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数学:3.5.2《简单线性规划》课件(新人教B版必修5)


y

o

x

x -4 y ≤ - 3 画出不等式组 3x+5y≤ 25 表示的平面区域。 x≥1

x- 4y≤- 3 3x+5y≤25 x≥1

在该平面区域上 问题 1:x有无最大(小)值? 问题2:y有无最大(小)值? 问题3:2x+y有无最大(小)值?


y

x=1
C

x-4y=-3
A
B

3x+5y=25

o

x

设z=2x+y,式中变量x、y满足下列条件

求z的最大值和最小值。

x- 4y≤- 3 3x+5y≤25 x≥1



y x=1 有何几何意义?
C 有何含义? x-4y=-3


B

3x+5y=25

o

x

设z=2x+y,式中变量x、y满足下列条件 求z的最大值和最小值。

x-4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1
y=-2x+z



问题 1: 将z=2x+y变形?

问题 2: z几何意义是 斜率为-2的直线在y轴上的截距

y
C

析: 作直线l0 :2x+y=0 , 则直线 l: 2x+y=z是一簇与 l0平行的直线,故

x-4y=-3

直线 l 可通过平移直线l0而得,当直 线往右上方平移时z 逐渐增大:

o

B

3x+5y=25



x

当l 过点 B(1,1)时,z 最小,即zmin=3
当l 过点A(5,2)时,z最大,即 zmax=2×5+2=12 。

x=1

约束条件:由x、y的不等式(或等式)构成的不等式组。 线性约束条件:约束条件中均为关于x、y的一次不等式或等式。 目标函数:欲求最值的关于x、y的一次解析式。 线性目标函数:欲求最值的解析式是关于x、y的一次解析式。 线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值。 可行解:满足线性约束条件的解(x,y)。 可行域:所有可行解组成的集合。 y 最优解:使目标函数达到最大值或
最小值 的可 行 解。 设z=2x+y,式中变量x、y C

有关概念

满足下列条件

x-4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1

x-4y=-3



o

B

3x+5y=25



x

求z的最大值和最小值。

x=1

例1:设z=2x-y,式中变量x、y满足下列条件 求z的最大值和最小值。

x -4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1

解:作出可行域如图:
当z=0时,设直线 l0:2x-y=0 平移l0,当l0经过可行域上点A时,
-z 最小,即z最大。

y
3x+5y=25

2x-y=0

C (1,4.4)

平移l0 , 当l0经过可行域上点C时,
-z最大,即z最小。

x-4y=-3

o

B

(5,2)



x=1

x



x-4y=-3

3x+5y=25 ∴ zmax=2×5-2=8

(5,2) ; 由 得A点坐标_____

x=1

3x+5y=25 zmin=2×1-4.4= -2.4

(1,4.4) ; 得C点坐标_______

解线性规划问题的步骤:

画 画出线性约束条件所表示的可行域; 2、 移 在线性目标函数所表示的一组平行线
1、

中,用平移的方法找出与可行域有公 共点且纵截距最大或最小的直线;

求 通过解方程组求出最优解; 4、 答 作出答案。
3、

?x ? y ? 5 ? 0 例2: ? 已知x , y满足线性约束条件 ?x ? y ? 5 ? 0 求 : ?x ? 3 ?
1)Z ? 2 x ? 4 y的最值
y 2) Z ? 的最值 x y 3) Z ? 的最值 x ?1
y
最大值为-2,最小值为-26

C (3,8)

A(0,5) B(3,2)

x? y?5?0
10 l0 : y ? x 2

x? y?5? 0
x

4) Z ? x 2 ? y 2的最值
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x?3

?x ? y ? 5 ? 0 例2: ? 已知x , y满足线性约束条件 ?x ? y ? 5 ? 0 求 : ?x ? 3 ?
y 2) Z ? 的最值 x
2 最大值不存在,最小值 为 3

y
P( x, y)

C (3,8)

A(0,5)

B(3,2)

x? y?5?0
0
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x? y?5? 0
x

x?3

?x ? y ? 5 ? 0 例2: ? 已知x , y满足线性约束条件 ?x ? y ? 5 ? 0 求 : ?x ? 3 ?
y

y 3) Z ? 的最值 x ?1
1 最大值为5,最小值为 2

C (3,8)
P( x, y)

A(0,5)

B(3,2)

x? y?5?0
M ( ?1,0)

x? y?5? 0
x

0

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x?3

?x ? y ? 5 ? 0 例2: ? 已知x , y满足线性约束条件 ?x ? y ? 5 ? 0 求 : ?x ? 3 ?
y

y 3) Z ? 的最值 x ?1
1 最大值为5,最小值为 2

C (3,8)
P( x, y)

A(0,5)

B(3,2)

x? y?5?0
M ( ?1,0)

x? y?5? 0
x

0

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x?3

?x ? y ? 5 ? 0 例2: ? 已知x , y满足线性约束条件 ?x ? y ? 5 ? 0 求 : ?x ? 3 ?
y

4) Z ? x ? y 的最值
2 2

C (3,8)
P( x, y)

25 最大值为73,最小值为 2

A(0,5)

B(3,2)

x? y?5?0
0
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x? y?5? 0
x

x?3

变式: 若x, y满足下列条件: ?x - 4y ? -3

求Z ? x ? y 的最值
2 2

? ?3x ? 5y ? 25 ?x ? 1 ?

y

C (1,

22 ) 5

x ? 4 y ? ?3

P
A(1,1)

B(5,2)

x
3 x ? 5 y ? 25

0
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x ?1

例3:已知x、y满足

x -4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1

,设z=ax+y (a>0), 若z

取得最大值时,最优解有无数个,求a 的值。

解:当直线 l :y =-ax+ z 与
直线重合时,有无数个点,使 函数值取得最大值,此时有: k l =kAC

y
3x+5y=25 x-4y=-3
C



4.4 ? 2 3 ? ? kAC= 1 ? 5 5

k l = -a ∴ -a
=?
3 5 3 5

A B



a=

o

x

x=1

3x +2y≤10 例4:满足线性约束条件 多少个整数解。
解:由题意得可行域如图:

x+4y≤11 的可行域中共有 x>0 y>0
y
5
4 3 2 1

由图知满足约束条件的 可行域中的整点为(1,1)、 (1,2)、(2,1)、(2,2)

故有四个整点可行解.

x +4y=11

0

1

2

3

3x +2y=10

4

5

x

课堂练习:
设z=x+3y,式中变量x、y满足下列条件

求z的最大值和最小值。

2x+3y≤24 x-y≤7 , y ≥0 y ≤6 x≥0

课堂达标:
1 ( ,??) 2 的下方区域,则实数 a 的取值范围为_______________

1、若不等式 ax+(2a-1)y+1<0 表示直线 ax+(2a-1)y+1=0

?x ? y ? 5 ? 0 ? 2、已知x,y满足约束条件 ? x ? y ? 0 , ?x ? 3 ?
则z=2x+4y的最小值为( (A)6 (B) -6

B )
(D) -10

(C)10

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3、三角形三边所在直线方程分别是 x-y+5=0,x+y=0,x-3=0, 用不等式组表示三角形的内部区域(包含边界).
?x ? y ? 5 ? 0 ? ?x ? y ? 0 ?x ? 3 ? 0 ?

?x ? y ? 4 ?x ? 2y ? 6 ? 4.平面内满足不等式组 ? 的所有点中, ?x ? 0 ? ?y ? 0

使目标函数z=5x+4y取得最大值的点的坐标 (4,0) 是________
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5.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且 包括周界),目标函数z=x+ay取得最小值的最优解 有无数个,则a的一个可能值为(

A
(D)1

)

(A)-3

(B)3

(C)-1

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6.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且 包括周界),目标函数z=x+ay取得最大值的最优解 有无数个,则a的一个可能值为(

D
(D)1

)

(A)-3

(B)3

(C)-1

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小结:
1.线性规划问题的有关概念; 2. 用图解法解线性规划问题的一般步骤;

3. 求可行域中的整点可行解。


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