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导数应用练习题含答案


课外作业 一.选择题, 1. .函数 f ( x) ? ? x3 ? x 2 ? x 的单调减区间是 A. ( ? ?,?1)
2

(

) D. ( ?1, )

B. ( , ? )

1 3

C. ( ? ?,?1) 和 ( , ? )

1 3

1 3

解: f ' (x)=-3 x -2x+1<0,所以 x> 2.函数 f ( x ) ?

1 或 x<-1,故选 C 3

sin x ,则 x

(

) B. f ( x) 在 (0, ? ) 内是增函数

A. f ( x) 在 (0, ? ) 内是减函数 C. f ( x) 在 ( ?

, ) 内是减函数 D. f ( x) 在 ( ? , ) 内是增函数 2 2 2 2 x cos x ? sin x ' ' 解: f (x)= ,当 x ? (0, ? ) 时 f (x)<0,故选 A x2
3. .函数 f (x ) = (x - 1)e 的单调递增区间是 A.[0,+∞)
x
x

? ?

? ?

( C.(-∞,2]

) D.(-∞,1]

B. [2,+∞)
x

解:令 f ' (x)= e -(x-1) e >0,得 2-x>0,x<2,故选 C 4.. f ?( x ) 是 f(x)的导函数, f ?( x ) 的图象如右图所示,则 f(x)的图象只可能是( )

A A.

B B.

C C.

D D.

' 解: f ( x ) 越大表示曲线 f(x)递增(减)速度越快,故选 D

5.下列函数中,在 (0,??) 上为增函数的是 A.y=sinx+1, B. y ? xe
x


3



C. y ? x ? x
x

1 ? x) ? x D. y ? ln(
'
x x

解:y=sinx+1 是周期函数,不满足条件; y ? xe ,则 y = e +x e ,当 x>0 时 y >0 成立。
'

故选 B 6.对于 R 上可导的任意函数,若满足 ?x ? 1? f A . f ?0? ? f ?2? ? 2 f ?1? C . f ?0? ? f ?2? ? 2 f ?1?
' ' /

?x ? ? 0

,则必有(



B. f ?0? ? f ?2? ? 2 f ?1? D.

f ?0? ? f ?2? ? 2 f ?1?

解:x ? 1 时 f (x)? 0;x ? 1 时 f (x)? 0。所以 f(1)最小, f(0) ? f(1),f(2) ? f(1),

故选 C 7.已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? ax2 ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调函数,则实数 a 的( A. (??,? 3] ? [ 3,??) B. [? 3, 3] C. (??,? 3) ? ( 3,??)
2



D. (? 3, 3)
2

解:曲线 f(x)在 (??,??) 上是单调函数, f ' (x)=-3 x +2ax-1, ? =4 a -12 ? 0,故选 B 8.右图为是函数 f(x)的导数图像,它是一条直线。 若 f(x) 图像过原点,则其顶点在 ( ) A.第一象限 B 第二象限 C.第三象限 D 第四象限 解:f(x) 图像大致如右图,故选 A 0 a 二.填空题 9.如果函数 f(x)=x+ 解:令 f (x)=1'

Y b

x

O

a

X

a 在(2, ? )上是增函数,则 a 的取值范围是 x

a ? 0,则 a ? x 2 .? 在(2, ? )上 x 2 >4,? 只需 a ? 4 x2

10.函数 f ( x) ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 10 的单调递减区间为 解:令 f (x)=6 x -6x<0,解得 0<x<1,? 单调递减区间为 ?0,1? .
'

2

1 x -sinx,x ? ?0,2? ? .则其单调递增区间为 2 1 1 ? 5? ' 解:令 f (x)= -cosx ? 0,则 cosx ? ,其单调递增区间为( , ) 2 2 3 3
11. 函数 f(x)= 三、解答 12. 求函数 y ? 2x ? 3x ?12x ? 1 的单调区间。
3 2
' 2 2 证明:因为 y ? 6 x ? 6 x ? 12 ? 6 x ? x ? 2 ? 6 ? x ? 1?? x ? 2 ?

?

?

' 3 2 当 y ? 0 时解得 ?2 ? x ? 1 时,所以函数 y ? 2x ? 3x ?12x ? 1 的减区间是 ? ?2,1? 。当

y ' >0 时解得 x>1 或 x<-2, 所以函数 y ? 2x3 ? 3x2 ?12x ? 1 的增区间是( ? ?,?2) 和(1,
。 ??) 13.求下列函数单调区间 (1) y ?

x2 ?1 ; x

(2) y ? 2 x ? ln x
2

解: (1) y ? ?

x2 ?1 ? 0 在 x ? 0 时恒成立,函数在 (?? , 0) 递增,在 (0 , ? ?) 递增。 x2 1 4x2 ?1 ? 0 ,因为定义域为 (0 , ? ?) ? x x

(2) y? ? 4 x ?

1 1 1 4x2 ?1 ? ? 0 得 x ? (0 , ) 。 x ? ( , ? ? ) y ? 4 x ? ? ;由 ? 2 2 x x

1 1 ? f ( x) 在 x ? ( , ? ?) 递增,在 x ? (0 , ) 递减。 2 2 4 3 14. 若函数 y ? ? x ? bx 有三个单调区间,求 b 的取值范围. 3
解: f ?( x) ? ?4 x 2 ? b ,因为函数有三个单调区间,所以方程 f ?( x) ? ?4 x 2 ? b ? 0 有两个 相异的根,故 4 x ? b 有两个相异的根,? b ? 0 。
2

思悟小结 1. f ? (x)>0 ? f(x)为增函数( f ? (x)<0 ? f(x)为减函数). 2.f(x)是增函数 ? f ? (x)≥0(f(x)为减函数 ? f ? (x)≤0). 极值 课外作业 一.选择题 1、函数 y ? f ( x) 在一点的导数值为 0 是函数 y ? f ( x) 在这点取极值的( A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.必要非充分条件



解:对于 f ( x) ? x3 , f ' ( x) ? 3x2 , f ' (0) ? 0, 不能推出 f ( x ) 在 x ? 0 取极值,反之成立,故 选D
3 2 2、函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9 ,已知 f ( x) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a ? (

)

A.2
2

B.3

C.4

D.5

解: f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 3, f ?(?3) ? 3 ? 9 ? 6a ? 3 ? 0, a ? 5 ,故选 D 3、函数 f ( x) =-x +3x -3x+6 有 A.极大值 5
'

3

2

( D 无极值



B 极小值 5
2

C 极小值 1
2

解:f (x)=-3 x +6x-3=-3(x-1) ? 0,所以 f ( x) 在 R 上为减函数,故选 D 4、函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? a 的极大值为 6,那么 a 等于(
3 2



A.6
'

B.0
2

C.5

D.11

解:令 f (x)=6 x -6x=0.得 x=0 或 x=1,易得 x=0 极大值点,由 f(0)=6 得 a=6,故选 A 5、下列四个函数,在 x ? 0 处取得极值的函数是( ①y?x A.①②
3 2 ② y ? x ? 1 ③ y ?| x |



④y?2

x

B.②③

C.③④

D.①③

2 解: 可以分别画出四个函数的图像, 得到在 x ? 0 处取得极值的函数是 y ? x ? 1 和 y ?| x |

故选 B 6、函数 f ( x) =ax +3x +(a-1)x-5 有极值的充要条件是( A a=-3 或 a=4
' 2

3

2

) D a? R
'

B -3<a<4

C a>4 或 a<-3

解:f (x)=3a x +6x+a-1, f ( x) 有极值的充要条件是方程 f (x)=0 有两个不等实根。 令 ? >0,解得-3<a<4 故选 B )

7、如右图是函数 y ? f ( x ) 的导数 f ?( x) 的图象,则 f ( x) 有( A,唯一极值点 x=1 B x=0 极大值点,x=2 是极小值点 C x=0 极小值点,x=2 是极大值点 D 无极值 解:x=0 和 x=2 是方程 f (x)=0 的两根,由点 x=0 和 x=2 它们左右 两侧导数值的正负号,故选 B 8、函数 f ( x) =2sinx-x 则有 ( B x= D x= )
'

? 是极小值点, 3 ? C x= 是极大值点, 3
A x=

? 是极大值点, 6 ? ? ? ' 解: f ?( x) =2cosx-1, f ( )=0,图像可知在 x= 左侧 f ?( x) >0,在 x= 右侧 3 3 3 ? f ?( x) <0,所以 x= 是极大值点,故选 C 3
二.填空题 9、函数 y = x - 3x - 9x (- 2 < x < 2)的极大值为
3 2

? 是极小值点 6

解: y' ? 3x2 ? 6 x ? 9 ? 0, x ? ?1, 得x ? 3 ,当 x ? ?1 时, y ' ? 0 ;当 x ? ?1 时, y ' ? 0 当 x ? ?1 时, y极大值 ? 5

2 的极大值为 x 2 解:令 f ?( x) =-1+ 2 >0,则 x ? (- 2 ,0)或 x ? (0, x
10、函数 f ( x) =-x则 x ? (- ? , 11、函数 y=
' 2

2 ),令 f ?( x) =-1+

2 <0, x2

2 ))或 x ? ( 2 ,+ ? ) ,所以极大值为 f ?( 2 ) =-2 2 ,

1 3 1 x -4x+ 的极小值为 3 3

解: y ? x ? 4 ? 0, x ? ?2 ,极小值在 x ? 2 时取到,极小值为 ?5 三.解答题 12、求函数 y ?
'

1 3 x ? 4 x ? 4 的极值。 3
令 y =0 的 x1 =-2, x2 =2
'

解:? y = x ? 4
2

函数 y ?

1 3 x ? 4 x ? 4 驻点左右的符号如下表所示: 3 x (- ? ,-2) (-2,2)
y
'

(2, ? ) +

+

_

y ? x=-2 是极大值点,x=2 是极小值点 所以极大值是 y=

28 , 3

极小值是 y=?x

4 3

13、求函数的极值:y =2 e x +e 解一; y′=2 ex-e x 令 y′=0 2ex=ex


2 e2x=1

e2 x =

1 2

x =-

1 ln 2 2
y′由负到正

在 x =- ∴

1 ln2 附近 2

y 有极小值,y 极小=2 2
-x

解二: y′=2 e x -e 令 y′=0

则 x =-
-x

1 ln 2 2
1

y″=2 e x +e 由于:y″(-

ln 2 ? ln 2 1 ln 2) =2 e 2 +e 2 2

1

= 2 + 2 =2 2 >0. 说明 y′在 x =-

1 ln 2 附近是增函数,即由负到正,所以 y 有极小值 2 2 . 2

14、求函数 y =x4-8 x 2 +2 的极值: 解:y′=4 x3-16 x, 令 y′=0,解得 x1=0,x2=2,x3=-2. 当 x 变化时,y′,y 的变化情况如下表: x y′ y (-∞,-2) - -2 0 极小值 -14 (-2,0) + 0 0 极大值 2 (0,2) - 2 0 极小值 -14 (2, +∞) +

当 x =0 时,y 有极大值,y 极大值=2; 当 x =±2 时,y 有极小值,y 极小值=-14. 课外作业 一.选择题 1、 f ( x) ? x ? 3x ? 2 在区间 ??1,1? 上的最大值是(
3 2



(A)-2

(B)0

(C)2

(D)4

解: f ?( x) ? 3x2 ? 6x ? 3x( x ? 2) ,令 f ?( x) ? 0 可得 x=0 或 2(2 舍去) ,当-1?x?0 时,

f ?( x ) ?0,当 0?x?1 时, f ?( x ) ?0,所以当 x=0 时,f(x)取得最大值为 2,故选 C
2、已知 f(x)=2x3-6x2+m(m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,则 m 值是( ) A.-37 B.-29 C.-5 D.3 解: f ?( x) ? 6 x2 ?12x ? 0, x ? 0 或 x ? 2 ,故 f ( x)max ? f (0) ? m ,故选 D 3、函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax ? a 在 (0,1) 内有最小值,则 a 的取值范围是( A )

0 ? a ?1 B

0 ? a ?1 C

?1? a ?1

D

0?a?

1 2

解: f ?( x) ? 3x2 ? 3a ? 0, a ? ? a , 0 ? a ? 1, 0 ? a ? 1 ,故选 B 4、函数 f(x)=x2-4x+1 在[1,5]的最大值和最小值分别为 A、f(1),f(5) B、f(2),f(5) C、f(1),f(2) ( )

D、f(5),f(2)

解:由二次函数可得,故选 D

5、方程 x ? 6 x ? 9 x ? 10 ? 0 的实根的个数是(
3 2



A

3

B

2

C

1

D

0

2 解:设 f(x)= x ? 6 x ? 9 x ? 10 ,∴ f ?( x) ? 3x ? 12x ? 9
3 2

方程 f ′(x)=0 的△=4>0,方程的两根 x1 ? 1, x2 ? 3 ,并且 x 的系数大于 0,则函数 f (x)的
3

图象为先增后减再增,且在 x=1 取得极大值,在 x=3 取得极小值,又 f (3)=-10<0,由此可 得出函数 f (x)的简图。可知方程 x3-6x2+9x-10=0 有三个实根,故选 A 6、设 M,m 分别是函数 f ( x ) 在 ?a, b? 上的最大值和最小值,若 M ? m ,则 f ' ( x) A、等于 0 B、小于 0 C、等于 1 D、不确定

解:因为 M ? m ,所以 f ( x) 为常数函数,故 f ' ( x) ? 0 ,故选 A

7、函数 y ? A. e
?1

ln x 的最大值为( x
B. e

) C. e
2

D.

10 3

解: 令y ?
'

(ln x)' x ? ln x ? x ' 1 ? ln x ? ? 0, x ? e , 当 x ? e 时,y ' ? 0 ; 当 x ? e 时,y ' ? 0 , 2 2 x x

1 1 y极大值 ? f (e) ? ,在定义域内只有一个极值,所以 ymax ? ,故选 A e e
8、函数 y ? 4 x ? x 4 ,在 [?1,2] 上的最大、最小值分别为 A.、 f (1), f (?1)
3

B、 f (1), f (2)
2

C、 f (?1), f (2)

D、 f (2), f (?1)

解: y ' ? 4 ? 4 x ? 4(1 ? x)(1 ? x ? x ) ? 4(1 ? x)[( x ? ) ? ] ,讨论点
2

1 2

3 4

? 1, (?1,1),1, (1,2),2 ,故选 B.
二.填空题 9、函数 f ( x) ?

4x , x ? [?2,2] 的最大值是__________。 x ?1
2

解: f ?( x) ?

4x 4 ? 4 x2 , x ? [?2,2] 的最大值是 2 ? 0, x ? ?1 ,当 x ? 1 时, f ( x) ? 2 2 2 ( x ? 1) x ?1
x

10、函数 f(x)= e -x 在[-2,2]上的最小值为____
' ' 解: f ?( x ) = e -1,x>0 时 f ( x) >0;x<0 时 f ( x) <0.? x=0 是极小值点,也是最小值点。
x

最小值为 1。 11、 f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 对于 x ?? ?1,1? 总有 f ? x ? ≥0 成立,则 a =
3



解 : 若 x = 0 , 则 不 论 a 取 何 值 , f ? x ? ≥0 显 然 成 立 ; 当 x > 0 即 x ?? ?1,1? 时 ,

f ? x ? ? ax3 ? 3x ?1 ≥0 可化为, a ?
所 以 g ? x?

3 ?1 ?2 x ? 3 1 3 1 ? 3 ,设 g ? x ? ? 2 ? 3 ,则 g ' ? x ? ? , 2 x x x x x4

在 区 间 ? 0, ? 上 单 调 递 增 , 在 区 间 ? ,1? 上 单 调 递 减 , 因 此 ? 2? ?2 ?

?

1?

?1 ?

?1? g ? x ?max ? g ? ? ? 4 ,从而 a ≥4; ?2?
三.解答题 12、求函数 f ( x) ? 解: f ?( x) ? ?

1 1 ? 在 (0, 1) 内的最小值. x 1? x

1 1 1 2x ? 1 ? ? 2 .在 (0, 1) 上,令 f ?( x) ? 0 得 x ? . 2 2 2 2 x (1 ? x) x (1 ? x)

1 1 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 x ? 处取得极 2 2 2 1 1 小值.则函数 f ( x) 在点 x ? 处取得最小值 f ( ) ? 4 . 2 2
当0 ? x ? 13、 已知 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 2x ? c 在 x ? ?2 时有极大值 6, 在 x ? 1 时有极小值, 求 a , b, c 的值;并求 f ( x) 在区间[-3,3]上的最大值和最小值. .解: (1) f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 2 由条件知

? f ?(?2) ? 12a ? 4b ? 2 ? 0, 1 1 8 ? 解得a ? , b ? , c ? . ? f ?(1) ? 3a ? 2b ? 2 ? 0, 3 2 3 ? f (?2) ? ?8a ? 4b ? 4 ? c ? 6. ?
(2) f ( x) ? x -3

1 3 1 2 8 x ? x ? 2 x ? , f ?( x) ? x2 ? x ? 2 3 2 3
(-3,-2) + -2 0 6 (-2,1) - ↘ 1 0 (1,3) + ↗ 3

f ?( x)

f ( x)

4

1 6



3 2

10

1 6

由上表知,在区间[-3,3]上,当 x ? 3 时, f max

61 3 , x ? 1 时, f min ? 6 2

14、已知:f(x)=log3

x 2 ? ax ? b ,x∈(0,+∞).是否存在实数 a、b,使 f(x)同时满足下列两个条 x

件: (1)f(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数; (2)f(x)的最小值是 1,若 存在,求出 a,b,若不存在,说明理由. 解:设 g(x)=

x 2 ? ax ? b x

∵f(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数 ∴g(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数. x=1 是 g(x)的极小值点, ∴?

? g ' (1) ? 0 ? g (1) ? 3

∴?

?b ? 1 ? 0 ?a ? b ? 1 ? 3

解得 ?

?a ? 1 ?b ? 1

课外作业 一 选择题: 1. 函数 f ( x) ? x ? 12x 的“驻点”是
3

A.1
'

B. ? 1
2

C. ? 2 和 2

D. 0

解:f (x)=3 x -12=0,x= ? 2 ,故选 C

2.函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x 的单调减区间是 A. ( ? ?,? )
' 2

1 3

B. (1, ? )

C. ( ? ?,? ) , (1, ? )

1 3

D. ( ? ,1)

1 3

解:f (x)=3x -2x-1<0,得-

1 <x<1,故选 D 3
( )

3. 已知 y ? 2x 3 ? ax ? c 在 (??,??) 上的单调递增,则 A、a ? 0 且 c ? R C、 a ? 0, 且 c ? 0
'

B、

a ? 0, 且 c ? R
D、 a ? 0, 且 c ? 0

解:f (x)=6 x -a ? 0,即 a ? 6 x 在 x ? R 上恒成立,故选 A
2 2
3 2 4. 已知函数 y ? x ? ax ?

4 a 的导数为 0 的 x 值也使 y 值为 0,则常数 a 的( 3
C、0 或±3 D、3



A、0
'
2

B、±3

解: y =3x +2ax=0,得 x=0 或 x= -

2a 4 3 2 ,把两根分别代入方程 x ? ax ? a ? 0 ,再解 a 的 3 3

方程知 a=0 或 a= ? 3,故选 C 3 2 5. 已知 f(x)=2x -6x +m(m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么此函数在[-2,2]上 的最小值是( ) A.-37 B.-29 C.-5 D.5 解; 令 y =6x -12x=0,则 x=0 或 x=2,在[-2,2]上有最大值点 x=0,所以 f(0)=3,得 m=3。 f(-2)=-37,f(2)=-5,故选 A 6. 设 y ? f ?(x) 是函数 y ? f ( x ) 的导数, y ? f ?(x) 的 图象如图所示, 则 y ? f ( x ) 的图象最有可能是( )
'
2

解: y ? f ?(x) 图象显示,x>2 或 x<0 时 f (x)>0,f(x)为增函数。0<x<2 时 f (x)<0,f(x)
' '

为减函数,故选 C 7. 若对任意的 x 有 f ?( x) ? 4 x -2 且 f (1) ? ?1 ,则此函数的解析式可能是(
3



A、 f ( x) ? x 4 -2 C、 f ( x) ? x 4 ? 2 x+1

B、 f ( x) ? x 4 ? 2 D、 f ( x) ? x 4 ? 1

解:将条件 f (1) ? ?1 代入验证即可,故选 C 8. f ( x) ? x 3 ? 4 x ? 5 的图象在 x ? 1 处的切线与圆 x 2 ? y 2 ? 50 的位置关系是( ) A、相切 C、过圆心
2

B、相交但不过圆心 D、相离

解:f′(x)=3 x +4,f′(1)=7,又 f(1)=10。所以切线方程为 7x-y+3=0,圆心(0,0)到切 线距离 d= 二 填空题 9、函数 y ? x 3 ? x 2 ? 5x ? 5 的单调递增区间是___________________________ 解:
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3 < 50 ,圆心(0,0)不在切线上,故选 B 50

特级教师 王新敞
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5 5 令y ' ? 3x 2 ? 2 x ? 5 ? 0, 得x ? ? , 或x ? 1 ,单调递增区间是 (??, ? ), (1, ??) 3 3
3 2

10、函数 f(x)=2x -3x -12x+5 在闭区间[0,3]上的最大值与最小值的和是
2



解; f ?( x ) =6 x -6x-12=0,则 x=-1 或 x=2;因为 x=-1 ? [0, 3]. 由 f(0)=5, f(2)=-15,f(3)=-4. 所以 f(x)的最大值与最小值的和是-10.

4 3 x +bx 有三个单调区间,则 b 的取值范围是________. 3 解:y′=-4x2+b,若 y′值有正、有负,则 b>0. 三 解答题
11、若函数 y=- 12、 已知函数 y ? ax ? bx ,当 x ? 1 时,有极大值 3 ;
3 2

(1)求 a , b 的值; (2)求函数 y 的极小值

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解: (1) y ' ? 3ax2 ? 2bx, 当 x ? 1 时, y' |x?1 ? 3a ? 2b ? 0, y |x?1 ? a ? b ? 3 , 即?

?3a ? 2b ? 0 , a ? ?6, b ? 9 ?a ? b ? 3
3 2 ' 2 '

(2) y ? ?6 x ? 9 x , y ? ?18x ? 18x ,令 y ? 0 ,得 x ? 0, 或x ? 1

? y极小值 ? y |x?0 ? 0
13、设函数 f(x)=ax +bx +cx+d 的图象与 y 轴的交点为 P,且曲线 f(x)在 P 点出处的切线方 程为 24x+y-12=0,又函数在 x=2 出处取得极值-16,求该函数的单调递减区间.
3 2

解:设 P 点的坐标(0,d),d=12

f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c ,-24=k= f ?(0) ? c ,又-16=8a+4b+2c+d=8a+4b-36
∴2a+b=5 ① ,另由 f ?(2) ? 0 得 3a+b=6 ②

由①②解得 a=1,b=3;由此解 f ?( x) ? 0 得-4≤x≤2,所求区间[-4,2].

1 1 14、若函数 y= x3- ax2+(a-1)x+1 在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)内 2 3 为增函数,试求实数 a 的取值范围. 解: f ? (x)=x2-ax+a-1=0 得 x=1 或 x=a-1,
当 a-1≤1,即 a≤2 时,函数 f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意. 当 a-1>1,即 a>2 时,函数 f(x)在(-∞,1)上为增函数, 在(1,a-1)上为减函数,在(a-1,+∞)上为增函数. 依题意,当 x∈(1,4)时, f ? (x)<0,当 x∈(6,+∞)时, f ? (x)>0,∴4≤a-1≤6,∴5≤a≤7.∴a 的取值范围为[5,7]. 课外作业 一 选择题 1、某产品的销售收入 y1(万元)是产品 x(千台)的函数,y1=17x ,生产总成本 y2(万元)也是 x 的函数,y2=2x -x (x>0),为使利润最大,应生产( A.9 千台 B.8 千台 C.6 千台
3 2 2



D。3 千台

解: f ( x) ? y1 ? y2 ? ?2x3 ? 18x2 , f ?( x) ? ?6x2 ? 36x ? 0, x ? 6 ,故选 C 2、把长度为 8cm 的线段分成四段,围成一个矩形,矩形面积最大值为( A 2 B 4 C 8 D 以上都不对 解:设矩形边长为 a,b;则 a+b=4, 矩形面积 s=ab=(4-b)b 令 s =4-2b=0,得 b=2,唯一极值点,所以 a=2, smax =4,故选 B 3、设正三棱柱体积为 V,则其表面积最小时,底面边长为 A. 3 V B.
3
'







2V

C.

3

4V

D 23 V

解:设正三棱柱底面边长为 x,高为 h;则 V=

3 2 3 2 x h, 表面积 s=3xh+2 ? x 4 4

即有 s=

3 2 4 3V 3 3 ' ' x + , s = 2 ( x -4V),令 s =0 得唯一极值点 x= 3 4V ,故选 C 2 x x

4、欲制作一个容积为 2? 立方米的圆柱形储油罐(有盖) ,为能使所用的材料最省, 它的底 面半径与高分别为 ( ) B.底面半径为 1 米,高为 1 米 ;

A.底面半径为 0.5 米,高为 1 米;

C.底面半径为 1 米,高为 2 米 ;

D.底面半径为 2 米,高为 2 米
2

解:设圆柱的底面半径为 r ,高为 h ,表面积为 y ,则由题意有: ? r h ? 2? ,? h ? 且 y ? 2? r ? 2? rh ? 2? r ?
2 2

4? 4? 4? ,则 y ? ? 4? r ? 2 ,令 y ? ? 4? r ? 2 ? 0 ,得 r ? 1 . r r r

2 , r2

当 0 ? r ? 1 时, y? ? 0 ,函数单调递减,当 r ? 1 时, y? ? 0 ,函数单调递增, 所以,当 r ? 1 时,函数有极小值也是最小值 6? (平方米) , 所以当底面半径为 1 米,高为 2 米时,所用材料最省,故选 C

5、内接于半径为 R 的圆的矩形,周长最大值为( A 2R B 3R C 4R D 4 2R

) A

解:设矩形边长为 a,b. ? ABC= ? ,则 周长 L=4R(sin ? +cos ? )
'

(0< ? <

? ) 2

B

C

令 L =4R(cos ? -sin ? )=0,得 tan ? =1, 所以周长最大值为 4 2 R,故选 D

?=

? 4

6、生产某种产品,固定成本为 20000 元,每生产一个单位产品,成本增加 100 元,已知总

1 2 ? 0 ? x ? 400 ?400x ? x , 收益 R 与年产量 x 的关系是 R(x)= ? 则总利润最大时年产量是( ) 2 ? , x ? 400 ?80000
A 100 B 150 C 200 D 300 解:当 0 ? x ? 400 时, 总利润 y=400x'

1 2 1 x -100x-20000=300x- x 2 -20000 2 2

令 y =300-x=0,得 x=300,唯一极值点,y=25000. 当 x>400 时,y=80000-100x-20000=60000-100x<20000,故选 D 解:设圆柱高 h, 底面半径 R,容积 V,则:

S=2 ?Rh + 2?R 2 , h=

S ? 2?R 2 2?R

V(R)=

1 1 S ? 2?R 2 ? R 2 = ( S ? 2?R 2 ) R ? SR ? ?R 3 2 2 2?R

V ' ( R) )=0 ? S ? 6?R 2 ? 6?R 2 ? 2?Rh ? 2?R 2 ? h ? 2R .
所以

h =2,故选 A R

7、某渔业公司年初用 98 万元购买一艘捕鱼船,第一年各种费用为 12 万元,以后每年都增 加 4 万元,每年捕鱼收益 50 万元.若干年后,有两种处理方案: 方案一:年平均获利最大时,以 26 万元出售该渔船 方案二:总纯收入获利最大时,以 8 万元出售该渔船.问哪种方案合算. ( ) A.方案一; B.方案二; C.方案一和方案二都一样; D.还有更合算方案 解:由题意知,每年的费用以 12 为首项,4 为公差的等差数列. 设纯收入与年数 n 的关系为 f(n) ,则

f (n) ? 50n ? [12 ? 16 ? ? ? (8 ? 4n)] ? 98 ? ?2n 2 ? 40n ? 98 .
方案一:年平均收入 ?

f ( n) 49 ? 40 ? 2(n ? ) . n n

求导得,n=7 时获利最大. ∴

f ( n) ? 40 ? 2 ? 14 ? 12 (万元) . n
2

即第 7 年平均收益最大,总收益为 12×7+26=110(万元) . 方案二:f(n)= ? 2n +40n-98 . 求导得,当 n=10 时,f(n)取最大值 102,总收益为 102+8=110(万元) . 比较如上两种方案,总收益均为 110 万元,而方案一中 n=7,故选方案一.故选 A 8、某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法:达到 100 人的团体,每人收费 1000 元。如果 团体的人数超过 100 人,那么每超过 1 人,每人平均收费降低 5 元,但团体人数不能超过 180 人(不到 100 人不组团),要使旅行社的收费最多?, 旅游团组团人数为 A.130; B.140; C.150; D.160 ( )

解:设参加旅游的人数为 x,旅游团收费为 y 则依题意有 f ( x ) =1000x-5(x-100)x (100≤x≤180)

令 f ?( x) ? 1500 ? 10 x ? 0 得 x=150 又 f (100) ? 100000 , f (150) ? 112500 , f (180) ? 108000 所以当参加人数为 150 人时,旅游团的收费最高,可达 112500 元,故选 C 二.填空题 2 9、过抛物线 y=x -3x 上一点 P 的切线的倾斜角为 45°,它与两坐标轴交于 A,B 两点,则 △AOB 的面积是 . 解: y =2x-3=tan45°=1,所以 x=2,则 y=-2.切线方程 y=x-4, 点 A(4,0) ,B(0,-4);
3

'

所以△AOB 的面积是 8. 时,材料最省。

10、容积为 256cm 的方底无盖水箱,它的高为

解:设底边长为 xcm,高为 hcm,则 x h=256. 表面积 y=4xh+x = y ='

2

2

256 ? 4 2 +x x

11、铁道机车运行 1 小时所需的成本由两部分组成,固定部分为 m 元,变动部分与运行速 度 V(千米/小时)的平方成正比。比例系数为 k(k≠0) 。如果机车匀速从甲站开往乙站, 当机车以_______

256 ? 4 ' +2x,令 y =0 得 x=8,为唯一极值点,所以 h=4(cm) x2

m ___速度运行时,成本最省。 K

解:设以速度 V 匀速运行成本最省,甲、乙两站相距 S 千米,则机车匀速从甲站到乙站所 需时间为 t ? 当V ?

S S m . 总成本为 y 元。? y ? (m ? KV 2 ) ? S ( KV ? ), 求导得: V V V

m y 时, 有最小值, K

三 解答题 12、如图,一矩形铁皮的长为 8cm,宽为 5cm,在四个角上截去 四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,盒子容积最大时小 正方形的边长为 解: 设小正方形的边长为 x 厘米, 则盒子底面长为 8 ? 2 x , 宽为 5 ? 2 x

V ? (8 ? 2x)(5 ? 2x) x ? 4x3 ? 26x2 ? 40x
' V ' ? 12 x 2 ? 52 x ? 40, 令V ? 0, 得x ? 1, 或x ?

10 10 ,x? (舍去) 3 3

V极大值 ? V ( 1 ) ? 1,在定义域内仅有一个极大值, 8 ?V最大值 ? 18
13、 某厂生产产品 x 件的总成本 c( x) ? 1200 ? 满足: P ?
2

2 3 x (万元), 已知产品单价 P(万元)与产品件数 x 75

k ,生产 100 件这样的产品单价为 50 万元,产量定为多少件时总利润最大? x

解:由题意知有:502 ? ?总利润L(x)=x ?

k 25 ?104 500 得k=25 ? 104 ,? P ? ? 100 x x

1 500 2 2 ? 1200 ? x3 ? L' ( x) ? 500 x 2 ? x 2 75 25 x ' 令L ( x) ? 0则有 : x ? 25(件) ?当x ? 25件时,总利润最大.

14、一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比,已知当速度为 10 km 的

h

燃料费是 6 元 ,而其他与速度无关的费用是 96 元

h

h

,问轮船以何种速度航行时,能使行使

路程的费用总和最小? 解:设船的行使速度为 x(x>0) km

h

时,燃料费用为

Q元

小时

,则 Q ? kx3

则6 ? k ? 103 ,? k ? 行使路程为a, 则

3 3 , 从而Q ? x3, 设总费用为y元, 500 500

3 a 3x 2 96 x3 ? 96) ? ? ( ? ) a, 500 x 500 x 6 96 6( x 3 ? 800) ? y' ? ( ? 2 )a, 令y ' ? ?0 500 x 500x 2 得x ? 20, 且x ? (0,20)时, y ' ? 0;当x ? (20,??)时y ' ? 0, 所以当x ? 20时,y最小. y?(
章末测试 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,每小题给出的四个选项中,只有一 个选项符合题目要求的) 1. y ? x 2 在 x ? 1 处的导数为( A. 2 x B.2 ? ?x ) C.2 D.1

解: y ' =2x,当 x=1 时 y ' =2,故选 C 2.下列求导数运算正确的是( A. ( x ? ) B.

1 ' 1 ) ?1? 2 x x

(log2 x) ' ?
2 '

1 x ln 2

C. (3 x ) ' ? 3 x log3 e 解:A). ( x ? 选B

D. ( x cos x) ? ?2 x sin x

1 ' 1 ) ? 1 ? 2 , C) (3x )' ? 3x ln 3 ,D) ( x2 cos x)' ? 2x cos x ? x2 sin x ,故 x x
3

3. .函数 y ? 3x ? x 的单调增区间是( A.(0,+∞)
'
2

) C.(-1,1) D.(1,+∞)

B.(-∞,-1)

解:令 y =3-3 x >0,得-1<x<1,故选 C 4.函数 f(x)=x (1 ? x) 有 (
2

)个极值点。 C2 D3

A0
3

B1
2

解:f(x)= x ? 2 x ? x ,
3

f ' ( x) = 3x 2 ? 4 x ? 1 有两个零点,故选 C


5. 三次函数 f ( x) ? ax ? 2 x +5 在 x ? (??,??) 内是增函数,则( A. a >0 B. a <0 C. a =1 D. a =

1 3

2 ' 解: 依题意 f ( x) =3a x +2>0 在 x ? (??,??) 恒成立,所以 a >0, (注意 a ? 0 ) ,故选 A

6.与直线 3x ? y ? 8 ? 0 平行的曲线 y ? x 3 ? 3x 2 ? 1的切线方程为( (A) y ? 3x ? 4 (B) y ? ?3x ? 2
2



(C) y ? ?4 x ? 3

( D) y ? 4 x ? 5

解: y ' =3 x -6x=-3,得 x=1,则 y=-1,所以切线方程为 y+1=-3(x-1),故选 B 7. 对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足(x-1) f ?(x) ?0,则必有( ) A.f(0)+f(2)?2f(1) B. f(0)+f(2)?2f(1) C.f(0)+f(2)?2f(1) D. f(0)+f(2)?2f(1) 解:依题意,当 x?1 时,f?(x)?0,函数 f(x)在(1,+?)上是增函数;当 x?1 时,f? (x)?0,f(x)在(-?,1)上是减函数,故 f(x)当 x=1 时取得最小值,即有 f(0)?f(1) ,f(2)?f(1) ,故选 C 8.已知函数 f(x)=

1 2 x +sinx, 则 y=f′(x)的大致图象是 2





解:f′(x)=x+cosx,非奇函数也非偶函数,又在 ??
3

? ? ?? 上 x+cosx ? ,故选 B , ? 2 2? ?

9. 、函数 f(x)=x -3bx+3b 在(0,1)内有极小值,则 A.0<b<1
'
2

B.b<1

C.b>0

D.b<

1 2
'

解: f ( x) =3 x -3b, 因为有极小值则 b>0,所以当 f ( x) =0 得 x= b 或 x=- b ,由三次函数 性质可知 x= b 是极小值点,故 0< b <1,故选 A 10.下图是 f ' ( x) 的图像,则正确的判断个数是( 1)f(x)在(-5,-3)上是减函数; 2)x=4 是极大值点; 3)x=2 是极值点; 4)f(x)在(-2,2)上先减后增; -5 -3 -2 0 2 4 A 0 B1 C2 D3 解:正确的判断是 2)和 4) ,故选 C 二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。把答案填在题中横线上) x ) y

11. 曲线 y ? x3 ? 3x 在点 P(?2, ?14) 处的切线方程是 解:令 y ' =3 x +3,当 x=-2 时, y ' =15.所以有 y+14=15(x+2), 即切线方程为:y=15x+16
, 0) ,极大值为 12.函数 f ( x) ? x3 ? px2 ? qx 的图象与 x 轴相切于点 (1
2



4 ,则极小值为 27 , 0) ,由三次函数性质知极小值为 0. 解:? 这函数的图象过原点且 x 轴相切于点 (1


13.函数 y ? 2x2 ? ln x( x ? 0) 的单调增区间为 解:令 y ' =4x-

1 1 1 >0,得 x> . 单调增区间为( ,+ ? ). x 2 2

14.函数 f(x)=x+2cosx 在 ? 0,

? ?? 上取得最大值时,x 的值是 ? 2? ?



解:令 f ( x) =1-2sinx=0,得 sinx=

'

1 ? ? ?? ,? x ? ? 0, ? ,? x= .为唯一极值点。故为极大值点, 2 6 ? 2?

x=

? 为所求。 6
x

15.如果直线 y=kx 与曲线 y= e 有公共点,则 k 的取值范围是 解:当直线 y=kx 与曲线 y= e 相切时,设切点( x0 , e 0 ) ,
x x

y

e x0 则 k= e = ,? x0 =1, 切点(1,e), k=e, 则 k 的取值范围是 x0
x0

x

?e,??? ? (- ?,0)

三.解答题(本大题共 5 小题,共 50 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

1 x ?x ( e + e )的最小值点,求曲线在( x0 , f ( x0 ) )处的切线方程。 2 1 x ?x ' 解:令) f (x)= ( e - e )=0,得 x=0. 2
16 设 x0 是 f(x)= 当 x>0 时, f (x)>0;当 x<0 时, f (x)<0. 所以 x=0 时,f(x)取得最小值是 f(0)=1,又曲线在(0,1)点处切线斜率 k= f (0)=0 所以曲线在(1,0)处的切线方程为 y=1。 .17. 设函数 f(x)=ax +bx +cx+d 的图象与 y 轴的交点为 P,且曲线 f(x)在 P 点出处的切线方 程为 24x+y-12=0,又函数在 x=2 出处取得极值-16,求该函数的单调递减区间
3 2

'

'

'

解:设 P 点的坐标(0,d),d=12

f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c ,-24=k= f ?(0) ? c ,又-16=8a+4b+2c+d=8a+4b-36
∴2a+b=5 ① ,另由 f ?(2) ? 0 得 3a+b=6 ②

由①②解得 a=1,b=3;由此解 f ?( x) ? 0 得-4≤x≤2,所求区间[-4,2]. 18.曲线 C:f(x)= ax +bx +cx+d 关于原点成中心对称,y 极小=f(1)= ?
3 2

2 . 3

(1)求 f(x)的解析式; (2) 在曲线 C 上是否存在点 P, 使过 P 点的切线与曲线 C 除 P 点以外不再有其它公共点? 证明你的结论. 解:(1)曲线 f(x) 关于原点成中心对称,f(-x)=-f(x),得 b=d=0.

2 ? ? f(x)=a x +cx, 又 f(1)= ? 且 f ' (1)=0,? ? 2得 3 ?a ? c ? ?
3

?3a ? c ? 0, ? 3

a=

1 1 ,c=-1,得 f ( x) ? x 3 ? x ; 3 3
y ? f (a) 1 2 ? ( x ? ax ? a 2 ) ? 1 , x?a 3

(2)设切点 P(a,f(a)),则 k= f ?(a) ? a 2 ? 1 ?
2 2

∴x +ax-2a =0,若存在这样的点 P,则 x1=x2=a,∴x1+x2=2a= -a,∴a=0 ∴存在这样的点 P(0,0)满足题意. 19..已知 f(x)=2ax- (2)若对 x∈[

b 1 +lnx 在 x=-1,x= 处取得极值.(1)求 a、b 的值; x 2

1 ,4]时,f(x)>c 恒成立,求 c 的取值范围. 4 b 1 b 解:(1)∵f(x)=2ax- +lnx, ∴f′(x)=2a+ 2 + . x x x 1 1 ∵f(x)在 x=-1 与 x= 处取得极值,∴f′(-1)=0,f′( )=0, 2 2
?2a ? b ? 1 ? 0, ?a ? 1, 即? 解得 ? ?2a ? 4b ? 2 ? 0. ?b ? ?1.
(2)由(1)得 f′(x)=2- ∴所求 a、b 的值分别为 1、-1.

1 1 1 1 2 + = 2 (2x +x-1)= 2 (2x-1) (x+1). 2 x x x x 1 1 1 1 ∴当 x∈[ , ]时,f′(x)<0;当 x∈[ ,4]时,f′(x)>0.∴f( )是 f 4 2 2 2 1 (x)在[ ,4]上的极小值.又∵只有一个极小值, 4 1 ∴f(x)min=f( )=3-ln2. 2
∵f(x)>c 恒成立,∴c<f(x)min=3-ln2. ∴c 的取值范围为 c<3-ln2.

20.已知某工厂生产 x 件产品的成本为 C ? 25000 ? 200 x ?

1 2 ,问: (1)要使平均成 x (元) 40 本最低,应生产多少件产品?(2)若产品以每件 500 元售出,要使利润最大,应生产多 少件产品?
25000 ? 200 x ? x 1 2 x 40 ? 25000 ? 200 ? x , x 40

解: (1)设平均成本为 y 元,则 y ?

?25000 1 ? ,令 y ? ? 0 得 x ? 1000 . x2 40 当在 x ? 1000 附近左侧时 y ? ? 0 ; 在 x ? 1000 附近右侧时 y ? ? 0 ,故当 x ? 1000 时, y 取极小值,而函数只有一个点使 y ? ? 0 , y? ?
故函数在该点处取得最小值,因此,要使平均成本最低,应生产 1000 件产品.
? x2 ? x2 x (2)利润函数为 S ? 500 x ? ? 25000 ? 200 x ? ? ? 300 x ? 25000 ? , S ? ? 300 ? , 40 ? 40 20 ?

令 S ? ? 0 ,得 x ? 6000 ,当在 x ? 6000 附近左侧时 S ? ? 0 ;在 x ? 6000 附近右侧时 S ? ? 0 ,故 当 x ? 6000 时, S 取极大值,而函数只有一个点使 S ? ? 0 ,故函数在该点处取得最大值,因 此,要使利润最大,应生产 6000 件产品.


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