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1.1.3集合间的基本运算(第二课时)


高中数学《必修1》

1.1.3 集合间的基本运算(二)
HBALYZ GB

学 习 目 标
1.了解全集、补集的意义. 2. 正确理解补集的概念,正确理解符号“ ? UA” 的含义. 3.会求已知全集的补集,并能正确应用它们解决

一些具体问题.

创 设 情 景

>情境导学 相对于某个集合U ,其子集中的元素是 U 中的一 部分,那么剩余的元素也应构成一个集合,这两

个集合对于U构成了相对关系,这就验证了“事
物都是对立和统一的关系”.集合中的部分元素

构成的集合与集合之间的关系就是部分与整体的
关系.这就是本节研究的内容——全集和补集.

探 究 新 知
探究点一 全集、补集的概念 思考1 U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、

B={全班没有参加足球队的同学},则U、A、B有何关系? 答 U = A∪B ,集合 B 是集合 U 中除去集合 A 之后余下来

的集合.

探 究 新 知
思考2 在思考 1中,相对集合 A 、B,集合 U是全集,集合B是

集合A的补集,同时集合A是集合B的补集,那么如何定义全集
和补集?并用符号表示出来. 答 全集的定义:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题 中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U. 补集的定义:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有

元素组成的集合称为集合 A相对于全集U的补集,简称为集合A
的补集,记作?UA,即?UA={x|x∈U,且xD∈/A}.

探 究 新 知
思考3 怎样用Venn图表示集合A在全集U中的补集?
答 用Venn图表示:(阴影部分即为A在全集U中的补集)

探 究 新 知
例1 (1)设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3},
B={3,4,5,6},求?UA,?UB.

解 根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8},
所以?UA={4,5,6,7,8},?UB={1,2,7,8}. (2)设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三角形},

B={x|x是钝角三角形},求A∩B,?U(A∪B).
解 根据三角形的分类可知 A∩B=? , A∪B={x|x是锐角

三角形或钝角三角形},?U(A∪B)={x|x是直角三角形}.

探 究 新 知
跟踪训练 1 已知 A = {0,2,4,6} , ? UA = { - 1 ,- 3,1,3} ,
?UB={-1,0,2},用列举法写出集合B.

解 ∵A={0,2,4,6},?UA={-1,-3,1,3},
∴U={-3,-1,0,1,2,3,4,6}.

而?UB={-1,0,2},
∴B=?U(?UB)={-3,1,3,4,6}.

探 究 新 知
探究点二 全集、补集的性质

思考 1

借助 Venn 图,你能化简 ? U( ? UA) , ? UU , ? U ? 吗?

答 ?U(?UA)=A,?UU=?,?U?=U.

思考2

借助Venn图,你能分析出集合A与?UA之间有什

么关系吗? 答 A∩(?UA)=?,A∪(?UA)=U.

探 究 新 知
例2 已知集合S={x|1<x≤7},A={x|2≤x<5},

B={x|3≤x<7}.
求:(1)(?SA)∩(?SB);

解 如图所示,可得
A∩B={x|3≤x<5},A∪B={x|2≤x<7}, ?
SA

= {x|1<x<2 或 5≤x≤7} , ?

SB



{x|1<x<3}∪{7}. 由此可得:(1)(?SA)∩(?SB)={x|1<x<2}∪{7}.

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例 2 已 知 集 合 S = {x|1<x≤7} , A = {x|2≤x<5} , B =

{ x|3? ≤ x<7}. (2) ∪B); S(A
解 ?S(A∪B)={x|1<x<2}∪{7}; (3)(?SA)∪(?SB); 解 (?SA)∪(?SB)={x|1<x<3}∪{x|5≤x≤7}={x|1<x<3,

或5≤x≤7};
(4)?S(A∩B).



? S(A∩B) = {x|1<x<3}∪{x|5≤x≤7} = {x|1<x<3 或

5≤x≤7}.

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反思与感悟 根据补集定义,借助Venn图,可直

观地求出补集,此类问题,当集合元素个数较少
时,可借助Venn图;当集合中元素无限个时,可

借助数轴,利用数轴分析法求解.

探 究 新 知
跟踪训练2 设全集U是实数集R,M={x|x2>4},

N={x|x≥3或x<1}都是U的子集,则图中阴影部分所表示
的集合是( ) A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x≤2}

C.{x|1<x≤2}

D.{x|x<2}

解∵M={x|x2>4}={x|x<-2或x>2},∴?UM={x|-2≤x≤2},
易知图中阴影部分为 N∩(?UM)={x|x<1或x≥3}∩{x|-2≤x≤2}={x|-2≤x<1}. 答案 A

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探究点三 集合交、并、补的综合运算

思考1 求集合交、并、补运算的一般方法是怎样的?


探 究 新 知
思考2 求不等式解集的补集时需注意什么问题?

答 (1)实点变虚点、虚点变实点.如A={x|-1≤x<5},
则?RA={x|x<-1,或x≥5}; (2)通过改变原不等式的不等号方向取补集时,要防止漏解.
? ? ? ?1 ? A=?x? ? ?x ? ? ? ? ? ?1 ? ? <0?,?RA≠?x? ? ? ?x ? ? ≥0? ={x|x>0}. ? ?



应先求出A={x|x<0},再求?RA={x|x≥0}.

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例3.已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<3},若A∪(?RB)

=R,求实数a的取值范围.
解 ∵B={x|1<x<3}, ∴?RB={x|x≤1或x≥3}, 因而要使A∪(?RB)=R,结合数轴分析(如图), 可得a≥3.
反思与感悟 与集合交、并、补运算有关的求参数问

题一般利用数轴分析法分析求解.

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跟踪训练3 已知全集U=R,集合A={x|x<-1},

B={x|2a<x<a+3},且B??RA,求a的取值范围.
解 由题意得?RA={x|x≥-1}.

①若B=?,则a+3≤2a,即a≥3,满足B??RA.
②若B≠?,则由B??RA,
1 得 2a≥-1 且 2a<a+3,即- ≤a<3. 2 1 综上可得 a 的取值范围是{a|a≥- }. 2

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当堂测·查疑缺
1 2 3 4

1.设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则?UM等于( C )
A.U B.{1,3,5}

C.{3,5,6}

D.{2,4,6}

解析 ∵U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},

∴?UM={3,5,6}.

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2.已知全集U=R,集合M={x|x2-4≤0},则?UM等于( C A.{x|-2<x<2} C.{x|x<-2或x>2} 解析 ∵M={x|-2≤x≤2}, ∴?UM={x|x<-2或x>2}. B.{x|-2≤x≤2} D.{x|x≤-2或x≥2}

)

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3.设全集U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩(?UN)={2,4},则N 等于( B ) A.{1,2,3} C.{1,4,5} 集合M中含有元素2,4, 故N={1,3,5}. B.{1,3,5} D.{2,3,4}

解析 由M∩(?UN)={2,4}可得集合N中不含有元素2,4,

探 究 新 知
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4.设U={x|-5≤x<-2,或2<x≤5,x∈Z}, A={x|x2-2x-15=0},B={-3,3,4},求?UA,?UB. 解 ∵U={x|-5≤x<-2,或2<x≤5,x∈Z} ={-5,-4,-3,3,4,5},

又∵A={x|x2-2x-15=0}={-3,5},
由补集的定义知: ?UA={-5,-4,3,4},?UB={-5,-4,5}.

探 究 新 知
呈重点、现规律
1.全集与补集的互相依存关系
(1)全集并非是包罗万象,含有任何元素的集合,它是对于研 究问题而言的一个相对概念,它仅含有所研究问题中涉及的

所有元素,如研究整数,Z就是全集,研究方程的实数解,R
就是全集.因此,全集因研究问题而异. (2) 补集是集合之间的一种运算 .求集合 A 的补集的前提是 A是 全集 U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同 的,因此,它们是互相依存、不可分割的两个概念.

探 究 新 知
(3) ? UA 的数学意义包括两个方面:首先必须具备 A?U; 其次是定义?UA={x|x∈U,且x 算关系. A},补集是集合间的运

2.补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集思想,即已知全

集 U ,求子集 A ,若直接求 A 困难,可先求 ? UA ,再由
?U(?UA)=A求A.


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