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山东省济南一中2013届高三二轮复习质量检测数学试题(理)


山东省济南一中 2013 届高三二轮复习质量检测 数学试题(理工类)
2013.4 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为 选考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试 结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上 的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑。

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知 U={1,2,3, 4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5},则 CU(A∪B)等于 A.{6,8} B.{5,7} C.{4,6,7} D.{1,3,5,6,8}

2.已知 i 为虚数单位,复数 z= A. ? i

1 ? 2i ,则复数 z 的虚部是 2?i
C.

3 5

B. ?

3 5

4 i 5

D.

4 5

3.函数 y= x 3 与 y= ( ) x ? 2 图形的交点为(a,b) ,则 a 所在区间是

1 2

A. (0,1)

B. (1,2 )

C. (2,3 )

D. (3,4)

1

x y 4. 已知 F1、F2 是双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的两个焦点,以线段 F1F2 为边作正△MF1F2,若 a b 边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为 A.4+2 3 C. 3+1 2 B. 3-1 D. 3+1

2

2

5. 阅读右边的程序框图,若输出 S 的值为-14, 则判断框内可填写

A.i<6? C.i<5? 6. 函数 f(x)= A.在 [0,

B.i<8? D.i<7?

1 ? cos 2 x cos x

?

? 3? 3? ), ( , ? ] 上递增,在 [? , ), ( , 2? ] 上递减 2 2 2 2
),[? , 3? ? 3? ) 上递增,在 ( , ? ], ( , 2? ] 上递减 2 2 2

B.在 [0, C.在 (

?
2

?
2

, ? ], (

3? ? 3? , 2? ] 上递增,在 [0, ),[? , ) 上递减 2 2 2

D.在 [? ,

3? 3? ? ? ), ( , 2? ] 上递增,在 [0, ), ( , ? ] 上递减 2 2 2 2

7. 若某空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是

A.

1 3

2 B. 3

C. 1

D. 2

8. 已知点 O 是边长为 1 的等边 △ ABC 的中心, 则 A.

?OA ? OB?? ?OA ? OC ?等于
B. ?

1 9

1 9 1 6

C. ?

3 6

D. ?

9. 从 6 名同学中选 4 人分别到 A、B、C、D 四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每 人只游览一个城市,且这 6 人中甲、乙两人不去 D 城市游览,则不同的选择方案共有
2

A.96 种

B.144 种

C.240 种

D.300 种

10.在直角坐标系 xOy 中,已知△AOB 三边所在直线的方程分别为 x=0,y=0,2x+3y=30,则△ AOB 内部和边上整点(即横、纵坐标均为整数的点)的总数是 A.95 B.91 C.88 D.75

2 11. 已知抛物线 y ? ? x ? 3 上存在关于直线 x ? y ? 0 对称的相异两点 A 、B , AB 则



于 A.3 12. 设函数 f(x)=x围是 A.(-1 , 1) B. m ? R, m ? 0 C.(-?,-1) D.(-?,-1) 或( 1,??) B.4 C. 3 2 D. 4 2

1 ,对任意 x ? [1,??), f (mx) ? mf ( x) ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范 x

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 13 题~第 21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13. 已知函数 f(x)=

ax+1 在区间(-2,+∞)上为增函数,则实数 a 的取值范围是 x+2

________________. 14. 已知向量 a ? (cos ? , sin ? ), b ? (cos ? , sin ? ),| a ? b |? 则 cos(? ? ? ) 的值为 .

?

?

? ?

2 5 5

.

15. 在三次独立重复试验中, 事件 A 在每次试验中发生的概率相同, 若事件 A 至少发生一次 的概率为

63 ,则事件 A 恰好发生一次的概率为 64



16.底面半径为 1,高为 3的圆锥,其内接圆柱的底面半径为 R,内接圆柱的体积最大时 R 值为 。

三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 12 分)
2 已知函数 f ( x) ? ln( x ? a ) ? x ? x 在点 x ? 0 处取得极值。

(Ⅰ)求实数 a 的值;

3

(Ⅱ) 若关于 x 的方程 f ( x) ? ?

5 2]上有两个不等实根, b 的取值范围; 求 x ? b 在区间[0, 2

18.(本小题满分 12 分)

某班同学利用国庆节进行社会实践,对 [25,55] 岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活 习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” ,否则称为“非 低碳族” ,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:

(Ⅰ)补全频率分布直方图并求 n 、 a 、 p 的值; (Ⅱ)从 [40,50) 岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 18 人参加户外低碳体验 活动,其中选取 3 人作为领队,记选取的 3 名领队中年龄在 [40, 45) 岁的人数为 X ,求 X 的 分布列和期望 E ( X ) 。

19. (本题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P-ABCD,侧面 PAD 为边长 等于 2 的正三角形,底面 ABCD 为菱形,∠BDA=60°. (Ⅰ)证明:∠PBC=90°; (Ⅱ)若 PB=3,求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值.

20. (本小题满分 12 分) 设椭圆 C :

x2 y2 1 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,右焦点到直线 ? ? 1 的距离 2 2 a b a b

d?

21 , O 为坐标原点。 7
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆 C 分别交于 A, B 两点,证明点 O 到直线

4

AB 的距离为定值. 并求出定值
21. (本小题 12 分) 已知函数 f (x) 定义在 ? ?1,1? 上, f ( ) ? 1 ,满足 f ( x) ? f ( y ) ? f ? 列 x1 ?

1 2

? x? y ? ? ,且数 ? 1 ? xy ?

2 xn 1 . , xn ?1 ? 2 2 1 ? xn

(Ⅰ)证明: f (x)在(-1,1)上为奇函数; (Ⅱ)求 f ( xn ) 的表达式; (Ⅲ)若 a1 ? 1, a n ?1 ?

12n ( f ( x n ) ? a n , n ? N ? ).试求 a n . 2n

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1;几何证明选讲. 如图, ?ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E. (Ⅰ)证明: ?ABE ∽ ?ADC (Ⅱ)若 ?ABC 的面积 S ?

1 AD ? AE ,求 ?BAC 的大小。 2
22 题图

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程.

已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 1 ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角

t ? ?x ? 1? 2 ? (t为参数) . 坐标系,直线 l 的参数方程 ? ?y ? 2? 3 t ? ? 2
(Ⅰ)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程;

5

(Ⅱ)设曲线 C 经过伸缩变换 ? 求 x ? 2 3 y 的最小值.

? x? ? 3 x 得到曲线 C ? ,设曲线 C ? 上任一点为 M ( x, y ) , ? y? ? y

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 已知 a ? R ,设关于 x 的不等式 2 x ? a + x ? 3 ? 2 x ? 4 的解集为 A. (Ⅰ)若 a =1,求 A; (Ⅱ)若 A=R, 求 a 的取值范围。

数学(理工类)参考答案及评分标准

∴ 所求实数 b 的取值范围是 ln 3 ? 1 ? b ? ln 2 ?

18.解析: (Ⅰ)第二组的频率为 1 ? (0.04 ? 0.04 ? 0.03 ? 0.02 ? 0.01) ? 5 ? 0.3 ,所以高为

1 2

…………………12 分

0.3 ? 0.06 .频率直方图如下: 5

6

-------------------------------2 分

120 200 ? 200 ,频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 ,所以 n ? ? 1000 . 0.6 0.2 195 ? 0.65 . 第二组的频率为 0.3,所以第二组的人数为 1000 ? 0.3 ? 300 ,所以 p ? 300 第四组的频率为 0.03 ? 5 ? 0.15 ,第四组的人数为 1000 ? 0.15 ? 150 , 所以 a ? 150 ? 0.4 ? 60 . -------------------------------6 分
第一组的人数为 (Ⅱ)因为 [40, 45) 岁年龄段的“低碳族”与 [45,50) 岁年龄段的“低碳族”的比值为

60 : 30 ? 2 :1 ,所以采用分层抽样法抽取 18 人,[40, 45) 岁中有 12 人,[45,50) 岁中
有 6 人.随机变量 X 服从超几何分布.

P( X ? 0) ? P( X ? 2) ?

0 3 C12C6 C1 C 2 15 5 , P ( X ? 1) ? 12 3 6 ? , ? 3 C18 204 C18 68 2 1 C12C6 33 C3 C0 55 , P ( X ? 3) ? 12 3 6 ? . 分 ? 3 C18 68 C18 204

所以随机变量 X 的分布列为 0 X

1

2

3

P
∴ 数 学 期 望 EX ? 0 ? 分

5 204

15 68

33 68

55 204

5 15 33 55 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 . --------------------12 204 68 68 204

19.(1)取 AD 中点 O,连 OP、OB,由已知得:OP⊥AD,OB⊥AD,又 OP∩OB=O,∴AD⊥ 平面 POB, ∵BC∥AD,∴BC⊥平面 POB,∵PB?平面 POB, ∴BC⊥PB,即∠PBC=90°. …………………………5 分

7

(2)如图,以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系 O-xyz,则 A(1,0,0),B(0, 3,0), 3 C(-1, 3,0),由 PO=BO= 3,PB=3,得∠POB=120°,∴∠POz=30°,∴P(0,- , 2 3 3 3 3 ),则=(-1, 3,0),=(-1,0,0),=(0, ,- ),设平面 PBC 的法向量为 n=(x, 2 2 2 y,z),

?-x=0 ? 则?3 3 3 ? 2 y-2z=0 ?

,取 z= 3,则 n=(0,1, 3),

设直线 AB 与平面 PBC 所成的角为θ,则 3 sinθ=|cos〈,n〉|= . …………………………12 分 4 20、解: (I)由 e ?

1 c 1 得 ? 即a ? 2c,? b ? 3c. 2 a 2

8



f ( xn ? 1) 1 ? 2 ,又 f ( x1 ) ? f ( ) ? 1 ,∴ ? f ( xn )? 为等比数列,其通项公式为 2 f ( xn )
f ( xn ) ? f ( x1 ) ? 2n ?1 ? 2n ?1 .…………..6 分

(3)解:∵ a n + a n ?1 =6n, ∴ a n ?1 + a n ? 2 =6(n+1),两式相减,得 a n ? 2 - a n =6, ∴ ?a 2 n ?1 ? 与 ?a 2 n ? 均为公差为 6 的等差数列, ∴易求得 a n = ?

?3n ? 2(n为奇数 ) ?3n ? 1(n为偶数 )

。………….12 分

22. 解:证明: (Ⅰ)由已知条件,可得 ?BAE ? ?CAD 因为 ?AEB与?ACB 是同弧上的圆周角,所以 ?AEB=?ACD , 故 ?ABE ∽ ?ADC …….5 分
9

(Ⅱ)因为 ?ABE ∽ ?ADC ,所以

AB AD ,即 AB ? AC ? AD ? AE. ? AE AC

10


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