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数学:3.1《两角和与差的正弦、余弦、正切公式1》课件(苏教版必修4)


3.1两角和与差的正弦、余弦、正切 公式1

学习目标:
1、用向量方法建立两角差的余弦公式

2、两角差的余弦公式的简单应用

??? ? OA ? ? cosα ,sinα ?

??? ? OB ? ? cosβ , sinβ ?
y

OA? OB ? OA OB cos(? ? ? )
? cos(? ? ? )
∵ OA? OB
A

1
α -β B β 1 x

α
-1 o

? cos? cos ? ? sin ? sin ?

-1



cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ

当α-β是任意角时,由诱导公式总可以找到一 个角θ∈[0,2π),使cosθ=cos(α-β) 若θ ∈[0,π ],则 OA ? OB

? cos ? ? cos(? ? ? )

若θ∈[π,2π),则2π -θ∈[0,π ],且

OA ? OB ? cos(2π–θ)=cosθ=cos(α-β)

例1.利用差角余弦公式求cos15 的值
分析: cos15 ? cos 45 ? 30
? ?
? ?

?

? ? cos15 ? cos ? 60 ? 45 ?
?
?

cos15°=cos(45°-30°) = cos45°cos30°+sin45°sin30°
√2 √3 √2

1

2

2

2 2

√6 + √2 4

3 5 ?π ? ? 3 ? 已知 sin ? ? , ? ? ? , π ? , cos ? ? ? , ? ? ? π, π ? , 例2、 5 13 ?2 ? ? 2 ? 求 cos(? ? ? )的值.

3 4 ?π ? 解: ? sin ? ? , ? ? ? , π ? ,? cos ? ? ? 5 ?2 ? 5 5 12 ? 3 ? ? cos ? ? ? , ? ? ? π, π ? ,? sin ? ? ? 13 13 ? 2 ?
? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? 4 5 3 12 ? ( ? )(? ) ? ( )(? ) 5 13 5 13 20 36 ? ? 65 65 56 ? 65

3 ? π ? cos ? π ?α ? 练习1已知 cosα = - α ? ? , π ? 求 ? 4 ? 的值. ? ? 5 ?2 ?

3 ?π ? 解: ∵ cos? = - ? ? ? , π ? 5 ?2 ?
4 ∴ sin ? = 1 ? cos ? ? 5 π π π cos( - ? ) ? cos cos ? + sin sin ?
2

4

4 4 2 ? 3? 2 4 ? ??? ? ? ? 2 2 5 ? 5?
? 2 10

练习2 已知 α ,β
5 cos ?α +β ? ? ? 13

4 都是锐角, cosα = , 5

求 cosβ 的值

解: cos ? ? cos??? ? ? ? ? ? ?
5 4 12 3 ?? ? ? ? 13 5 13 5 16 ? 65

?cosα ?sinα ? cos? α?β ? sin? α?β

小结:
1、两角差的余弦公式
对于任意角α ,β 都有

cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ
2、公式的结构特点及应用

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