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2015汕头二模文数试题与答案


汕头市 2015 年普通高中毕业班第二次模拟考试 数学(文科)答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 B
[ 来

2 A

3 C

4

[来源:Z.xx.k.Com]

5 A
|网]

/>
6 C
[来源:学| 科

7 D

8 B

9 D

10 B

D

源:Zxxk.Com]

二、填空题(本大题共做 4 小题, 每小题 5 分,共 20 分) 11.

? ?1,1?

12. 54

13.

20

14.

? 2 ? 2? cos? ? 3

15. 5

[来源:Zxxk.Com]

三、解答题:本大题共 6 题,满分 80 分. 16.(本小题满分 12 分) 解:(1)由函数 f ( x) 的图象经过点 ( 则 3 sin

?? ?? ? a cos ? 1 .解得 a ? ?1 3 3 因此 f ( x) ? 3sin x ? cos x .
(2) f ( x) ? 3sin x ? cos x

?? ,1) , 3

3 1 sin x ? cos x) 2 2 ? ? 2sin( x ? ) 6 3 ? ? ? 6 ?? . f (? ? ) ? 2sin(? ? ? ) ? 2sin ? ? ?s i n 5 6 6 6 5 5 5? ? 10 f ( ? ? ? ) ? 2sin( ? ? ? ) ? 2sin ?? ? ? ? ? ?2sin ? ? ? 6 6 6 13 5 ? sin ? ? . 13 ? 又 ? , ? ? [0, ] 2 12 4 cos ? ? 1 ? sin ? ? . ? cos ? ? 1 ? sin ? 2 ? 13 5, 63 ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 65 17.(本小题满分 12 分) 6 x ? ,解得 x ? 2 解:(1)设年龄在 20 39 岁之间应抽取 x 人,则 36 12 所以年龄在 20 39 岁之间应抽取 2 人 (2 )记在缴费 100 500 元之间抽取的 6 人中,年龄在 20 39 岁的 2 人为 a1 , a2 ;年龄在 ? 2(

40

所以随机抽取 2 人的所有结果有:? a1 , a2 ? ,? a1 , b1 ? ,? a1 , b2 ? ,? a1 , b3 ? ,? a1 , b4 ? ,? a2 , b1 ? ,

59 岁的 4 人为 b1 , b2 , b3 , b4 .

? a2 , b2 ? , ? a2 , b3 ? , ? a2 , b4 ? , ?b1, b2 ? , ?b1, b3 ? , ?b1, b4 ? , ?b2 , b3 ? , ? b2 , b4 ? , ?b3 , b4 ? ;
59 岁之间的事件为 A,则事件为 A 包含的基本事件有:
;共 6 种.

共 15 种. 设这 2 人的年龄都在 40 所以 P ? A ? ?

?b1, b2 ? , ?b1, b3 ? , ?b1, b4 ? , ?b2 , b3 ? , ? b2 , b4 ? , ?b3 , b4 ?
6 2 ? 15 5
59 岁之间的概率为

答:这 2 人的年龄都在 40

2 5

18.(本小题满分 14 分) 证明:(1)∵ 四边形 ABCD 是菱形, AC BD ? O ,∴ 点 O 是 BD 的中点; ∵ 点 G 为 BC 的中点,∴OG // CD ,又∵OG ? 平面 EFCD , CD ? 平面 EFCD , ∴ 直线 OG // 平面 EFCD . (2)∵BF ? CF ,点 G 为 BC 的中点,∴FG ? BC ; ∵ 平面 BCF ? 平面 ABCD ,平面 BCF 平面 ABCD ? BC , FG ? 平面 BCF , FG ? BC , ∴FG ? 平面 ABCD ; ∵AC ? 平面 ABCD ,∴FG ? AC ; 1 1 ∵OG // AB, OG ? AB , EF // AB, EF ? AB ,∴ OG // EF , OG ? EF ; 2 2 ∴ 四边形 EFGO 为平行四边形,∴FG // EO ; ∵FG ? AC , FG // EO ,∴AC ? EO ; ∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴AC ? DO ; ∵AC ? EO , AC ? DO EO DO ? O , EO、DO 在平面 ODE 内, ∴AC ? 平面 ODE . 19.(本小题满分 14 分)

[来源:学科网 ZXXK]

解:(1) an?1 ?

1 4 ?1 ? an ? 2 ? bn ?1 ? ? 2an ?1 ? 1

2 2 ? ? 2 ? b n ?2 2 2 a ? 1 n ?1 4 ?1 ? an ?

?bn?1 ? bn ? ?2 1 2 又 a1 ? ,? b1 ? ? ?4 4 2a1 ? 1

? 数列 ?bn ? 为等差数列,且首项为 ?4 ,公差为 ?2
? ?2n ? 2 2an ? 1 1 1 n ? an ? ? ? 2 2n ? 2 2 ? n ? 1?


(2)由(1)知 bn ? ?4 ? ? n ?1?? ?2? ? ?2n ? 2

2

a k ? 1 2 ? k ? 1? ? k ? 1? 1 1?1 1 ? ? ? ? 1? ? 1? ? ? 由于 k ?1 ? ? ak 2 ? k ? 2? k k ? k ? 2? k ? k ? 2? 2?k k ?2?
2

a a2 a3 1? 1 1 1 ? ? ??? ? n?1 ? n ? ?1 ? ? ? ? a1 a2 an 2? 3 2 4 1? 1 1 1 ? 3 ? n ? ?1 ? ? ? ?? n? 2 ? 2 n ?1 n ? 2 ? 4 20.(本小题满分 14 分) ?
?c 2 ? ? a 2 ? ? 解:(1)由题意得 ?a 2 ? b 2 ? 6 ? 2 2 2 ?a ? b ? c ? ? 解 得 a ? 2, b ? 2

1 1 ? ? ? ? n n?2?

x2 y 2 ? ?1. 4 2 (2)以 MN 为直径的圆过定点 F (? 2, 0) .

∴椭圆 C 的标准方程为:

2 x0 y2 2 2 ? 2 y0 ? 4, ? 0 ? 1 ,即 x0 4 2 y 2 y0 ); ∵ A(?2, 0) ,∴直线 PA 方程为: y ? 0 ( x ? 2) ,∴ M (0, x0 ? 2 x0 ? 2

设 P( x0 , y0 ) ,则 Q(? x0 , ? y0 ) ,且

∴直线 QA 方 程为: y ?

y0 2 y0 ( x ? 2) ,∴ N (0, ); x0 ? 2 x0 ? 2 2 y0 2 y0 )( y ? )?0, x0 ? 2 x0 ? 2

以 MN 为直径的圆为: ( x ? 0)( x ? 0) ? ( y ? 即 x2 ? y 2 ?
4 x0 y0 4 y0 2 y ? ? 0, x0 2 ? 4 x0 2 ? 4

2 2 ? 4 ? ?2 y0 ∵ x0 ,∴ x 2 ? y 2 ?

2 x0 y?2 ? 0 , y0

令 y ? 0 ,得 x 2 ? 2 ? 0 ,解得: x ? ? 2 , ∴以 MN 为直径的圆过定点: F (? 2, 0) . 21. (本小题满分 14 分) 解:解:(1) f '( x) ? 3x ? 3(a ? 1) x ? 3a ,
2

因为函数 f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线与直线 y ? 9 x ? 2 平行, 所以 f '(2) ? 9 ,

3 ? 22 ? 3(a ? 1) ? 2 ? 3a ? 9 , a ? ?1 , a 的值为 ?1 . 2 (2) f '( x) ? 3x ? 3(a ? 1) x ? 3a ,令 f '( x) ? 0 得 x ? 1, x ? a ①当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0,1) 单调递减,在 (1, 4) 单 调递增,
所以当 x ? 1 时, f (1) 是 f ( x) 在 x ? ? 0,4? 内的最小值,

1 3 1 ? a =1 解得 a ? 不符合题意舍去 3 2 2 ②当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 (0, a ) 和 (1, 4) 单调递增,在 (a,1) 单调递减,
则 f (1) ?

? 3(a ? 1) ? 3a ? 1 ? 1 ? f (1) ? f (0) ?1 ? 1 即 ,解得 0 ? a ? ?? 2 ? 3 ?0 ? a ? 1 ? ?0 ? a ? 1 1 当 0 ? a ? 时,使 f (1) 是 f ( x) 在 x ? ? 0,4? 内的最小值; 3 1 3 1 则 f (1) ? ? a =1 解得 a ? 符合题意 3 2 2 ③当 a ? 1 时, f '( x) ? 3( x ?1)2 ? 0 , f ( x) 在 (0, 4) 单调递增, 则函数 f ( x) 在 x ? ? 0,4? 内不存在最小值; ④当 1 ? a ? 4 时, f ( x) 在 (0,1) 和 ( a, 4) 单调递增,在 (1, a ) 单调递减, 3(a ? 1) 2 ? a ? 3a 2 ? 1 ? 1 ? f (a) ? f (0) ?a 3 ? 即? ?? 2 ?1 ? a ? 4 ? ?1 ? a ? 4 ?a ? 3 解得 ? 所以 3 ? a ? 4 ?1 ? a ? 4
所以当 x ? a 时,函数 f ( x) 在 x ? ? 0,4? 内存在最小值 则 f ? a ? ? 1,解得 a ? 3 ⑤当 a ? 4 时, f ( x) 在 (0,1) 单调递增,在 (1, 4) 单调递减, 则函数 f ( x) 在 x ? ? 0,4? 内不存在最小值 综上得, a ?

1 或a ? 3 3


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