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2007年宁波市高一数学竞赛


2007 年宁波市高一数学竞赛(二试)
2007 年 5 月 13 上午 9 : 00 ? 11: 00 注:本试卷可使用计算器. 一、 选择题:本大题共有 10 小题,每小题 6 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一项是正确 的。 1、 a , b 为实数,集合 M ? ? ,1? , P ? ?a, 0? , f : x ? x 表示把集合 M 的元素

x 映射到集合 P 中仍为 x ,则

?b ? ?a ?

a?b ? (A) ?1 (B) 0
2、

(C) 1

(D) ?1

1 ? sin 40? cos 20? ? 1 ? cos2 160?
(B)

化简的结果为 (D) ?1

(A) 1 ? sin 40?

1 cos 20? ? sin 20?

(C) 1

3、 已知 A(0, ?1), B(2, 2), C (4, ?6) ,则 AB 在 AC 方向上的投影为 (A)

7 41

(B) ?

7 41

(C)

7 13

(D) ?

7 13

4、 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? an ? an ? (A) 2550

1 4

(B) 2500

1 , 则 a99 ? 4 1 (C) 2450 (D) 2401 4

? x ? ? )( ? ? 0, x ? R 满足 ) f ( x ? 1) ? f ( x )? f ( x? 1) 5、 已知函数 f ( x) ? sin( 对任意的 x ? R 都成立。若
A ? sin(? x ? ? ? 9? ), B ? sin(? x ? ? ? 9? ) ,则 A 与 B 的大小关系是
(A) A ? B (B) A ? B (C) A ? B (D)不确定

6、 设 a, b, c 为实数, 4a ? 4b ? c ? 0, a ? 2b ? c ? 0 。则下列四个结论中正确的是 (A) b ? ac
2

(B) b ? ac
2

(C) b ? ac且a ? 0
2

(D) b ? ac且a ? 0
2

7、 设 f ( x) ? x sin x ,若 x1 , x2 ? ? ? (A) x1 ? x2 (B) x1 ? x2 ? 0

? ? ?? 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,下列结论中必定成立的是 , ? 2 2? ?
(C) x1 ? x2 (D) x1 ? x2
2 2

8、 曲线 y ? 5sin(2 x ? (A)5 (B)6

?
6

) 与直线 y ? x 的交点个数是
(D)8

(C)7

9、 函数 f 定义在正整数有序对的集合上,并满足 f ( x, x) ? x, f ( x, y) ? f ( y, x),

1

( x ? y) f ( x, y) ? yf ( x, x ? y) ,则 f (14,52) 的值为
(A)364 (B)182 10、 (C)91 (D)无法计算

O 是 平 面 上 一 定 点 , A, B, C 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

O P ?

O ?? A(

? A B c o sA B C

A B

A C Ac C o s

)? ,? ,则 R P 的轨迹一定通过 ABC 的 B C A

(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 二、 填空题目:本大题共 10 小题,每小题 6 分,满分 60 分。要求直接将答案写在横线上。 11、函数 y ? ax2 ? 2(a ?1) x ? 2 在区间 ? ??, 4? 上递增,则实数 a 的取值范围是 12、平面点集 M ? ( x, y ) cos ? y ? sin ? , x ? Z , y ? 1, x ? 2 ,用列举法表示 M ? 13、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 2, an an?1an?2 ? an ? an?1 ? an?2 ,则
2007 i ?1

。 。

?

?

?a

i

?



14、已知 sin(? ? 2 ? ) ? 3sin ? , ? ?

k? ? tan(? ? ? ) , ? ? ? ? ? n? ( k , n ? Z ) ,则 ? 2 2 tan ?

?



15、已知实数 x , y 满足 (3x ? y)5 ? x5 ? 4x ? y ? 0 ,则 4 x ? y ?

? 16 、 已 知 f ( x ) 是 定 义 在 ? 0, ??? 上 的 增 函 数 , 当 n ? N 时 , 有 f ( n) ? N , ?f

f(? ? n )

则 3 n,

f (1) ? f (2) ?

。 。

17、若 a ? b ? c ? 1, a, b, c ? R? , 4a ? 1 ? 4a ? 1 ? 4a ?1 ? m, 则 m 最小值是 18、若 ? x ? 表示不大于 x 的最大整数,则使得 ?log2 1? ? ?log2 2? ? ?log2 3? ?

? ?log2 n? ? 2007 成立的正整数

n 的最小值是



19、已知 x ? R ,则函数 f ( x) ? max ?sin x,cos x,

? ?

sin x ? cos x ? ? 的最大值与最小值的和等于 2 ?



? x 2 ? kx ? 1? 20、已知集合 M ? ? y y ? 2 ? 任取 a, b, c ? M 以 a, b, c 为长度的线段都能构成三角形,则实数 k 的 x ? x ?1 ? ?
取值范围为 。 三、 解答题:本大题共 2 小题,每小题 15 分,满分 30 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算 步骤。
2 21、 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a, b, c ? R) 满足条件: 对任意实数 x 都有 f ( x) ? 2 x ; 且当 0 ? x ? 2 时,

总有 f ( x) ?

1 ( x ? 1) 2 成立。 2
2

(1)求 f (1) 的值; (2)求 f (?1) 的取值范围。

22 、 已 知 函 数 y ? f ( x) 满 足 a ? ( x , y ) , b? ( x?
2

1 ,? 1) , 且 a b ? ?1 。 如 果 存 在 正 项 数 列 ?an ? 满 足 : x

n 1 n a1 ? , ? f (ai ) ? n ? ? ai 3 ? n2 an (n ? N ? ) 。 2 i ?1 i ?1

(1)求数列 ?an ? 的通项; (2)证明:

?
i ?1

n

ai ? 3。 i

3

参考答案 一、选择题:CCBBB 二、填空题:11、 ? ? , 0 ? 3 17、 21

BDCAD

? 1 ?

? ?

12、 ?(?1, ? ), (0, ? ), (1, ? ) ?

? ?

1 2

1 2

1 ? 2 ?

13、4014

14、2

15、0

16、5

18、314

19、 1 ?

2 2

20、 ?

? 2 10 ? , ? ?5 7 ?

三、解答题: 21、解: (1) f (1) ? 2 5分

(2)对任意实数 x 都有 f ( x) ? 2 x ,即 ax2 ? (b ? 2) x ? c ? 0 恒成立, ∴?

?a ? 0
2 ?(b ? 2) ? 4ac ? 0

,由于 f (1) ? a ? b ? c ? 2,? a ? c, b ? 2 ? 2a 。

此时 f ( x) ?

1 1 1 ( x ? 1) 2 ? (a ? )( x ? 1) 2 ,当 0 ? x ? 2 时,总有 f ( x) ? ( x ? 1) 2 成立, 2 2 2
15 分

1 ? 0 ? a ? ,? f (?1) ? a ? b ? c ? 4a ? 2 的取值范围是 ? ?2,0? 。 2

a b ? ?1,? y ? x3 ? x ? 1( x ? 0),
22、证明: (1)
n n n n

? f (a ) ? n ? ? a
i ?1 i i ?1

n

n

3

i

? n 2 an (n ? N ? ),

? ? ai 3 ? ? ai ? ? ai 3 ? n 2 an ,? ? ai ? n 2 an
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

(1)



?a
i ?1

n ?1

i

? (n ? 1)2 an?1 (2) 两式相减得: a2 1 ? (n ? N ? ) a1 n(n ? 1)

2

an n ?1 。 ? an?1 n ? 1
5分 ( 1 ) 得 :

则 an ? (

an an?1 an?1 an?2
2



?
i ?1

n

n ai 1 ?? 2 , i i (i ? 1) i ?1

1 1 2 1 1 ? ? ? ? (i ? 2) i (i ? 1) (i ? 1)i (i ? 1) i ? 1 i ? 1 (i ? 1)(i ? 1) ( i ? 1 ? i ? 1)

??
i ?1

n

1 1 n 1 1 n 1 1 ? ? ? ? ?( ? ) ? 2 2 i (i ? 1) 2 i ?2 i (i ? 1) 2 i ?2 i ? 1 i ?1
15 分

?

1 1 1 1 ?1? ? ? ? 1? 2 ? 3 2 2 n n ?1

4


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