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二项式定理


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学案 65

二项式定理

导学目标: 1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关 的简单问题.

自主梳理 1.二项式定理的有关概念 n 1 n-1 1 n-k k n n (1)二项式定理:(a+b)n=C0 b +…+Ck b +…+Cn b (n∈N*),这个公式 na +Cna na 叫做______________. ①二项展开式:右边的多项式叫做(a+b)n 的二项展开式. ②项数:二项展开式中共有________项. ③二项式系数:在二项展开式中各项的系数________(k=______________)叫做二项式 系数. ④通项:在二项展开式中的________________叫做二项展开式的通项,用 Tk+1 表示, 即通项为展开式的第 k+1 项:Tk+1=____________________. 2.二项式系数的性质 (1)对称性:与首末两端________的两个二项式系数相等. (2)增减性与最大值:当 n 是偶数时,中间的一项二项式系数________________取得最 大值;当 n 为奇数时,中间的两项二项式系数____________、________________________ 相等,且同时取得最大值. 偶 0 1 2 n 2 4 (3)各二项式系数和:Cn +Cn +Cn +…+Cn =______,C0 n+Cn+Cn+…+Cn =________, 奇 1 3 5 Cn+Cn+Cn+…+Cn =________. 自我检测 1.(2011· 福建)(1+2x)5 的展开式中,x2 的系数等于( ) A.80 B.40 C.20 D.10 - 2.(2011· 陕西)(4x-2 x)6(x∈R)展开式中的常数项是( ) A.-20 B.-15 C.15 D.20 3.(x- 2y)10 的展开式中 x6y4 项的系数是( ) A.840 B.-840 C.210 D.-210 1 ?2- ?6 4.(2010· 四川)? 3 ? 的展开式中的第四项是______. x? ? a 5.(2011· 山东)若(x- 2 )6 展开式的常数项为 60,则常数 a 的值为________. x 1 x2- ?n 的展开式中第 4 项的二项式系数最大, 6. (2011· 烟台期末)已知 n 为正偶数, 且? 2 x? ? 则第 4 项的系数是__________.(用数字作答)

探究点一 二项展开式及通项公式的应用 ?3 1 ? ?n 的展开式中,第 6 项为常数项. 例 1 已知在? x- ? 3 ? ? 2 x? 2 (1)求 n;(2)求含 x 的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项.

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4 变式迁移 1 (2010· 湖北)在(x+ 3y)20 的展开式中, 系数为有理数的项共有________项. 探究点二 二项式系数的性质及其应用 - 2 3 n 例 2 (1)求证:C1 2n 1; n+2Cn+3Cn+…+nCn=n· 2 27 (2)求 S=C1 27+C27+…+C27除以 9 的余数.

4 2k 2n 变式迁移 2 (2011· 上海卢湾区质量调研)求 C2 2n+C2n+…+C2n+…+C2n的值.

探究点三 求系数最大项 3 例 3 已知 f(x)=( x2+3x2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992. (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项.

变式迁移 3 (1)在(x+y)n 的展开式中,若第七项系数最大,则 n 的值可能等于( A.13,14 B.14,15 C.12,13 D.11,12,13

)

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1 ?n (2)已知? ?2+2x? ,(ⅰ)若展开式中第 5 项,第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列, 求展开式中二项式系数的最大项的系数; (ⅱ)若展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项.

1.二项式系数与项的系数是不同的,如(a+bx)n (a,b∈R)的展开式中,第 r+1 项的二 r n-r r 项式系数是 Cr b. n,而第 r+1 项的系数为 Cna 2.通项公式主要用于求二项式的指数,求满足条件的项或系数,求展开式的某一项或 n-r r 系数.在运用公式时要注意:Cr b 是第 r+1 项,而不是第 r 项. na n 1 n n 3.在(a+b) 的展开式中,令 a=b=1,得 C0 n+Cn+…+Cn=2 ;令 a=1,b=-1,得 0 1 2 3 2 4 1 3 5 n -1 Cn -Cn +Cn -Cn +…=0,∴C0 ,这种由一般到 n+Cn+Cn+…=Cn+Cn +Cn +…=2 特殊的方法是“赋值法”. 4.二项式系数的性质有:(1)在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式 n 1 n-1 2 n-2 r n-r 系数相等,即 C0 n=Cn,Cn=Cn ,Cn=Cn ,…,Cn=Cn .(2)如果二项式的幂指数是 偶数,中间一项的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系 数相等并且最大. 5.二项式定理的一个重要作用是近似计算,当 n 不是很大,|x|比较小时,(1+x)n≈1+ nx.利用二项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题,证题时要注意变形的技巧.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

? x+ 1 ?24 1.(2011· 山东实验中学模拟 )在? 3 ? 的展开式中,x 的幂指数是整数的项共有 x? ?
( ) A.3 项 B.4 项 C.5 项 D.6 项 2.(2011· 重庆)(1+3x)n(其中 n∈N 且 n≥6)的展开式中 x5 与 x6 的系数相等,则 n 等于 ) A.6 B.7 C.8 D.9 x 1 ? - ? 3.(2011· 黄山期末)在?2 3 ?n 的展开式中,只有第 5 项的二项式系数最大,则展开式 x? ?

(

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中常数项是( A.-7

) B.7

C.-28 D.28 1 ?3x- ?n 4.(2010· 烟台高三一模)如果? 3 2? 的展开式中二项式系数之和为 128,则展开式 x? ?

1 中 3的系数是( ) x A.7 B.-7 C.21 D.-21 5 6 7 8 5.在(1-x) +(1-x) +(1-x) +(1-x) 的展开式中,含 x3 的项的系数是( ) A.74 B.121 C.-74 D.-121 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 1 18 6. (2011· 湖北)(x- ) 的展开式中含 x15 的项的系数为__________. (结果用数值表示) 3 x 1 x- ?6 的展开式中的常数项为 7.(2011· 济南高三模拟)已知 a=?π(sin t+cos t)dt,则? ax ? ? ?
0

________. 1 ?10 8.? ?1+x+x2? 的展开式中的常数项是________. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)(1)设(3x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4. ①求 a0+a1+a2+a3+a4; ②求 a0+a2+a4; ③求 a1+a2+a3+a4; (2)求证:32n 2-8n-9 能被 64 整除(n∈N*).


1?n 10.(12 分)利用二项式定理证明对一切 n∈N*,都有 2≤? ?1+n? <3.

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2 ?n * 11.(14 分)(2011· 泰安模拟)已知? ? x-x2? (n∈N )的展开式中第五项的系数与第三项的 系数的比是 10∶1. (1)求展开式中各项系数的和; (2)求展开式中含 x 的项; (3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.
3 2

学案 65
自主梳理 1.(1)二项式定理 ②n+1 ③Ck n
n n 1 2

二项式定理


n k k 0,1,2,…,n ④Ck b na

n k k Ck b na
- -

2.(1)等距离


(2) Cn 2

Cn

Cn

n 1 2

(3)2n 2n 1 2n 1 自我检测 r r r r 2 2 2 1.B [(1+2x)5 的第 r+1 项为 Tr+1=Cr C5= 5(2x) =2 C5x ,令 r=2,得 x 的系数为 2 · 40.]
-r

2.C [设展开式的常数项是第 r+1 项,则 Tr+1=Cr (4x)r· (-2 x)6 r,即 Tr+1=Cr (-1)6 6· 6· - - - · 22rx· 2rx 6x=Cr (-1)6 r· 23rx 6x,∴3rx-6x=0 恒成立.∴r=2,∴T3=C2 (-1)4=15.∴选 6· 6· C.] 3.A 160 4.- x 5.4 a - 6-r 6-3r 解析 (x- 2 )6 展开式的通项为 Tr+1=Cr (-1)r· ( a)r· x 2r=Cr (-1)r· ( a)r. 6x 6x x 2 令 6-3r=0,得 r=2.故 C6 ( a)2=60,解得 a=4. 5 6.- 2 课堂活动区 n-r r 例 1 解题导引 (1)通项 Tr+1=Cr b 是(a+b)n 的展开式的第 r+1 项,而不是第 r na 项;二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念,二项式系数是指 Cr n,r=0,1,2,…,n, 与 a,b 的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分. (2)求二项展开式中的有理项,一般是根据通项公式所得到的项,其所有的未知数的指 数恰好都是整数的项. 解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数, 根据具体要 求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解.若求二项展开式中的整式项,则其通项公式 中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项的方式一致.
- -

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解 =Cr n

(1)通项公式为 Tr+1=Cr nx

n r 3

?-1?r x ? 2?

r 3

?-1?r x ? 2?

n 2r 3



n-2r 因为第 6 项为常数项,所以 r=5 时,有 =0, 3 即 n=10. n-2r 1 1 (2)令 =2,得 r= (n-6)= ×(10-6)=2, 3 2 2 1 45 ? ?2 ∴所求的系数为 C2 10 -2 = . ? ? 4 10-2r ? ? 3 ∈Z, (3)根据通项公式,由题意得? 0≤r≤10, ? ?r∈N. 10-2r =k (k∈Z),则 10-2r=3k, 3 3 即 r=5- k,∵r∈N,∴k 应为偶数. 2 ∴k 可取 2,0,-2,即 r 可取 2,5,8. 所以第 3 项,第 6 项与第 9 项为有理项,它们分别为 1?2 2 1?5 1?8 -2 2 ? 5 ? 8 ? C10 ?-2? x ,C10?-2? ,C10?-2? x . 变式迁移 1 6 令 4 - 解析 展开式的通项 Tr+1=Cr x20 r· ( 3y)r 20·
r

34 . =Cr x20 r· yr· 20· r 由 0≤r≤20, ∈Z 得 r=0,4,8,12,16,20. 4 所以系数为有理数的项共有 6 项. n n+1 k 例 2 解题导引 (1)在有关组合数的求和问题中,经常用到形如 C0 n=Cn=Cn+1,Cn= n-k k k-1 Cn ,kCn=nCn-1等式子的变形技巧; (2)利用二项式定理解决整除问题时,关键是进行合理地变形构造二项式.求余数问题 时,应明确被除式 f(x)、除式 g(x)[g(x)≠0]、商式 q(x)与余式的关系及余式的范围. -1 2 3 n (1)证明 方法一 设 S=C1 Cn n+2Cn+3Cn+…+(n-1)· n +nCn,① n-1 n-2 2 1 ∴S=nCn n+(n-1)Cn +(n-2)Cn +…+2Cn+Cn 0 1 2 n-2 n-1 =nCn+(n-1)Cn+(n-2)Cn+…+2Cn +Cn ,② 1 2 n-1 n ①+②得 2S=n(C0 2n. n+Cn+Cn+…+Cn +Cn)=n· n-1 ∴S=n· 2 .原式得证. n! k k 方法二 ∵ Ck = · n n n k!?n-k?! ?n-1?! -1 = =Ck n-1, ?k-1?!?n-k?! k-1 ∴kCk n=nCn-1. 1 n-1 ∴左边=nC0 n-1+nCn-1+…+nCn-1 - 0 1 n-1 =n(Cn-1+Cn-1+…+Cn-1)=n· 2n 1=右边. 2 27 27 (2)解 S=C1 27+C27+…+C27=2 -1 9 9 =8 -1=(9-1) -1


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9 1 8 8 9 =C0 9×9 -C9×9 +…+C9×9-C9-1 0 8 1 7 8 =9(C9×9 -C9×9 +…+C9)-2 8 1 7 8 =9(C0 9×9 -C9×9 +…+C9-1)+7,

显然上式括号内的数是正整数. 故 S 被 9 除的余数为 7. 1 2 2 3 3 2n 2n 变式迁移 2 解 (1+x)2n=C0 2n+C2nx+C2nx +C2nx +…+C2nx . 0 1 2n-1 2n 2n 令 x=1 得 C2n+C2n+…+C2n +C2n=2 ; 1 2 r r 2n-1 2n 再令 x=-1 得 C0 2n-C2n+C2n-…+(-1) C2n+…-C2n +C2n=0. 0 两式相加,再用 C2n=1, 2n - 4 2n 2 得 C2 + C + … + C = -1=22n 1-1. 2n 2n 2n 2 例3 n ? 解题导引 (1)求二项式系数最大的项:如果 n 是偶数,则中间一项[第? ?2+1?项]

n+ 1 n+1 ? 的二项式系数最大; 如果 n 是奇数, 则中间两项[第 项与第? 2 ? 2 +1?项]的二项式系数相 等且最大; (2)求展开式系数最大的项:如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数最大的项,一般是采 用待定系数法.设展开式各项系数分别为 A1,A2,…,An+1,且第 r+1 项系数最大,应用 ? ?Ar≥Ar-1 ? 解出 r 来,即得系数最大的项. ?Ar≥Ar+1 ? 解 (1)令 x=1,则二项式各项系数的和为 f(1)=(1+3)n=4n, 又展开式中各项的二项式系数之和为 2n. 由题意知,4n-2n=992. ∴(2n)2-2n-992=0,∴(2n+31)(2n-32)=0, ∴2n=-31(舍),或 2n=32,∴n=5. 由于 n=5 为奇数,所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项,它们分别是
2

T3=C2 5

x3
2

3

(3x2)2=90x6,
22

3 T4=C3 5 x

2

(3x2)3=270 x 3 .
2 5 2r

r x3 (2)展开式的通项公式为 Tr+1=Cr . 53 · r r r-1 r-1 ?C53 ≥C5 · 3 , ? 假设 Tr+1 项系数最大,则有? r r r+1 r+1 ? 3 , ?C53 ≥C5 ·

5! 5! ? ??5-r?!r!×3≥?6-r?!?r-1?!, ∴? 5! 5! ≥ ? ??5-r?!r! ?4-r?!?r+1?!×3.

? r ≥6-r, ∴? 1 3 ?5-r≥r+1.

3

1

7 9 ∴ ≤r≤ ,∵r∈N,∴r=4. 2 2

变式迁移 3 (1)D [(1)分三种情况:①若仅 T7 系数最大,则共有 13 项,n=12;②若 T7 与 T6 系数相等且最大,则共有 12 项,n=11;③若 T7 与 T8 系数相等且最大,则共有 14 项,n=13,所以 n 的值可能等于 11,12,13,故选 D.]

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(2)解 ∵n=7 或 n=14,当 n=7 时,展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5. ?1?4 3 35, ∴T4 的系数为 C3 7 2 2 = ? ? 2 1 ? ?3 4 T5 的系数为 C4 7 2 2 =70, ? ? 当 n=14 时,展开式中二项式系数的最大的项是 T8. ?1?7 7 ∴T8 的系数为 C7 14 2 2 =3 432. ? ? 1 2 2 (ⅱ)∵C0 + C + C n n n=79,∴n +n-156=0. ∴n=12 或 n=-13(舍去). 设 Tk+1 项的系数最大, 1 12 ?12 ?1?12 ∵? ?2+2x? =?2? (1+4x) , k k k-1 k-1 ? ?C124 ≥C12 4 , ? ∴ k k ∴9.4≤k≤10.4. k+1 k+1 ?C124 ≥C12 4 . ? ∴k=10.∴展开式中系数最大的项为 T11, 1?12 10 10 10 10 T11=? ?2? C124 x =16 896x . 课后练习区 1.C 5 5 5 5 6 6 6 6 2.B [(1+3x)n 的展开式中 x5 的项为 C5 n(3x) =Cn3 x ,展开式中含 x 的项为 Cn3 x , 5 5 6 6 由两项的系数相等得 Cn· 3 =Cn· 3 ,解得 n=7.] 3.B 4.C 5.D 6.17
18 1 r 1 3r 18-r 2 解析 二项展开式的通项为 Tr+1=Cr (- ) =(-1)r( )rCr .令 18- =15, 18x 18 x 3 2 3 x 解得 r=2. 1 ∴含 x15 的项的系数为(-1)2( )2C2 =17. 3 18 5 7.- 2 8.4 351 1 1 1+x+ 2?10=??1+x?+ 2?10 解析 ? x x ? ? ? ? 1 0 10 1 91 2 71 4 61 =C10(1+x) +C10(1+x) 2+C10(1+x)8 4+C3 10(1+x) 6+C10(1+x) 8+…, x x x x 4 61 0 从第五项 C10(1+x) 8起,后面各项不再出现常数项,前四项的常数项分别是 C10 ×C0 10, x 1 2 2 4 3 6 C10×C9,C10×C8,C10×C7. 故原三项展开式中常数项为 0 1 2 2 4 3 6 C10 C0 10+C10C9+C10C8+C10C7=4 351. 9.(1)解 ①令 x=1, 得 a0+a1+a2+a3+a4=(3-1)4=16.(2 分) ②令 x=-1 得, a0-a1+a2-a3+a4=(-3-1)4=256, 而由(1)知 a0+a1+a2+a3+a4=(3-1)4=16, 两式相加,得 a0+a2+a4=136.(4 分) ③令 x=0 得 a0=(0-1)4=1, 得 a1+a2+a3+a4=a0+a1+a2+a3+a4-a0 3r

6 5 2 (ⅰ)∵C4 n+Cn=2Cn,∴n -21n+98=0.

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=16-1=15.(6 分) + (2)证明 ∵32n 2-8n-9=32· 32n-8n-9 =9· 9n-8n-9=9(8+1)n-8n-9 -1 n 1 n-1 =9(C0 +…+Cn 8+Cn 1)-8n-9 n8 +Cn8 n · n· (8 分) -2 2 n-1 =9(8n+C1 +…+Cn 8n+9-8n-9 n8 n 8 )+9· -2 2 n-2 1 n-3 =9×8 ×(8 +Cn· 8 +…+Cn n )+64n - -2 n-3 =64[9(8n 2+C1 +…+Cn n8 n )+n], 显然括号内是正整数, ∴原式能被 64 整除.(12 分) 1?n 10.证明 因为? ?1+n? 1 ?n-1? 1 ?n-1? ?n-2? 1 1 2 ?1? 2 3 ?1? 3 n ?1? n = C0 · + · n + C n · + C n · n + C n · n + … + Cn ·n = 1 + 1 + ? ? ? ? ? ? n 2! ? n ? 3! ? n ? ? n ? 1 ?n-1??n-2? ?1? +…+ · … .(4 分) n! ? n ?? n ? ?n? 1?n 所以 2≤? ?1+n? 1 1 1 <2+ + +…+ (6 分) 2! 3! n! 1 1 1 <2+ + +…+ 1· 2 2· 3 ?n-1?n 1? ?1 1? ? 1 -1? =2+? ?1-2?+?2-3?+…+?n-1 n? 1 =3- <3,(9 分) n 1?n 仅当 n=1 时,? ?1+n? =2; 1?n 当 n≥2 时,2<? ?1+n? <3.(11 分) 1?n 故对一切 n∈N*,都有 2≤? ?1+n? <3.(12 分) C4 ?-2?4 n· 4 11.解 由题意知,第五项系数为 Cn · (-2)4,第三项的系数为 C2 (-2)2,则有 2 n· Cn· ?-2?2 10 = , 1 化简得 n2-5n-24=0, 解得 n=8 或 n=-3(舍去).(2 分) (1)令 x=1 得各项系数的和为(1-2)8=1.(4 分) 2 ?r - ? (2)通项公式 Tr+1=Cr ( x)8 r· 8· ?-x2?

x =Cr (-2)r· 8·

8 r 2 3 2

8-r 3 -2r,令 -2r= ,则 r=1. 2 2
3 2

故展开式中含 x 的项为 T2=-16 x .(8 分) -1 - (3)设展开式中的第 r 项,第 r+1 项,第 r+2 项的系数绝对值分别为 Cr 2r 1,Cr 2r , 8 · 8· r+1 r+1 C8 · 2 ,若第 r+1 项的系数绝对值最大, r-1 r-1 ? 2 ≤Cr 2r , ?C8 · 8· ? 则 r+1 r+1 解得 5≤r≤6.(12 分) ?C8 · 2 ≤Cr 2r , ? 8· - 又 T6 的系数为负,∴系数最大的项为 T7=1 792x 11.

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由 n=8 知第 5 项二项式系数最大. - 此时 T5=1 120x 6.(14 分)


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1.3.1二项式定理(一) - 复习: (a+b (a+b )2 )3 = a
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二项式定理 - 高三总复习 数学(理) 提素养误区分析 研动向考纲考向 第三节 二项式定理 切脉搏核心突破 演实战沙场点兵 课时提 ...
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二项式定理证明 - 个(a+b)相乘,是从(a+b)中取一个字母 a 或 b 的
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