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高中数学第二章2-1-1指数与指数幂的运算课件新人教A版必修


第 二 章 基 本 初 等 函 数

读教材·填要点
2.1.1

课前预习·巧设计

2.1

指 数 函 数

(I)

指 数 与 指 数 幂 的 运 算

小问题·大思维

考点一
名师课堂·一点通

考点二
考点三 解题高手
NO.1课堂强化

创新演练·大冲关

No.2课下检测

[读教材·填要点] 1.根式及相关概念 (1)a的n次方根定义:
n 如果 x =a ,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且

n∈N*.

(2)a的n次方根的表示:
n 的奇偶性 n 为奇数 n 为偶数 a 的 n 次方根的 表示符号 n a a 的取值范围 a∈R [0,+∞)

n ± a

(3)根式: 式子

n

a 叫做根式, 这里 n 叫做 根指数 , a 叫做 被开方数 .

2.根式的性质 (1) 0= 0 (n∈N*,且 n>1); (2)( a)n= a (n∈N*,且 n>1); (3) an= a (n 为大于 1 的奇数); (4) n n n n

a ? ? an= |a|=?-a ? ?

?a≥0? (n 为大于 1 的偶数). ?a<0?

3.分数指数幂的意义
正分数 指数幂 分数 指数 幂 负分数 指数幂 规定:a
? m n

规定:a =

m n

n

am(a>0,m,n∈N*,且 n>1)
1 n

= m= an

1

am

(a>0,m,n∈N*,

且 n>1) 性质 0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂

没有意义

4.有理数指数幂的运算性质 r+ s a r s (1)a · a= (a>0,r,s∈Q);
rs r s a (2)(a ) =

(a>0,r,s∈Q);

(3)(ab)r= arbr (a>0,b>0,r∈Q). 5.无理数指数幂 无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个 确定的实数 .

有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.

[小问题·大思维] 1.根式一定是无理式吗?
提示: 根式不一定为无理式, 如 a+1为无理式, 而 ?x+1?2 =|x+1|为有理式.
2.下列说法正确的有哪几个? 6 ①64 的 6 次方根是 2;② 64的运算结果是± 2;③负 数没有偶次方根.
提示:64 的 6 次方根是± 2; 64=2;③正确.故只有③ 正确. 6

3. a 与( a)n 有什么区别?其中实数 a 的取值各有什么限制?
提示: (1) an是实数 an 的 n 次方根, 是一个恒有意义的式子, 不 受 n 的奇偶性的限制,a∈R, (2)( a)n 是实数 a 的 n 次方根的 n 次幂,其中实数 a 的取值与 n 的奇偶性有关;当 n 为大于 1 的奇数时,a∈R;当 n 为大于 1 的偶数时,a≥0. n n

n

n

n

m 4.a 可不可以理解为 n 个 a 相乘?它的实质是什么? m 1 m 提示:a n 不能理解为 n 个 a 相乘,如 a 2 不能认为半个 a 的
乘积,它的实质是根式的另一种写法,如 a = a.
1 2

m n

5.负数为什么没有偶次方根?
提示:∵xn=a,当n为偶数时,xn一定为非负数,即

a≥0,∴负数没有偶次方根.

6.下列各式是否正确? ① 3 3 3 ?-3?2=-3;②( -3)3= ?-3?3; 3

③ -8=- 23.

提示: ?-3?2= 32=3. ( -3) =-3= ?-3?3, 3 -8= ?-2? =-2=- 23. 3
3

3

3

3

3

故②③正确.

[研一题]
[例 1] 4 4 求下列根式的值.
4

(1) ?-2? ; (3) ?x+1? ;
4

(2) ?2-π?5 (4) ?x-6?3 3

5

[自主解答] (1) ?-2?4=2; (2) ?2-π?5=2-π; (3) ?x+1? 3 4
4

4

5

? ?x+1, =|x+1|=? ? ?-x-1,

x≥-1, x<-1.

(4) ?x-6?3=x-6

[悟一法]
(1) a n
n

? ?|a|, =? ? ?a,

n为偶数 n为奇数

要解决根式的化简问题,首先要分清根式为奇次根式, 还是偶次根式.

(2)为使开偶次方后不出现符号错误,第一步先用绝 对值表示开方的结果,第二步再去掉绝对值符号化简, 化简时要结合条件或分类讨论.

[通一类]
1.求下列各式的值: (1) ?-3?2; (2) ?a-b? + ?a+b?n(a<b<0,n>1,n∈N*). n
n

4

n

解:(1)

4

? 3? 2 ? 4 9 ? 4 32 ? 3 ? 3

2 4

(2)当 n 是奇数时,原式=(a-b)+(a+b)=2a; 当 n 为偶数时,因为 a<b<0,所以 a-b<0,a+b<0, 所以原式=-(a-b)-(a+b)=-2a. 所以 ?a-b? + ?a+b?n
* ? 2 a , n = 2 k + 1 , k ∈ N ? =? * ? ?-2a,n=2k,k∈N

n

n

n

.

[研一题]
[例 2] 3 3 将下列根式化成分数指数幂形式. (2) a a a; (4)( a)2· ab3. 3

4 (1) a· a; (3) a · a ;
2 3

[自主解答]
1 2 2 3

(1)
1 4

3

a ? 4 a ? a ?a ? a ;
1 8 7 8

1 3

1 4

7 12

(2)原式= a ? a ? a ? a ; (3)原式= a ? a ? a ; (4)原式= (a ) ? a ? b ? a b .
1 3 2 1 2 3 2 7 6 3 2

3 2

13 6

[悟一法]
在解决根式与分数指数幂互化的问题时,关键是熟记根 式与分数指数幂的转化式子: a = a 和 a 其中字母 a 要使式子有意义.
m n

n

m

?

m n



1 a
m n



1 n am



[通一类] 2.用分数指数幂表示下列各式:
6 (1) a· -a(a<0); 3 (2) ab2? ab?3(a,b>0); (3) ( b ) (4) 1 3 5
4 2 3 2 3

3

? b ? 0? ;
(x≠0).

x? x2?2

解:(1)原式= (a ) ? ( ? a ) ; =-(-a) · (-a) =-(-a) (a<0); (2)原式= ab 2 ? a b ? a b =0 (3)原式= b (4)原式=
2 1 2 ? ? 3 4 3
3 3 2 3 2 3 5 2 7 2

1 3

1 6

1 3

1 6

1 2

=( -b ) (b< 0)
4 1 ? 5 3

1 9

1 x ?x
1 3

?

1 x
3 5

?x .

?

3 5

[研一题]
[例 3] 计算下列各式:

1 ? 30 1 2 (1)(2 ) +2-2· -(0.01)0.5; (2 ) 5 4

(2) ? 0.064 ?

?

1 3

4 ? 70 - -(- ) +[(-2)3 ] 3 +16 0.75; 8

3 ? 4 ab 1 ? 1 ?1 (3) ( ) 2 · (a>0,b>0). 1 ?2 4 0.1 ? a 3b3 ? 2

[自主解答]

1 1 1 1 16 4 1 1 2 2 (1)原式=1+4× ( ) - ( ) =1+6-10=15. 9 100
-1 -4 -3

5 1 1 27 (2)原式=0.4 -1+(-2) +2 =2-1+16+8=16.
3 3 3 ? ? 4 0 0 4 4 ?4 2 2 2 (3)原式= · =25a b =25. a · a · b · 100
1 2 3 2

[悟一法] (1)指数幂的一般运算步骤是:有括号先算括号里的;无 括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是

负数,先确定符号;底数是小数,先要化成分数;底数是带
分数,先要化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便 于用指数幂的运算性质. (2)根式一般先转化成分数指数幂,然后再利用有理指数 幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中,

一般采用由内到外逐层变换为指数的方法,然后运用运算性
质准确求解.

(3)对于含有字母的化简求值结果,一般用分数指数幂的 形式表示.

[通一类]
3.计算下列各式: 7 0.5 37 10 ? 2 -2 0 3 (1)(2 ) +(0.1) + (2 ) +3π + ; 9 48 27 5 × 53 (2) ; 5× 125 (3) 0.0256
? 1 4

2

5

? 7 - ? -??8? 2.6?0+ ? ?

(2 2 ) -160.75. ( 3 4) ·

3 4

5 3

25 0.5 1 -2 64 ? 2 37 解:(1)原式=( ) +( ) + ( ) 3 +3+ 9 10 48 27 5 9 37 = +100+ +3+ 3 16 48 80+27+37 = +103 48 144 = +103=3+103=106. 48 (2)原式=52· 5 · 5 =5 5 · =5
3 5 3 5 ? 1 2 ? 3 2 3 1 3 2? ? ? 5 2 2

(3)原式=2.5-1+ 2 =1.5+ 2 =1.5
1 5 ? 2 2

2 3 ? 3 4

?2

3 5 ? 2 3

-23

-23

化简:- (1 a )[(a-1)-2 (-a ) ]
[错解]
1 2

1 1 2 2
1 2
?2? 1 2

- (1-a)[(a-1) 2(-a) ] =(1-a) (a ? 1)

((a-1)

1 1 1 1 ? 1 -1 2 2 4 -2×2 ( ? a ) =(1-a)(a-1) (-a) =-(-a) 4 .

[错因]

错解中忽略了题中(-a) 有意义的条件,若(-a)
-2
1 2

1 2

1 2

有意义,则-a≥0,故 a≤0,这样[(a-1) ] =(1-a)-1.

[正解] 由(-a) 有意义可知-a≥0,故 a≤0, 所以(1-a)[(a-1) (-a) ] =(1-a)[(a-1) ] · [(-a) ] =(1-a)(1-a) (-a) =(-a) .
-1
1 4 1 4

1 2

-2

1 2

1 2

-2

1 2

1 2

1 2


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