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湖北省襄阳市四校(襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中)2015-2016学年高二数学上学期期中联考试题 文


湖北省襄阳市四校(襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中) 2015-2016 学年高二数学上学期期中联考试题 文
★祝考试顺利★ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页。全卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.考生在答题前,请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试卷上无效。 3.填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。答在 试题卷上无效。 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.某校 1000 名学生中,O 型血有 450 人,A 型血有 200 人,B 型血有 200 人,AB 型血有 150 人,为了研究血型与血弱的关系,从中抽取容量为 40 的样本,按照分层抽样的方法抽取样 本,则 O 型血,A 型血,B 型血,AB 型血的人要分别抽取的人数为( ) A.16、10、10、4 B.18、8、8、6 C.18、10、10、2 D.15、8、8、9 2.在空间直角坐标系中,点 M (1,2,3) 关于 xoy 平面的对称点的坐标是( A. (?1, ?2,3) B. (1, ?2, ?3) C. (?1, 2, ?3) D. (1, 2, ?3) ) )

3.直线 ax ? (b ? 4) y ? 4 ? 0 与直线 ax ? (b ? 4) y ? 3 ? 0 互相垂直,则 ab 的最大值为( A.0
2

B.2
2

C.4

D.8 )

4.与圆 ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 4 关于直线 x ? ?1 对称的圆的方程为(
2 A. ? x ? 3? ? y ? 4 2

B. ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 4
2 2 2

C. ? x ? 5 ? ? ? y ? 2 ? ? 4
2

D. ? x ? 5 ? ? ? y ? 2 ? ? 4
2 2

5. 从甲乙两个城市分别随机抽取 10 台自动售货机, 对其销售额进行统计, 统计数据用茎叶 图表示(如图所示) ,设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲 , x乙 ,中位数分别为 m甲 , m乙 , 则( A. x 甲 )

? x 乙 , m甲 ? m乙

B. x 甲 ? x 乙 , m甲 ? m乙 D. x 甲 ? x 乙 , m甲 ? m乙

C. x 甲 ? x 乙 , m甲 ? m乙

? 2 2 2 6.过两点 A m ? 2,3 ? m ,B 3 ? m ? m , ?2m 的直线 l 的倾斜角为 135 , 则 m 的值为 (

?

? ?

?



1

A. -1 或-2 B.-1 C.-2 D.1 7. 甲、乙两人在 5 次体育测试中的成绩(成绩为整数,满分为 100 分)如下表,其中乙的 第 5 次成绩的个位数被污损。 第1次 甲 乙 91 87 第2次 86 85 第3次 88 86 ) 第4次 92 99 第5次 93 9

则乙的平均成绩高于甲的平均成绩的概率是( A.

3 4

B.

3 5

C.

1 2

D.

3 10


8.给出下列三个命题,其中不 正确 命题的个数是( . ..

①设有一大批产品,已知其次品率为 0.1,则从中任取 100 件,必有 10 件是次品; ②做 7 次抛硬币的试验,结果 3 次出现正面,因此,出现正面的概率是错误! 未找到引用源。 ; ③随机事件发生的频率就 是这个随机事件发生的概率. ④互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件 A.0 B.1 C.2 D.3 9.有 2 个人在一座 6 层大楼的底层进入电梯, 假设每一个人都自第二层开始在每一层离开电 梯是等可能的,则 2 个人在不同层离开的概率为( ) A.

1 6

B.

1 5

C.

4 5

D.

5 6

10.直线 x ? 2 y ? 8 ? 0 与圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 交于 E , F 两点,则 ?EOF ( O 是原点) 的面积为( A. ) B. 2 5 C.

16 5 5

8 5 5

D.

6 5 5


11.求函数 y ? A. 5

x2 ? 8x ? 17 ? x2 ? 4 的最小值为(
B. 3 C. 5

D. 3 5 )

12.直线 y ? x ? b 与曲线 x ? A. | b |? 2 2 C. ?2 ? b ? 2

4 ? y 2 有且仅有 1 个公共点,则 b 的取值范围是(

B. ?2 ? b ? 2 或 b ? ?2 2 D. ?2 ? b ? 2 或 b ? ?2 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题卡中相应的位置) 13.五位二进制能表示的最大的十进制数是___________ ;
2 14.如果实数 x . y 满足 ? x ? 2 ? ? y ? 3 ,求 2

y 的最小值为 x

15.定义某种运算 M ? a ? b ,运算原理如图所示, 则式子 (2 tan

?
4

) ? sin

?

? 1 ? (4 cos ) ? ( ) ?1 的值为____ 2 3 4

2

? ?x ? y ?1 ? 0 ? 16.若不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 表示的区域 Ω , ? 1 ?y ? ? 0 ? 2

1? 1 ? 不等式 ? x ? ? ? y2 ? 表示的区域为 Γ ,在 Ω 中 任取一点 P,则点 P 落在区域 Γ 中的 2? 4 ?
概率为 ______ . 三、解答题:(本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题 满分 10 分) 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销, 得到如下数据: 单价 x(元) 销量 y(件)
^ ^ ^

2

8 90
^

8.2 84

8.4 83
^ ^

8.6 80
^

8.8 75

9 68

(1)求回归直线方程 y ? b x ? a ,其中 b ? ?20 , a ? y ? b x ; (2)预计在今后的销售中, 销量与单价仍然服从(1)中的关系, 且该产品的成本是 3.5 元/件, 为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)

18. (本题满分 12 分) 某中学举行了一次“数学基础知识竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从 中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本(样本容量为 n )进行 统计.按照 [50, 60) , [60, 70) , [70, 80) , [80, 90) , [90,100] 的分组作出频率分布直方图, 并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在 [50, 60) , [90,100] 的数据) . (1)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x 、 y 的值; (2)在选取的样本中,从竞赛成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取 2 名学生 参加“市级数学基础知识竞赛” ,求所抽取的 2 名学生中恰有一人得分在 [90,100] 内的概率. 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8

3

4

成绩(分)

19. (本小题满分 12 分) 某卖场同时销售变频冷暖空调机和智能洗衣机, 这两种产品的市场需求量大, 有多少卖 多少。今年元旦假期 7 天该卖场要根据实际情况确定产品的进货数量,以达到总利润最大。 已知两种产品直接受资金和劳动力的限制。 根据过去销售情况, 得到两种产品的有关数据如 下表:
3

(表中单位:百元) 试问:怎样确定两种货物的进货量, 才能使 7 天的总利润最大,最大利润 是多少?

20. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的顶点 A(5, 2) , AB 边上的中线 CM 所在的直线方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 ,

AC 边上的高 BH 所在的直线方程为 x ? 5 y ? 23 ? 0 ,求:
(1)顶点 C 的坐标; (2)直线 BC 的方程.

21.(本题满分 12 分) 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件, 测量这些产品的一项质量指标值, 由测量表得 如下频数分布表: 质量指标值分组 频数 [75,85) 4 [85,95) 16 [95,105) 40 [105,115) 32 [115,125) 8

(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图; (用阴影涂黑) (2)估计这种产品质量指标值的平均数及中位数; (3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生 产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品 至少要占全部产品的 75%”的规定?

22. (本题满分 12 分) 已 知 △ ABC











A(?1, 0), B(1, 0), C (3, ?2) ,其外接圆为圆 H.
(1) 求圆 H 的方程; (2)若直线 l 过点 C,且被圆 H 截得的弦长为 2,求直线 l 的方程; (3) 对于线段 BH 上的任意一点 P,若在以 C 为圆心的圆上都存在不同的两点 M、N,使得 点 M 是线段 PN 的中点,求圆 C 的半径 r 的取值范围.

4

2015—2016 学年度上学期高二期中考试数学试题(文科)参考答案 一、选择题:1—5 BDDDB 6 — 10 CBDCA 14. ? 3 15. 16 11-12 CD 16.

二、填空题:13. 31 三、解答题:

3? ? 2 36

1 17. 解:(1) x = (x1 +x2+x3+x4+x5+x6)=8.5, 6

??1 分 ??3 分 ????4 分

y = (y1+y2+y3+y4+y5+y6)=80.
所以 a= y -b x =80+20×8.5=250,

1 6

从而回归直线方程为 y=-20x+250. ??5 分 (2)设工厂获得的利润为 L 元,依题意得 L=x(-20x+250)-3. 5(-20x+250) 2 2 =-20x +320x-875=-20(x-8) +405 ???7 分 当且仅当 x=8 时,L 取得最大值. ???9 分 故当单价定价为 8 元时,工厂可获得最大利润 405 元. ???10 分 18. 解: (Ⅰ)由题意可知,样本容量 n ?

8 ? 50 , 0.016 ?10

??1 分 ??2 分 ??4 分

y?

2 ? 0.004 , 50 ?10

x ? 0.100 ? 0.004 ? 0.010 ? 0.016 ? 0.040 ? 0.030 .

(Ⅱ)由题意可知,分数在 [80, 90) 内的学生有 5 人,记这 5 人分别为 a1 , a2 , a 3 , a4 ,

a 5 ,分数在 [90,100] 内的学生有 2 人,记这 2 人分别为 b1 , b2 .
抽取的 2 名学生的所有情况有 21 种,分别为: ( a1 , a2 ) , ( a1 , a 3 ) , ( a1 , a4 ) , ( a1 , a 5 ) , ( a1 , b1 ) , ( a1 , b2 ) , ( a2 , a 3 ) , ( a2 , , ( a2 , a 5 ) , ( a2 , b1 ) , ( a2 , b2 ) , ( a 3 , a4 ) , ( a3 , a5 ) , ( a 3 , b1 ) , ( a 3 , b2 ) , a4 ) ( a4 , a 5 ) , ( a4 , b1 ) , ( a4 , b2 ) , ( a 5 , b1 ) , ( a 5 , b2 ) , ( b1 , b2 ). ????9 分 其中 2 名同学的分数恰有一人在 [90,100] 内的情况有 10 种, ∴ 所抽取的 2 名学生中恰有一人得分在 [90,100] 内的概率 P ? ????11 分

10 . ???12 分 21

19. 解:设空调机、洗衣机这 7 天的进货量分别为 x,y 台,总利润为 z,由题意有

?30 x ? 20 y ? 440 ? ?7 x ? 10 y ? 156 , ?x ? N , y ? N ?

????4 分

z ? 10 x ? 8 y
由右图知: ????8 分

????5 分

5

直线 y ? ?

5 z x ? 过 M (8,10) 时 ,纵截距最大,这时 Z 也取最大值, 4 8
????11 分

Zmax ? 10 ? 8 ? 8 ?10 ? 160 ,
20. 解: (1)设 C( m, n) ,且 AC ? BH

当进货量为空调机 8 台,洗衣机 10 台,7 天的总利润最大,为 16000 元。 ???12 分

1 ?n?2 ? (? ) ? ?1 ?m ? 6 ? ,解得 ? 5 ?m ? 5 ?n ? 7 ? ? 2m ? n ? 5 ? 0
故顶点 C 的坐标为 C ( 6, 7 )

????5 分

????6 分 ① ② ????8 分 ????10 分

(2)设 B 的坐标为 ( x, y ) ,则 x ? 5 y ? 23 ? 0 点 M 的坐标为 (

x?5 y?2 x?5 y?2 , ) ,则 2 ? ? ?5 ? 0 2 2 2 2
????11 分 ????12 分

联立①②解得点 B 的坐标为 (3, 4) 则直线 BC 的方程为: x ? y ? 1 ? 0 21.解: (1)

?????4 分 (2)质量指标值的样本平均数为

x =80×0.04×+90×0.16+100×0.40+110×0.32+120×0.08=102.4.
设中位数为 x,则 ( x ? 95) ? 0.04 ? 0.04 ? 0.16 ? 0.5 所以 x ? 102.5

??6 分

故中位数为 102.5 ?????8 分 (3)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.40+0.32+0.08=0.80.??10 分 由于该估计值大于 0.75, 故能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产 品至少要占全部产品 75%”的规定. ?????12 分 22. 解:(1) 线段 AB 的垂直平分线方程为 x=0, ??1 分 线段 BC 的垂直平分线方程为 x+y-3=0, ??2 分 所以外接圆圆心 H(0,3),半径 1 +3 = 10, ??3 分 2 2 圆 H 的方程为 x +(y+3) =10. ??4 分 (2)设圆心 H 到直线 l 的距离为 d,因直线 l 被圆 H 截得的弦长为 2,
2 2

6

故 d= ( 10) -1=3.

2

????5 分

当直线 l 垂直于 x 轴时,显然符合题意,即 x=3 为所求; ?????6 分 当直线 l 不垂直于 x 轴时,设直线方程为 y-2=k(x-3), 4 |3k+1| 则 =3,解得 k= ? . ?????7 分 2 1+k 3 综上,直线 l 的方程为 x=3 或 4x+3y-6=0. ?????8 分 ( 3) 直线 BH 的方程为 3x+y-3=0,设 P(m,n)(0≤m≤1),N(x,y),

?m+x,n+y?.又 M、N 都在半径为 r 的圆 C 上, 因为点 M 是线段 PN 的中点,所以 M? 2 ? ? 2 ? ?(x-3) +(y-2) =r , 2 2 2 ? ?(x-3) +(y-2) =r , ? 2 n+y 2 ? 所以??m+x 即 2 2 2 ???9 分 ? +? ? =r2, ? ( x + m - 6 ) +( y + n - 4 ) = 4r . ? - 3 - 2 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ?? 2
因为该关于 x、y 的方程组有解, 即以(3,2)为圆心、r 为半径的圆与以(6-m,4-n)为圆心、2r 为半径的圆有公共点, 2 2 2 2 所以(2r-r) ≤(3-6+m) +(2-4+n) ≤(r+2r) . ???10 分 2 2 2 又 3m+n-3=0,所以 r ≤10m -12m+10≤9r 对?m∈[0,1]成立.
2 2 2

?32 ? 2 而 f(m)=10m -12m+10 在[0,1]上的值域为? ,10?, ?5 ?
32 2 2 故 r ≤ 且 10≤9r . 5 又线段 BH 与圆 C 无公共点, 所以(m-3) +(3-3m-2) >r 对?m∈[0,1]成立,即 r < 故圆 C 的半径 r 的取值范围为?
2 2 2 2

?????11 分

32 . 5 ?????12 分

? 10 4 10? , ?. 5 ? ? 3

7


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