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平面向量的线性运算 (2)


龙文教育一对一个性化辅导教案
学生 科目 课题
教学 重点 教学 难点 教学 目标 曹澜 数学

学校 教师

44 王双云

年级 日期

高一 2016-3-13

次数 时段

第6次 10-12

平面向量的线性运


1 平面向量的概念和性质 2 平面向量的共线法则
弧度制转化、三角函数定义、诱导公式

1 把握平面向量的线性运算法则
2 灵活运用平面向量的线性关系处理平面向量知识点 一、课前热身:

教 学 步 骤 及 教 学 内 容

二、内容讲解: 知识点一:知识点一.向量的基本概念与基本运算 知识点二:知识点二.平面向量的坐标表示 知识点三: 1 向量的线性运算法则 2 向量的加减的运算之间的转换 知识点四:1 平面向量共线定理及推论 2 平面向量共线共线的做题技巧表达 三、课堂总结: 四、作业布置:

管理人员签字:

日期:







作 业 布 置

1、学生上次作业评价: 备注: 2、本次课后作业: 见学案:

○ 好

○ 较好

○ 一般

○ 差

家 长 意 见
家长签字: 日期: 年 月 日

曹澜同学 2016 年 3 月 10 日学案

【第 6 次】

课题:平面向量的线性运算学案
知识总结: 知识点一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.
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②零向量:长度为 0 的向量,记为 0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行 ③单位向量:模为 1 个单位长度的向量 ④平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量
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? ??? ? ???? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ??? 2、向量加法:设 AB ? a, BC ? b ,则 a + b = AB ? BC = AC
? ? ? ? ?

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(1) 0 ? a ? a ? 0 ? a ; (2)向量加法满足交换律与结合律;

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? . AB ? BC ? CD ? ?? PQ ? QR ? AR ,但这时必须“首尾相连”
3、向量的减法: ① 相反向量:与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向量

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②向量减法: 向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差, ③作图法:a ? b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的 终点的向量( a 、 b 有共同起点)

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4、实数与向量的积:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作λ a ,它的长度与方向规定如下: (Ⅰ) ?a ? ? ? a ; (Ⅱ)当 ? ? 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时,λ a 的方向与 a 的 方向相反;当 ? ? 0 时, ?a ? 0 ,方向是任意的

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5、两个向量共线定理:向量 b 与非零向量 a 共线 ? 有且只有一个实数 ? ,使得 b = ?a

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6、平面向量的基本定理:如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 a , 有且只有一对实数 ?1 , ? 2 使: a ? ?1e1 ? ?2 e2 ,其中不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的一 组基底 知识点二.平面向量的坐标表示
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1 平面向量的坐标表示:平面内的任一向量 a 可表示成 a ? xi ? yj ,记作 a =(x,y)。
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2 平面向量的坐标运算:
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(1) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? (2) 若 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? (3) 若 a =(x,y),则 ? a =( ? x, ? y) (4) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

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(5) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 若 a ? b ,则 x1 ? x2 ? y1 ? y 2 ? 0

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知识点三.平面向量的数量积
1 两个向量的数量积:
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b =︱ a ︱· 已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,则 a · ︱ b ︱cos ?
叫做 a 与 b 的数量积(或内积) 规定 0 ? a ? 0
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? ? ? ? ? a ?b 2 向量的投影:︱ b ︱cos ? = ? ∈R,称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射影 |a|
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b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积 3 数量积的几何意义: a ·
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4 向量的模与平方的关系: a ? a ? a 2 ?| a |2
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5 乘法公式成立:
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? ? ? ? ? b ? ? ?a ? b ? ? a ? b ? a ?a ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? 2 a ?b ? b ? a ? ?
2 2 2 2

?

?

?2

2

?2 ?b ;
? ? ?2 ? 2a ? b ? b

2

6 平面向量数量积的运算律:
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①交换律成立: a ? b ? b ? a

? ?

? ?
? ?

? ? ?? ? R? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ③分配律成立: ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c ? c ? ? a ? b ? ? ? ? ? ? ? 特别注意: (1)结合律不成立: a ? ? b ? c ? ? ? a ? b ? ? c ;
②对实数的结合律成立: ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b

?? ?

?

?

?

(2)消去律不成立 a ? b ? a ? c

? ?

? ?

不能得到 b ? c ?

?

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(3) a ? b =0 不能得到 a = 0 或 b = 0 7 两个向量的数量积的坐标运算:
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b = x1 x2 ? y1 y2 已知两个向量 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ·
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8 向量的夹角:已知两个非零向量 a 与 b ,作 OA = a , OB = b ,则∠AOB= ? ( 0 ? ? ? 180 )叫做向量 a
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0

0

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与 b 的夹角

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? ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? ? a ?b cos ? = cos ? a , b ?? ? ? = 2 2 2 2 a?b x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
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当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时,θ =00,当且仅当 a 与 b 反方向时θ =1800,同时 0 与其它任何非零 向量之间不谈夹角这一问题
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9 垂直:如果 a 与 b 的夹角为 90 则称 a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b
0
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10 两个非零向量垂直的充要条件:
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? ? ? ? a ⊥ b ? a · b =O ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 平面向量数量积的性
王新敞
奎屯 新疆

典型例分析:

? ? ? ? 例 1. 下列命题: (1)若 a ? b ,则 a ? b (2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同(3) ? ?? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ? ? B C D 是平行四边形 B C D 是平行四边形, , c ? , 若 AB ? DC , 则A (4) 若A 则 AB ? DC(5) 若 a ?bb 则a ?c ? ?? ? ? ? (6)若 a // b, b // c ,则 a // c 其中正确的是____

归纳小结: 1 向量的方向和大小的的概念 2 向量的平行四边形法则的运用技巧 3 向量之间相等的条件 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? 例 2.(1)化简:① AB ? BC ? CD ? ___;② AB ? AD ? DC ? ____;③ ( AB ? CD) ? ( AC ? BD) ? _____ (2)若正方形 ABCD 的边长为 1, AB ? a, BC ? b, AC ? c ,则 | a ? b ? c | =_____ (3)若 O 是 ?ABC 所在平面内一点,且满足 OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ,则 ?ABC 的形状为____ (4).已知 ?ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内任意一点 P,且 PA ? PB ? PC ? AB ,则 P 与 ?ABC 的位 置关系______________ 归纳小结: 1 .向量的线性运算法则 2 向量的加减的运算之间的转换

??? ?

? ??? ?

? ??? ?

?

? ? ?
??? ?

??? ? ????

??? ? ????

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? (1)若 AB ? a ? b , BC ? 2a ? 8b , CD ? 3a ? 3b ,求证:A,B,D 三点共线; ? ? ? ? (2)试确定实数 k,使 ka ? b 和 a ? kb 共线. (答: ?1 )
例 3. 设两个非零向量 a与b 不共线.

例 4 在平行四边形 ABCD 中,设边 AB、BC、CD 的中点分别为 E、F、G,设 DF 与 AG、EG 的交点分别为 H、 K,设 AB ? a, BC ? b ,试用 a, b 表示 GK , AH . (?

??? ?

? ??? ?

?

? ?

???? ????

1? 2? 4? b; a? b) 4 5 5

归纳小结: 1. 平面向量共线定理及推论 2. 平面向量共线共线的做题技巧表达

例 5.(1)在 ?ABC 中,点 D 在边 CB 的延长线上,且 CD ? 4BD ? r AB ? s AC ,求 s+r 的值 (s=r= (1)

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

4 ) 3

(2)若 a ? (1,1), b ? (1, ?1), c ? (?1,2) ,则 c ? ______

?

?

?

?

例 6.

1 如图,平面内有三个向量 OA 、 OB 、 OC ,其中 OA 与 OB 的夹角为 120°, OA 与 OC 的夹角

为 30°, 且 OA = OB =1,OC = 2 2 .若 OC = ?OA ? ?OB(?, ? ? R),则? ? ? 的值为 .

2 已知点 A( 3,1) ,B(0, 0) ,C ( 3,0) . 设 ?BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E , 那么有 BC ? ? CE , 其中 ? 等于 _____________

??? ?

??? ?

讲练结合: 1.在矩形 ABCD 中, AB ? (A)2

3 , BC ? 1 ,则向量 ( AB ? AD ? AC) 的长等于(
(C)3 (D)4



(B) 2 3

2.下面给出四个命题: ① 对于实数 m 和向量 a 、 b 恒有: m(a ? b) ? m a ? m b ② 对于实数 m 、 n 和向量 a ,恒有 (m ? n)a ? m a ? na ③ 若 ma ? mb(m ? R) ,则有 a ? b ④ 若 ma ? na(m, n ? R, a ? 0) ,则 m ? n 其中正确命题的个数是( ) (A)1 (B)2

(C)3

(D)4 ; 此时 a ? b

3. 若 a 与 b 的方向相反, 且a ? b, 则 a+b 的方向与 a 的方向

a?b.

4.已知 D、E、F 分别是△ABC 的边 BC、CA、AB 的中点,且 BC ? a , CA ? b , AB ? c ,则下列各式: ① EF ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 1 1 1 1 c ? b ;② BE ? a ? b ;③ CF ? ? a ? b ;④ AD ? BE ? CF ? 0 .其中正确的等式 2 2 2 2 2

的个数为

5. 已知 A、 B、 C 三点不共线, O 是△ABC 内的一点, 若 OA ? OB ? OC ? 0 , 则 O 是△ABC 的 (填重心 、垂心、内心、外心之一) 6.若 AB ? 8, AC ? 5, 则 BC 的取值范围是 7.如图,D、E、F 是 ?ABC 的边 AB、BC、CA 的中点,则 AF ? DB = 真题回放:

??? ? ??? ? ??? ?



??? ?

????

??? ?

???? ? ?? ??? ? ? ??? ? ? ???? ???? 1.在 ? ABCD 中, AB ? a, AD ? b, AN ? 3NC ,M 为 BC 的中点,则 MN ? _______。 (用 a、 b 表示) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2.化简: ( AB ? CD) ? ( AC ? BD) = .
3.如图,ABCD 是一个梯形,AB∥CD,且 AB=2CD,M、N 分别是 DC 和 AB 的中点,已知 AB =a, AD =b, 试用 a,b 表示 BC 和 MN .

B组

4.已知:在任意四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AD、DC 的中点. 求证: EF ?

1 ( AB ? BC ) 2

◎课堂小结:

作业布置: 一.选择题 1.设 b 是 a 的相反向量,则下列说法错误的是( ) A. a 与 b 的长度必相等
? ? ? ?

B. a ? b

?

?

C. a 与 b 一定不相等

?

?

D. a 是 b 的相反向量
? ? ?

?

?

2.已知一点 O 到平行四边形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 的向量分别为 a 、 b 、 c ,则向量 OD 等于( ) A. a ? b ? c B. a ? b ? c C. a ? b-c D. a-b-c 3.(如图)在平行四边形 ABCD 中,下列正确的是( ).

? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

A. AB ? CD

??? ?

??? ?

B. AB ? AD ? BD

??? ? ????

??? ?

C. AD ? AB ? AC

???? ??? ?

??? ?

D. AD ? BC ? 0

??? ? ??? ? ?

D A B

C ) A. AB B. BA C. AC D. CA D、 SQ

4. OA ? OC ? BO ? CO 等于(

5.化简 OP ? QP ? PS ? SP的结果等于( ) A、 QP B、 OQ C、 SP 6.(如图)在正六边形 ABCDEF 中,点 O 为其中心,则下列判断错误的是( ) A AB ? OC
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??? ?

??? ?

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B AB ∥ DE
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C

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???? ??? ? AD ? BE

D AD ? FC
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????

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?

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7.下列等式中,正确的个数是(

① a ? b ? b ? a ② a-b ? b-a ③ 0 ? a ? ?a A.5 B.4 C.3 D.2

? ? ? ?

? ? ? ?

? ?

)

?

④ ?( ?a ) ? a ⑤ a ? ( ?a ) ? 0

?

?

?

8.在△ABC 中, AB ? a , AC ? b ,如果 | a|?|b| , 那么△ABC 一定是( ). A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形

??? ? ? ??? ? ?

?

?

? ??? ? 9.在 ?ABC 中, BC ? a , CA ? b ,则 AB 等于( ) ? ? ? ? ? ? ? ? A. a ? b B. ?( a ? b ) C. a ? b D. b ? a ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??? 10.已知 a 、 b 是不共线的向量, AB ? ? a ? b , AC ? a ? ?b ( ? 、 ? ? R ),当且仅当( )时, A 、 B 、 C 三点共线. ? A? ? ? ? ? 1 ? B ? ? ? ? ? 1 ?C ? ?? ? ?1 ? D? ?? ? 1
二.填空题(每题 5 分) 1 ? ABCD 的两条对角线相交于点 M ,且 AB ? a, AD ? b ,则 MA ? _ __.

??? ?

D.钝角三角形

??? ?

? ??? ?

?

????

???? ? ???? ???? ? MB ? ___, MC ? __, MD ? ____
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13.已知向量 a 和 b 不共线,实数 x , y 满足 (2x ? y)a ? 4b ? 5a ? ( x ? 2 y)b ,则 x ? y ? ______ ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? 14.化简:① AB ? BC ? CD ? ______;② AB ? AD ? DC ? ______;③ ( AB ? CD) ? ( AC ? BD) ? ______ 15.化简下列各式: (1) AB ? DF ? CD ? BC ? FA ? ______;(2) ( AB ? MB) ? ( BO ? BC) ? OM ? ______. 16.在 ? ABCD 中, AB ? a, AD ? b ,则 AC ? ______, DB ? ______. 17.在四边形 ABCD 中有 AC ? AB ? AD ,则它的形状一定是______ ???? ??? ? ??? ? 1 ???? 18.已知四边形 ABCD 中, AB ? DC ,且 AD ? BC 则四边形 ABCD 的形状是______. 2 19.化简: ( AC ? DP ? BA) ? (CP ? BD) ? ______. 20.在△ABC 中,设 BC ? a , CA ? b ,则 AB =______

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