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2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第五章 第二节等差数列及其前n项和 理


第二节 等差数列及其前 n 项和 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相 应的问题. 4.了解等差数列与一次函数的关系. 知识梳理 一、等差数列的概念 1.定义:如果一个数列从第二项开始,每一项与前一项的差都是同一个常数,那么这 样的数列叫做等差数列,记作数列{an},首项记作 a1,公差记作 d. * 2.符号表示: an+1-an=d(n∈N ). 二、通项公式 若数列{an}为等差数列,则 an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d. 三、前 n 项和公式 n a1+an n n- Sn= =na1+ d. 2 2 四、等差中项 a+b 如果三数 a,A,b 成等差数列,则 A 叫做 a 和 b 的等差中项,即 A= . 2 五、等差数列的判定方法 * 1.定义法: an+1-an=d (常数)(n∈N )?{an}是等差数列. * 2.中项公式法: 2an+1=an+an+2(n∈N )?{an}是等差数列. * 3.通项公式法: an=kn+b(k,b 是常数)(n∈N )?{an}是等差数列. 2 * 4.前 n 项和公式法:Sn=An +Bn(A,B 是常数)(n∈N )?{an}是等差数列. 六、用函数观点认识等差数列 1.an=dn+a1-d,d≠0 时是关于 n 的一次函数. 2.Sn= n +?a1- ?n,d≠0 时是关于 n 的常数项为零的二次函数. 2? 2 ? 七、等差数列的重要性质 1.在等差数列{an}中,若 p+q=m+n,则有 ap+aq=am+an;若 2m=p+q,则有 2am * =ap+aq(p,q,m,n∈N ,简称为下标和性质). 2.在等差数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即 an,an+k,an+2k,an +3k,…为等差数列,公差为 kd. * 3.若数列{an}是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,那么 Sk,S2k-Sk, S3k-S2k(k∈N )也成 2 等差数列,公差为 k d. 2 d ? d? 基础自测 第 1 页 共 4 页 1.(2013·江门二模)已知数列{an}是等差数列,若 a3+a11=24,a4=3,则{an}的公差 是( ) A.1 B.3 C.5 D.6 解析:(法一)因为数列{an}是等差数列,a3+a11=24,a4=3,利用等差数列的性质可得 a7-a4 2a7=24,所以 a7=12,d= =3. 7-4 (法二)设等差数列的公差为 d, ? ?2a1+12d=24, ∵a3+a11=24,a4=3,∴? 解得 a1=-6,d=3,故选 B. ?a1+3d=3, ? 答案:B 2.(2013·宁夏银川一中质检)已知数列{an}为等差数列且 a1+a7+a13=4π ,则 tan(a2 +a12)的值为( ) A. 3 B.± 3 3 C.- D.- 3 3 解析:由等差数列的性质,得 a1+a7+a13=3a7=4π , 4π 8π 2π ∴a7= ,∴tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan =tan =- 3.故选 D. 3 3 3 答案:D 3.各项不为零的等差数列{an}中,2a3-a27+2a11=0,则 a7 的值为________. 解析:由 2a3-a7+2a11=0,得 2(a3+a11)-a7=0? 4a7-a7=0, a7(4-a7)=0.∵a7≠0,∴a7=4. 答案:4 2 2 2

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