?2 x ? 1>3 ? x ? 1? 的解集是 x<2 ,那么 m 的取值范围是 ? ? x<m
B.m>2 C.m<2 D.m≥2

3.若不等式组 ? A.m≤
5 3

?5 ? 3 x ? 0 有实数解,则实数 m 的取值范围是( ?x ? m ? 0



B.m<

5 3

C.m>

5 3

D.m≥

5 3

4.下列不等式组的解集,在数轴上表示为如图所示的是(



? x ?1 ? 0 A. ? ?x ? 2 ? 0 ?x ?1 ? 0 C. ? ?x ? 2 ? 0

? x ?1 ? 0 B. ? ?x ? 2 ? 0 ?x ?1 ? 0 D. ? ?x ? 2 ? 0

5. 在四川抗震救灾中,某抢 险地段需实行爆 破.操作人员点燃导火线后,要在炸药爆炸前跑到 400 米以外的安全区域.已知导火线 的燃烧速度是 1.2 厘米/秒,操作人员跑步的速度是 5 米/秒.为了保证操作人员的安全, 导火线的长度要超 过( ) A.66 厘米 B.76 厘米 C.86 厘米 D.96 厘米 6.某市打市电话的收费标准是:每次 3 分钟以内(含 3 分钟)收费 0.2 元,以后每分钟收 费 0.1 元(不足 1 分钟按 1 分钟计) .某天小芳给同学打了一个 6 分钟的市话,所用电话 费为 0.5 元;小刚现准备给同学打市电话 6 分钟,他经过思考以后,决定先打 3 分钟,挂 断后再打 3 分钟,这样只需电话费 0.4 元.如果你想给某同学打市话,准备通话 10 分钟, 则你所需要的电话费至少为( ) A. 0 . 6 元 B. 0.7 元 C. 0.8 元 D. 0.9 元 二、填空题

?2 x ? 1 ? 5 1.不等式组 ? 的整数解为 ? x ? 1 ? ?1
2.已知关于 x 的方程
2x ? m ? 3 的解是正数,则 m 的取值范围为____________ . x?2

?2 x ? a ? 1 3.不等式组 ? 的解集为-1<x<1, 那么(a+1)(b-1)= _________ ? x ? 2b ? 3

4. (2011 山东临沂,17,3 分)有 3 人携带会议材料乘坐电梯,这 3 人的体重共 210kg, 每捆材料重 20kg,电梯最大负荷为 1050kg,则该电梯在此 3 人乘坐的情况下最多还能搭
2

载 捆材料. 5.我国从 2011 年 5 月 1 日起在公众场所实行“禁烟” ,为配合“禁烟”行动,某校组织 开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛,共有 20 道题.答对一题记 10 分,答错(或不 答)一题记 ?5 分.小明参加本次竞赛得分要超过 100 分,他至少要答对 道题. 三、解答题 6、解不等式 2 ? 3x ? x ? 5 ? ? 4 x ? 1 ? 2 4 4 6 3

7、 若不等式组

无解,则

的取值范围是什么?

8、

?16x ? 3 y ? 3 z ? 10 ? ?3x ? 16 y ? 3 z ? 14 ?3 x ? 3 y ? 16z ? 20 ?

(1) (2) (3)

9、若关于 x 的方程 x ? x ? m ? 2 ? x 的解是非负数,求 m 取值范围。 2 2

10、 求不等式 ? 2 ? 2(1 ? 3x) ? 4 的整数解。 5

3

11、解不等式:(1) (2x+1)2-7<(x+m)2+3x(x-1)

(2) x ? 4 ? 2x ? 3 ? 1

12、 (1)如果关于 x 的方程 3(x+4)-4=2a+1 的解大于方程
值范围.

4a ? 1 a(3 x ? 4) 的解.求 a 的取 x? 4 3

(2)不等式

1 ( x ? m) ? 2 ? m 的解集为 x>2.求 m 的值. 3

13. (2011 广东广州市,21,12 分)某商店 5 月 1 日举行促销优惠活动,当天到该商店 购买商品有两种方案,方案一:用 168 元购买会员卡成为会员后,凭会员卡购买商店内 任何商品,一律按商品价格的 8 折优惠;方案二:若不购买会员卡,则购买商店内任何 商品,一律按商品价格的 9.5 折优惠.已知小敏 5 月 1 日前不是该商店的会员. (1)若小敏不购买会员卡,所购买商品的价格为 120 元时,实际应支付多少元? (2)请帮小敏算一算,所购买商品的价格在什么范围内时,采用方案一更合算?

14. 筹建中的城南中学需 720 套担任课桌椅,光明厂承担了这项生产任务,该厂生产桌子
4

的必须 5 人一组,每组每天可生产 12 张;生产椅子的必须 4 人一组,每组每天可生产 24 把.已知学校筹建组要求光明厂 6 天完成这项生产任务. (1)问光明厂平均每天要生产多少套单人课桌椅? (2)先学校筹建组组要求至少提前 1 天完成这项生产任务,光明厂生产课桌椅的员工增 加到 84 名,试给出一种分配生产桌子、椅子的员工数的方案.

15. 某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器,若购进电脑机箱 10 台和液 晶显示器 8 台,共需要资金 7000 元;若购进电脑机箱 2 台和液晶显示器 5 台,共需要资 金 4120 元. (1)每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元? (2)该经销商计划购进这两种商品共 50 台,而可用于购买这两种商品的资金不超过 22240 元. 根据市场行情, 销售电脑机箱、 液晶显示器一台分别可获利 10 元和 160 元. 该 经销商希望销售完这两种商品,所获利润不少于 4100 元.试问:该经销商有哪几种进货 方案?哪种方案获利最大?最大利润是多少

四、课后巩固
1.满足 5(x-1)≤4x+8<5x 的整数 x 为______. | x ?1| 2.若 ? 1 ,则 x 的取值范围是______. 1? x 3.若点 M(3a-9,1-a)是第三象限的整数点,则 M 点的坐标为______.

5

4.若关于 x,y 的二元一次方程组 ?

?3x ? y ? 1 ? a 的解满足 x ? y<2 ,则 a 的取值范围为____. ?x ? 3y ? 3
). (B)-2a<2(-a) (D) ? ).

5.关于 x 的不等式 3 x ? a ? 0 ,只有两个正整数解.则 a 的取值范围是______ 6.若 a≠0,则下列不等式成立的是( (A)-2a<2a (C)-2-a<2-a 7.下列不等式中,对任何有理数都成立的是(

2 2 ? a a

(A)x-3>0 (B)|x+1|>0 2 (C)(x+5) >0 (D)-(x-5)2 ≤0 8.若 a<0,则关于 x 的不等式|a|x<a 的解集是( ). (A)x<1 (B)x>1 (C)x<-1 (D)x>-1 9.若不等式 2x<4 的解都能使关于 x 的一次不等式(a-1)x<a+5 成立,则 a 的取值范围是 A (A)1<a≤7 (B)a≤7 (C) a<1 或 a≥7 (D)a=7

10.某商贩去菜摊卖黄瓜,他上午卖了 30 斤,价格为每斤 x 元;下午他又卖了 20 斤,价格为每斤 y 元.后来他以每斤 (A)x<y 11.

x? y 元的价格卖完后,结果发现自己赔了钱,其原因是( 2
(B)x>y (C)x≤y (D)x≥y

).

2x ?1 6x ? 7 2x ? 5 ? ? ? 1. 3 4 12

?2( x ? 8) ? 10 ? 4( x ? 3), ? 12. ? x ? 1 3x ? 1 ? ? 1. ? 2 ? 3

13.x 取何整数时,式子

9 x ? 2 3 x ? 14 与 的差大于 6 但不大于 8. 2 7

6

14. 今年我省干旱灾情严重,甲地急需要抗旱用水 15 万吨,乙地 13 万吨.现有 A、B 两 水库各调出 14 万吨水支援甲、乙两地抗旱.从 A 地到甲地 50 千米,到乙地 30 千米;从 B 地到甲地 60 千米,到乙地 45 千米. ⑴设从 A 水库调往甲地的水量为 x 万吨,完成下表 甲 乙 总计 调入地 水量/万吨
调出地

A x 14 B 14 总计 15 13 28 ⑵请设计一个调运方案,使水的调运量尽可能小. (调运量=调运水的重量×调运的距 离,单位:万吨?千米)

15. 为了保护环境, 某化工厂一期工程完成后购买了 3 台甲型和 2 台乙型污水处理设备, 共花费资金 54 万元,且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的 75%,实际运行中发 现,每台甲型设备每月能处理污水 200 吨,每台乙型设备每月能处理污水 160 吨,且每 年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为 1 万元,每年用于每台乙型设备的各种维护 费和电费为 1.5 万元.今年该厂二期工程即将完成,产生的污水将大大增加,于是该厂决 定再购买甲、乙两型设备共 8 台用于二期工程的污水处理,预算本次购买资金不超过 ...84 万元,预计二期工程完成后每月将产生不少于 ...1300 吨污水. (1)请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元? (2)请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案; (3)若两种设备的使用年限都为 10 年,请你说明在(2)的所有方案中,哪种购买方案 的总费用最少?(总费用=设备购买费+各种维护费和电费)

7


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