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第二十二讲正弦定理和余弦定理1


第二十二讲正弦定理和余弦定理

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1.正弦定理 (1)内容:

a b c ? ? =2R(其中R为△ABC外接圆的半 sinA sinB sinC

径).
(2)正弦定理的几种常见变形 ①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; ② sinA ? a , si

nB ? b , sinC ? c ; (其中R是△ABC外接圆半径) 2R 2R 2R

③asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA; ④a:b:c=sinA:sinB:sinC.

2.余弦定理 (1)余弦定理的内容

c2=b2+a2-2bacosC,
b2=a2+c2-2accosB, a2=b2+c2-2bccosA.

(2)余弦定理的变形
b2 ? c2 ? a 2 cosA ? ; 2bc a 2 ? c 2 ? b2 cosB ? ; 2ac a 2 ? b2 ? c2 cosC ? . 2 ab

(3)勾股定理是余弦定理的特殊情况 在余弦定理表达式中分别令A?B?C为90°,则上述关系式分别

化为:a2=b2+c2,b2=a2+c2,c2=a2+b2.

3.解斜三角形的类型 在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:

4.测距离的应用

5.测高的应用

6.仰角?俯角?方位角?视角 (1)在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰

角,在水平线下方的角叫做俯角,如下左图所示.

(2)如上右图所示,P点的方向角为南偏东60°. (3)由物体两端射出的两条光线,在眼球内交叉而成的角叫做视

角.

7.△ABC的面积公式有

1 (1) S ? a ?h a (h a 表示a边上的高); 2 1 1 2 sinBsinC abc 2 (2) S ? absinC ? 2 R sinAsinBsinC ? a ? ; 2 2 sinA 4R 1 (3) S ? r (a ? b ? c)(r为内切圆半径); 2 1 (4) S ? p ( p ? a )( p ? b)( p ? c) [其中p ? ? a ? b ? c ?]. 2

考点陪练

1.已知? ABC中, a ? 2, b ? 3 , B ? 60?, 那么角A等于( A.135? C.45? B.90? D.30?

)

a b 2 解析 :由正弦定理 ? ,得 ? sinA sinB sinA

3 2 , 可得sinA ? . 2 3 2 又a ? 2 ? b ? 3, 所以A ? B, 所以A ? 45?.
答案:C

2.? ABC的边分别为a?b?c, 且a ? 1, c ? 4 2 , B ? 45?, 则? ABC 的面积为( A.4 3 C.2 ) B.5

D.6 2 1 1 解析 : S? ABC ? acsinB ? ?1? 4 2 ? sin45? ? 2. 2 2
答案:C

3.在? ABC中, 角A?B?C的对边分别为a、b、c, 若 ? a 2 ? c 2 ? b 2 ? tanB ? 3ac, 则角B的值为( A. )

?
6

B.

?
3

5? C. 或 6 6

?

2? D. 或 3 3

?

解析 :由? a 2 ? c 2 ? b 2 ? tanB ? 3ac, 联想到余弦定理并代入 a 2 ? c2 ? b2 3 1 3cosB 得cosB ? ? ? ? . 2ac 2 tanB 2sinB 3 ? 2? 显然B ? ,? sinB ? , 在(0, ? )内B ? 或 . 2 2 3 3
答案:D

?

4.在△ABC中,角A,B,C的对边为a,b,c,若 等于( )

a ?B=45°,则角A 3, b ? 2,

A.30° B.30°或105°
C.60° D.60°或120°

a b 解析 :由正弦定理得 ? , sinA sinB asinB 3 ? sinA ? ? . b 2 2? 又 ? A ? ( , ? ),? A ? 或A ? .故选D. 4 3 3
答案:D

?

?

5.(2010·湖南)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若 ∠C=120°, a,则( ? ) 2 c

A.a>b
B.a<b C.a=b D.a与b的大小关系不能确定 解析:c2=a2+b2-2abcos120°?a2-b2-ab=0?b= <a,故选A. 答案:A

?a ? 5a 2

类型一

正弦定理和余弦定理的应用

解题准备:1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关

系,根据题目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可
以综合起来运用. 2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定理 虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解.

3.综合运用正?余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式 的运用:A+B+C=π,sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=A? B C A? B C tanC , sin ? cos , cos ? sin . 2 2 2 2

【典例1】在△ABC中,若∠B=30°, △ABC的面积.

AB ? 2 3, AC=2,求

[解]解法一:根据正弦定理有
∴sinC=

1 2 3? ABsinB 2 ? 3. ? AC 2 2

AB AC ? , sinC sinB

由AB>AC知∠C>∠B,则∠C有两解.

(1)当C为锐角时,∠C=60°,∠A=90°,由三角形面积公式得: S=

1 (2)当C为钝角时,∠C=120°,∠A=30°,由三角形面积公式得: 2 S= AB·AC·sinA= 1 1 1 ? 2 3 ? 2 ? ? 3, ∴△ABC的面积为 或 2 2 2
2 3

AB·AC·sinA=

1 ×2×sin90°= ?2 3 2

2 3 .

3.

解法二:由余弦定理得:|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|·|BC|cosB, 即:4=12+|BC|2-2× ×|BC|×

2 3

3 , 2

∴|BC|2-6|BC|+8=0,∴|BC|=2或|BC|=4. 1 (1)当|BC|=2时,S△= |AB|·|BC|·sinB 2 1 1 ? ? 2 3 ? 2 ? ? 3. 2 2 1 (2)当|BC|=4时,S△= |AB|·|BC|·sinB 2 1 1 ? ? 2 3 ? 4 ? ? 2 3. 2 2 ∴△ABC的面积为 或 3. 2 3

[反思感悟]本题主要考查正弦定理?三角形面积公式及分类讨 论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推理能

力.

类型二

判断三角形的形状

解题准备:1.这类题型主要是利用正?余弦定理及其变形,把题

设条件中的边?角关系转化为角或边的简单关系,从而进行
判断.

2.判断三角形的形状的思路大致有两种:一是化边为角,以角为 着眼点,利用正?余弦定理及变形,把已知条件转化为内角三

角函数之间的关系,走三角变形之路;二是化角为边,以边为
着眼点,利用正?余弦定理及变形,把已知条件转化为边的关 系,走代数变形之路.在运用这些方法对等式变形时,一般两

边不约去公因式,应移项提公因式,以免产生漏解.

【典例2】在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C的 对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)?sin(A+B),试判断该三角形

的形状.
[分析]利用正、余弦定理进行边角互化,转化为边边关系或角 角关系.

[解]解法一:由已知(a2+b2)sin(A-B) =(a2-b2)?sin(A+B).

得a2[sin(A-B)-sin(A+B)]
=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)] ∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA. 由正弦定理得 sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA, 即sin2A?sinAsinB=sin2B?sinAsinB.

∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B ∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=

? . 2

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.

解法二:同解法一可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA, 由正、余弦定理得
b ? c ? a2a? =b 2bc ∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),
2 2 2

a2b?

a 2 ? c2 ? b2 2ac

即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,∴a=b或c2=a2+b2, ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.

[反思感悟]判断三角形形状主要有如下两条途径: (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分

解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的 关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出 三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.在两种 解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取

公因式,以免漏解.

类型三

测量高度和角度问题

解题准备:1.在测量高度的问题中,要正确理解仰角?俯角和坡

角?坡度等特定的相关概念,画出准确的示意图.
2.(1)仰角?俯角:在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上 方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角. (2)坡角?坡度:坡面与水平面的夹角叫做坡角;坡面的竖直高度 与水平宽度的比值叫做坡度.

3.测量角度问题,首先要明确方位角?方向角的含义:指北或指 南方向线与目标方向线所成的0°~90°的角叫做方向角:

从指正北方向线顺时针转到目标方向线所成的角度叫做方
位角. 4.方向角是解三角形实际问题中经常出现的.目标方向角一般

可用“x偏x多少度”来表示,这里第一个“x”是“北”或
“南”,第二个“x”是“东”或“西”.如北偏东25°等.

5.在解此类应用题时,分析题目条件,理清已知与所求,再根据 题意正确画出示意图,这是最关键?最重要的一步.通过这一

步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题,解题中也
要注意体会正?余弦定理“联袂”使用的优点.

【典例3】在湖面上高h m处,测得天空中一朵云的仰角为α,测 得云在湖中之影的俯角为β.

试证云距湖面的高度为

sin(? ? ? ) h? m. sin( ? ? ? )

[证明]如图,设湖面上高h m处为A,测得云C的仰角为α,测得C 在湖中之影D的俯角为β,CD与湖面交于M,过A的水平线交

CD于E.

设云高CM ? x m, 则CE ? x ? h, x?h DE ? x ? h, AE ? . tan? x?h x?h x?h 又AE ? ,? ? tan? tan? tan? tan? ? tan? sin(? ? ? ) 解得x ? ?h ? h? ? m?. tan? ? tan? sin( ? ? ? )

[反思感悟]在测量高度时,要理解仰角?俯角的概念.仰角和俯 角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水

平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角.

解斜三角形应用题的一般步骤是: ①准确理解题意,分清已知与所求;

②依题意画出示意图;
③分析与问题有关的三角形; ④运用正?余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的 答案; ⑤注意方程思想的运用; ⑥要把立体几何知识与平面几何知识综合运用.

[探究]如图,在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处 ( 3 ? 1) 海里 的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向,距A处2海里的

C处的我方缉私船奉命以

海里/小时的速度追截走私船, 10 3

此时走私船正以10海里/小时的速度,从B处向北偏东30° 方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?

并求出所需时间.

[解]设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在D点)走 私船,则CD= )1 3 ?2+22-2( 6 ∴BC= 海里. (
10 3

t海里,BD=10t海里,在△ABC中,由

余弦定理,有BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA,
)·2·cos120°=6, 3 ?1

又∵

BC AC ? , sinA sin?ABC

∴sin∠ABC=

∴∠ABC=45°,∴B点在C点的正东方向上, ∴∠CBD=90°+30°=120°.

AC ?sinA 2?sin120? 2 ? ? , BC 2 6

在△BCD中,由正弦定理,得 ∴sin∠BCD=

BD?sin?CBD 10t ?sin120 1 ? ? , CD 2 10 3t

BD CD ? , sin?BCD ? sin?CBD

∴∠BCD=30°,∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.
又在△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°, ∴∠D=30°,∴BD=BC,即
10t ? ∴t= 6.
6 小时≈15分钟. 10

∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶,才能最快截获走私船, 大约需要15分钟.

[评析]应用解三角形的知识解决实际问题的基本步骤是:(1)根 据题意,抽象或者构造出三角形;(2)确定实际问题所涉及的

数据以及要求解的结论与所构造的三角形的边和角的对应
关系;(3)选用正弦定理或余弦定理或者二者相结合求解;(4) 给出结论.

错源一

因忽视边角关系而致错

【典例1】在△ABC中,已知A=60°, a ? 6 ,b=2,则角

B=________.
[错解]在△ABC中,由正弦定理,可得 bsinA 2sin60? 2 sinB= ? ? , a 2 6 所以B=45°或B=135°.

[剖析]上述错解中的错误十分明显,若B=135°,则 A+B=195°>180°,故B=135°不适合题意,是个增解.这个增

解产生的根源是忽视了a>b这一条件,根据三角形的边角关
系,角B应小于角A,故B=135°应舍去.

[正解]在△ABC中,由正弦定理可得
bsinA 2 sin60? 2 sinB ? ? ? , a 2 6

因为a>b,所以A>B,所以B=45°.
[答案]45° [评析]已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角时,一定要 注意根据边角关系,确定适合题意的角是一个还是两个.

错源二

因忽视边角关系而致错

【典例2】在△ABC中,tanA=a2,tanB=b2,那么△ABC是()

A.锐角三角形
B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形

tanA a 2 [错解]由tanA ? a 2 , tanB ? b 2得 ? 2, tanB b sinAcosB sin 2 A cosB sinA 即 ? , 所以 ? , 2 cosAsinB sin B cosA sinB 所以sinAcosA ? sinBcosB, 所以sin2A ? sin2B, 所以A ? B. 所以? ABC是等腰三角形, 选C.
[剖析]上述错解忽视了满足sin2A=sin2B的另一个角之间的

关系:2A+2B=180°.

tanA a 2 sinAcosB sin 2 A [正解]由tanA ? a 2 , tanB ? b 2得 ? 2 ,即 ? , 2 tanB b cosAsinB sin B cosB sinA 所以 ? , 所以sinAcosA ? sinBcosB, cosA sinB 所以sin2A ? sin2B, 所以A ? B或A ? B ? 90?. 所以? ABC是等腰三角形或直角三角形, 选D.

[答案]D
[评析]判断三角形形状时,一定要把边或角的关系考查周全,避

免遗漏.

错源三

因忽视角的范围而致错
a 的取值范围. b

【典例3】在△ABC中,若A=2B,求

[错解]在△ABC中,由正弦定理,可得 a sin2 B 2sinBcosB ? ? ? 2cosB, b sinB sinB 因为0<B<π,所以-1<cosB<1,
所以-2<2cosB<2,又 所以0<2cosB<2, 所以

a, ?0 b

a 的取值范围是(0,2). b

[剖析]上述错解忽视了根据已知条件A=2B进一步考查角B的 取值范围.

[正解]在△ABC中,由正弦定理,可得
? 因为A=2B,A+B<π,所以 0?B? , 3 1 所以 <cosB<1,所以1<2cosB<2, 2 所以 a 的取值范围是(1,2).
b

a sin2 B 2sinBcosB ? ? ? 2cosB, b sinB sinB

[评析]对于三角形的内角,一定要注意根据三角形内角和定理 准确限定角的取值范围.

错源四

因忽视隐含条件而致错

【典例4】在△ABC中,已知a=4+b,a+c=2b,最大角为120°,求最

大边长.
[错解]由 可得b-c=4, ? a ? b ? 4, ? ? a ? c ? 2b

所以a>b>c,即最大边长为a, 所以A=120°,

因为b=a-4,c=b-4=a-8,

所以在△ABC中由余弦定理,得 (a ? 4) 2 ? (a ? 8) 2 ? a 2 1 cosA ? ?? , 2(a ? 4)(a ? 8) 2 解得a=14或a=4, 所以最大边长为4或14. [剖析]上述错解忽视了已知条件a=4+b中隐含的a>4这一要求.

[正解]由

4, ? a ? b ?可得b-c=4, ? ? a ? c ? 2b

所以a>b>c,即最大边长为a,
所以A=120°, 因为b=a-4,c=b-4=a-8, 所以在△ABC中由余弦定理,得

(a ? 4) 2 ? ( a ? 8) 2 ? a 2 1 cosA ? ?? , 2(a ? 4)( a ? 8) 2

解得a=14或a=4,

因为a=4+b,所以a>4,
所以最大边长为14.

[评析]对于题目中的隐含条件,尤其是范围条件,一定要善于挖 掘.

错源五

忽视内角和定理的限制

【典例5】在? ABC中,3sinA ? 4cosB ? 6,3cosA ? 4sinB ? 1, 则C的大小为( A. ) 5 B. ? 6

?
6

? 5 C. 或 ? 6 6

? 2 D. 或 ? 3 3

?3sinA ? 4cosB ? 6 1 [错解]由 ? 平方相加得sin ? A ? B ? ? . 2 ?3cosA ? 4 sinB ? 1 1 ? 5 ? sinC ? ,? C ? 或 ? , 故选C. 2 6 6
[剖析]平方易增解,由3cosA ? 4sinB ? 1得cosA ? ?A ? 1 1 ? . 3 2

?

3 5 ?C ? ? . 6

.

?3sinA ? 4cosB ? 6 1 [正解]由 ? 平方相加得sin ? A ? B ? ? . 2 ?3cosA ? 4 sinB ? 1 1 ? 5 ? sinC ? ,? C ? 或 ? . 2 6 6 5 ? 若C ? ? , 则A ? B ? . 6 6 1 1 ?1 ? 3cosA ? 4sinB ? 0,? cosA ? ? , 3 2 ? 5 ? ? A ? .? C ? ? ,? C ? , 故应选A. 3 6 6
[答案]A

技法一

方程思想

【典例1】如图,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记

∠CAD=α,∠ABC=β.
(1)证明:sinα+cos2β=0; (2)若AC=

3DC ,求β的值.

[解] ?1? 证明 : 因为? ?

?
2

? ?BAD

?? ? ? ? (? ? 2? ) ? 2? ? , 所以sin? ? sin ? 2? ? ? ? ?cos 2 ? . 2 2 2? ? 即sin? ? cos2? ? 0.

?

?

DC AC ? . ? 2 ? 在? ADC中,由正弦定理, 得 sin? sin(? ? ? ) DC 3DC 即 ? , 所以sin? ? 3sin? . sin? sin(? ? ? ) 又由?1? 可知 : sin? ? ?cos2? , 所以sin? ? ? 3cos2? ? ? 3(1 ? 2sin 2 ? ), 即2 3sin 2 ? ? sin? ? 3 ? 0. 3 3 解得sin? ? 或sin? ? ? . 2 3 3 ? 因为0 ? ? ? , 故sin? ? , 从而? ? . 2 2 3

?

[方法与技巧]第(2)问借助正弦定理得到“sinβ=

sinα”,结 3

合第(1)问的结论消去α角,把问题转化为关于sinβ的一元二

次方程,通过解方程求得.此题灵活运用了消元思想和方程
思想.

技法二

分类讨论思想

【典例2】如图,有两条相交成60°的直线xx′,yy′,其交点为

O,甲、乙两辆汽车分别在xx′,Oy′上行驶,起初甲离O点30
km,乙离O点10 km,后来两车均用60 km/h的速度,甲沿xx′ 方向,乙沿yy′方向行驶(设甲、乙两车最初的位置分别为 A,B).

(1)起初两车的距离是多少? (2)用包含t的式子表示,t小时后两车的距离是多少?

[解](1)由余弦定理,知 AB2=OA2+OB2-2×OA×OB×cos60° =302+102-2×30×10× 1 =700. 2 故AB= 10 7 (km). 即起初两车的距离是

10 7km.

(2)设甲?乙两车t小时后的位置分别为P,Q,则AP=60t,BQ=60t. ①当0≤t≤ 时,∠POQ=60°.
1 此时OP=30-60t,OQ=10+60t. 2

由余弦定理,得 PQ2=(30-60t)2+(10+60t)2-2×(30-60t)(10+60t)cos60° =10800t2-3600t+700.

1 ②当 t ? 2
由余弦定理,得

时,∠POQ=120°.

此时OP=60t-30,OQ=10+60t. PQ2=(60t-30)2+(10+60t)2-2×(60t-30)(10+60t)cos120° =10800t2-3600t+700.

综上知PQ2=10800t2-3600t+700.

PQ ? 10 108t 2 ? 36t ? 7.

故t小时后两车的距离是

PQ ? 10 108t 2 ? 36t ? 7(km).

[方法与技巧]本题是一个解三角形的实际问题,由于两车的行 驶方向导致以O点为起点的两线段的夹角发生变化,因此必

须对两种情况进行分类讨论.

技法三

数形结合思想

【典例3】在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物

顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m后,又从B点
测得斜度为45°.设建筑物的高为50 m,求山坡对于地平面 的斜度的倾斜角θ的余弦值.

[解题切入点]本题是测量角度问题,首先应根据题意画出图形, 如图所示.设山坡对于地平面的斜度的倾斜角∠EAD=θ,这

样可在△ABC中利用正弦定理求出BC;再在△BCD中,利用正
弦定理得到关于θ的三角函数关系式,进而解出θ.

[解]在? ABC中, ?BAC ? 15?, ?CBA ? 180? ? 45? ? 135?, 100 BC ?ACB ? 30?, AB ? 100 m.根据正弦定理, 有 ? ? sin30 sin15? 100 sin15? 所以BC ? . ? sin30 100 sin15? 又在? BCD中, CD ? 50, BC ? , ?CBD ? 45?, ? sin30 ?CDB ? 90? ? ? . 100 sin15? 50 sin30? .解得cos? ? 3 ? 1. 根据正弦定理, 有 ? ? sin 45 sin(90? ? ? )

即山坡对于地面的斜度的倾斜角的余弦值为 3 ? 1.
[方法与技巧]题中已知条件较多,为了求倾斜角,根据题意画出
其示意图,将已知条件归结到△ABC与△BCD中.在△BCD中,利 用三角形的性质,将∠CDB与角θ联系起来,从而在两个三角形

中,利用正弦定理将θ求出.


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