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1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理


1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 备课人:王宏伟 本质、地位、作用分析 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是人类在大量的实践经验的基础上归纳出的基本规 律,它们不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据,而且其基本思想方法也贯穿在解决本章 应用问题的始终,在本章中是奠基性的知识。返璞归真的看两个原理,它们实际上是学生从小 学就开始学习的加法运算与乘法运算的推广。从思想方法的

角度看,运用分类加法计数原理解 决问题是将一个复杂问题分解为若干“类别”,然后分类解决,各个击破;运用分步乘法计数 原理是将一个复杂问题的解决过程分解为若干“步骤”,先对每个步骤进行细致分析,再整合 为一个完整的过程。这样做的目的是为了分解问题、简化问题。可见,理解和掌握两个计数原 理,是学好本章内容的关键。 教学目标: 1.知识与技能:使学生熟练掌握两个原理的内容、区别,能够灵活的应用两个原理解决常 见的计数问题; 2.过程与方法:在教学过程中,凸显两个原理发现的原始过程,使学生深刻理解由特殊到 一般的归纳推理思维,在应用原理解决问题时,体会一般到特殊的演绎推理思维,从而培养学 生的抽象概括能力、逻辑思维能力以及解决实际问题时主动应用数学知识的能力; 3.情感态度与价值观:通过探索与发现的过程,使学生亲历数学研究的成功和快乐,感悟 数学朴实无华的内在美,学会提出问题、分析问题、解决问题、推广结论进而完善结论的数学 应用意识,激发学生勇于探索、敢于创新的精神,优化学生的思维品质。 教学重点:理解分类计数原理与分步计数原理 教学难点:会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题 教辅资源 导学案 课时安排:3 课时 教学方法:四环节启智 教学手段:准备计算机、投影仪、多媒体课件等,多媒体辅助教学 教学过程 一、引入课题 1 分类加法计数原理 年级组:高二

课题内容 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 (高中数学选修 2-3)

(1)提出问题 情境一:用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号,总共能够编出多少 种不同的号码? 情境二:狐狸想从草地逃到小岛,可以走水路,也可以走陆路,走水路有 2 艘船,走陆路有 3 辆车子,问:乘坐这些交通工具,一共有多少种不同的方法,可以从草地逃回到小岛? 情景三:两人或三人玩“剪刀,石头,布”共有多少种不同的结果? 探究:你能概括上述三个问题的特征吗?
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二.发现新知 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中有 种不同的方法,在第 类方案中有 种不同的方法. 那么完成这件事共有 注意:①明确“一件事”指什么事; ②每类方法相互独立,且都能独立地完成这件事情。 探究:如果狐狸从草地到安全地的交通工具有 n 类,第 1 类方案中有 m1 种不同的方法,在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法。??,第 n 类方案中有 mn 种不同的方法,那么狐狸到安全地共 有多少种不同的方法? 结论一:分类加法计数原理推广 完成一件事情有 n 类不同方案,在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法,在第 2 类方案中有 m2 种 不同的方法,??,在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法.

N ? m1 ? m 2 ? ? ? ? ? m n
种不同的方法. 1.学以致用 例 1.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到,A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项 专业,具体情况如下: A 大学 生物学 化学 医学 物理学 工程学 如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢? 练习:课本 P6 练习 3 2.分步乘法计数原理 (1)提出问题 情境四:狐狸一共有多少种不同的方法,可以从小岛逃回到自己的房子 情境五:狐狸一共有多少种不同的方法,可以从草地逃回到自己的房子 探究:你能说说该问题的特征吗? (2)发现新知 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤, 做第 1 步有 种不同的方法. 那么完成这件事 N B 大学 数学 会计学 信息技术学 法学

m 种不同的方法, 做第 2 步有 n

? m ? n 种不同的方法.

注意:①明确“一件事”指什么事。 ②各步骤中的方法相互依存,只有各个步骤都完成才算完成这件事情
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由情境五,你能归纳猜想出一般结论吗?(或类比分类加法计数原理) 结论二:分步乘法计数原理推广 完成一件事情,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第 2 步有 m2 种不同 的方法,??,做第 n 步有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? ? ? mn 种不 同的方法. 三.典例分析 例 2. 书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书,第 2 层放有 3 本不同的文艺书,第 3 层放 2 本不 同的体育书. ①从书架上任取 1 本书,有多少种不同的取法? ②从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书,有多少种不同的取法? 变式 1:从书架上任取两本不同学科的书,有多少种不同的取法? 变式 2:若书架上第 1 层的 4 本计算机书全部放到第 2 层,那么从第 2、3 层各取 1 本书,有多 少种不同的取法? 例 3.要从甲、乙、丙 3 名工人中选出 2 名分别上日班和晚班,有多少种不同的选法? 解:从 3 名工人中选 1 名上日班和 1 名上晚班,可以看成是经过先选 1 名上日班,再选 1 名 上晚班两个步骤完成,先选 1 名上日班,共有 3 种选法;上日班的工人选定后,上晚班的工人 有 2 种选法 根据分步技数原理,不同的选法数是 N ? 3 ? 2 ? 6 种,6 种选法可以表示如下:
王新敞
奎屯 新疆

日班 甲 甲 乙 乙 丙 丙

晚班 乙 丙 甲 丙 甲 乙
王新敞
奎屯 新疆

所以,从 3 名工人中选出 2 名分别上日班和晚班,6 种不同的选法

例 4.在 1~20 共 20 个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种? 解:取 a ? b 与取 b ? a 是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性 ,第一类,偶偶相加,由分步计 数原理得(10×9)/2=45 种取法,第二类,奇奇相加,也有(10×9)/2=45 种取法.根据分类计数原理 共有 45+45=90 种不同取法. 例 5. 如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多 次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为() A. 180 B. 160 C. 96 D. 60
王新敞
奎屯 新疆

① ② ④ 若变为图二,图三呢?(240 种,5×4×4×4=320 种) ③ ④ ③ ① ② 图一 图二
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① ② ③ ④

图三

例 5. 75600 有多少个正约数?有多少个奇约数? 解:75600 的约数就是能整除 75600 的整数,所以本题就是分别求能整除 75600 的整数和奇 约数的个数. 由于 75600=2 ×3 ×5 ×7 (1) 75600 的 每 个 约 数 都 可 以 写 成 2l ? 3 j ? 5k ? 7 l 的 形 式 , 其 中
4 3 2

0 ? i ? 4 ,0 ? j ? 3,0 ? k ? 2 ,0 ? l ?1

于是,要确定 75600 的一个约数,可分四步完成,即 i, j , k , l 分别在各自的范围内任取一个值, 这样 i 有 5 种取法, j 有 4 种取法, k 有 3 种取法, l 有 2 种取法,根据分步计数原理得约数的个数 为 5×4×3×2=120 个. (2)奇约数中步不含有 2 的因数,因此 75600 的每个奇约数都可以写成 3 j ? 5 k ? 7 l 的形式,同 上奇约数的个数为 4×3×2=24 个. 总结出两个原理的联系、区别: 分类计数原理 联系 分步计数原理

都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题 完成一件事, 共有 n 类方法, 关键 完成一件事,共分 n 个步骤,关键 词“分步” 各步骤中的方法相互依存,只有各 步骤都完成才算完成这件事

区别 1

词“分类” 每类方法相互独立, 每类方法都能

区别 2 四.重难点探究

独立地完成这件事

金太阳导学案第二层级 探究一: 探究二: 探究三: 五.思维拓展 1. 把 4 封不同的信全部投入到 3 个信箱中,共有多少种不同投法? 2. 若 5 名学生从 3 项体育项目中选择参赛,每一名学生只能参加一项,则不同的参赛方法有 ( ) A

53 种

3

B

35 种

C 8种

D 15 种

3.若 5 名学生争夺 3 项比赛冠军(每一名学生参赛项目不限) ,则冠军获得者不同情况(没有 并列冠军)有( A 六.回顾总结
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5 种

B

35 种

C 8种

D 15 种

1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理,并加区别 分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相对独立,用其中任何一种方法 都可以完成这件事;而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存, 只有各个步骤都完成后才算做完这件事. 2.运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点: 分类加法计数原理:首先确定分类标准,其次满足:完成这件事的任何一种方法必属于某 一类,并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法,即"不重不漏". 分步乘法计数原理:首先确定分步标准,其次满足:必须并且只需连续完成这 n 个步骤, 这件事才算完成. 七.布置作业 作业:P.12 习题 1、2、3 阅读作业:课本P11-12 研究与发现“子集的个数有多少” 八.尝试高考 1.(2007 年全国高考题)五位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组, 则不同的报名方法共有( A 10 种 B 20 种 ) C 25 种 D 32 种

2.(2009 年全国高考题)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有( A 6种 B ) 12 种 C 24 种 D 30 种

九.课后探究: 0~9,这 10 个数字一共可以组成多少个7位数码,即可产生多少种可能的中奖号码? 变式1:这十个数一共可以组成多少个七位数? 变式2:0~9 这十个数字可组成多少个数字不重复七位数? 十.板书设计 课题:计数原理 1.分类加法计数原理 2.分步乘法计数原理 十一.课后反思 这节课我们以狐狸回家为主线,归纳出了两个原理,并利用两个原理解决了很多实际问题。 当然要想圆满解决引例中“狐狸回家的方法数”这个问题,还需要其它的计数知识,在研究完 本章后就能顺利解答。 细微的生活中总是蕴含着深刻的数学思想,我们在利用数学工具研究缤纷多彩的世界过程 中,可以充分的享受无限的乐趣!或许这就是数学的魅力!最后预祝大家都能学好数学、用好 数学、欣赏数学、热爱数学!
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例题分析

本节内容,第一节主要讲解两种计数方法原理方法、区别和联系,接下来两节课都是讲解 习题和导学案。

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