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立体几何翻折问题教学


平面翻折寻常事 一问一变巧传情
—— 一道立体几何中翻折问题的教学案例
有些几何问题除了固定不变的条件外,有时渗透了一些动态的变量因素 ,给静态的几何 题赋予了活力.使题意更新颖,同时由于动态的存在,也使几何题的解法更趋灵活.加强了学生 的空间想象能力,自主探究能力和创新能力的培养.因此在解决动态几何问题时 .要求同学们 注重动态元素所引发的图形变化过程 ,动

中窥静,静中见静,以静止动.在运动过程中,求"发展 立体几何中的“翻折问题”是在图形动态变化的过程中,探究静态的空间位置关系与数量关 系;是探索变化过程中某一参变量的变化范围问题,能很好地考查学生的空间想象能力与逻 辑推理能力,成为了这几年浙江省高考命题的热点; 从 2009 年开始至今的高考中三年考到翻 折问题, 由于翻折使图形由“静态”转化为“动态”,提升了思维的难度,拓宽了空间想象的 范围.,学生普遍感到较难把握,从而得分率较低.所以对翻折问题的教学研究,显得非常重要. 本文通过对 2012 年浙江省数学高考试题第 10 题——翻折问题的教学, 谈谈如何在教学中渗 透“怎么去做” ,研究思考的突破口,希望能得到同行的指正. 1 问题呈现 题目 已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2 .将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折, )

在翻折过程中 (

A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直. B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直. C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直. D.对任意位置,三对直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂直 (2012 年浙江省数学高考试题) 环节 1 阅读型提问,理解题目

著名数学教育家斯托利亚尔说:“数学教学就是数学语言的教学.”但我们在实际教学中 将数学教学简化为解题教学,认为让学生阅读思考会浪费时间;其实,数学文本材料是说明性 的文字表现,倾向于将复杂的问题情境简洁地呈现给学生,让其在简短的文字中发现其中所蕴 含的数量关系.因此,在数学教学中,教师给予学生一定的时间阅读,动手画图及符号化,生动想 象图形的变化过程是必要的. 师:未知量是什么? 生:三对直线 AC 与 BD,AB 与 CD,AD 与 BC 是否垂直? 师:已知数据是什么? 生:矩形 ABCD,AB=1,BC= 2 .

师:条件是什么? 生:将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折. 师:你需要观察的是什么? 生:在翻折过程中,是否存在某个位置,三对直线 AC 与 BD,AB 与 CD,AD 与 BC 垂直? 评注 1 每个学生都有分析、解决问题和创造的潜能,都有一种与生俱来的探索、研究与发 现的创造本能,教师通过问题串: “未知数是什么?已知数据是什么?条件是什么?把条件 的各个部分分开,你能否用不同的方法重新叙述它?”这既是与解题直接相关的认知环节,也 是对学生心理的充分把握,让学生表现出更充足的自信、更认真的思考,使学生更积极地寻 找解决问题的思路和答案,培养学生自我审问的审题习惯. 环节 2 回顾性提问,唤醒思维 师:你知道一道与它有关的题目吗? 生思索。 师:观察未知量!以前碰到过这样的题目吗? 师:未知量是什么?(关注目标) 生:两直线是否垂直. 师:以前做过线线垂直的题目吗?(提示学生联想)怎么判断线线垂直的呢? 生:线面垂直. 师:你能举一个例子吗?线线、线面关系出现比较多的简单几何体是什么? 生(联想) :正方体 教师让学生画一个正方体,并观察( . 图 2) 图中有线线垂直关系吗? 有与问题中类似的线线位置关系吗?以选择支 A 中直线 AC 与直线 BD 为例说明. 生:图 2 中直线 BD 与直线 A1C 垂直. 师:你是如何判断直线 BD 与直线 A1C 垂直的? 生:BD ? 面 A1CA,因为直线 BD ? A1A,BD ? A C. 师: 再观察我们的未知量.在图象变化过程中直线 BD 是否可能垂直 直线 AC 呢? 部分学生受图2的影响,把矩形 ABCD 画成正方形 (图 3) ,则在翻折过 程中直线 BD 垂直平面 AOC.并类比在 矩形 ABCD 中作出与 BD 垂直的直线 AE(图 4),垂足为点 O,在翻折过程中,BD 垂直面 AOE,则直线 BD 不可能垂 直 AC. 教师继续提问:如何判断直线 BD 是否垂直直线 AC 呢? 生:BD 是否垂直 A C 所在的面. 师:如何判断线面垂直? 生:线线垂直. 师:与 BD 垂直的线有吗?已知数据与已知条件是什么? 学生再一次回顾题目的条件,想象图形的变化. 生:没有现成的,需要在面 BDC 或面 ABD 内作一条. 学生作出 BD 的垂线 AO、CF(图 5),在翻折过程中分别与直线 AC 构 成面 AOC 与面 CFA.如果 BD 垂直 AC,则 BD 垂直面 AOC 与面 ACF.这不可能. 评注 2 在教学中,学生已具备解题所需要的知识储备,只是如何提 取、组织与运用知识.教师的重要任务之一是帮助学生优化已有的知识经

验与认知结构,将“货源充足”的知识仓库“组织良好”.此处教师看似“漫不经意”的提问, 旨在唤醒学生的思维, 寻找问题与知识之间的联系, 促使已有解题经验的迁移.教师启发性的, 层层递进的提问,是对主体解题思维活动的反诘,是一种自我意识,自我预测,自我调节与监控, 也是隐性而不露痕迹的,这样学生才感觉到,在自己的思考下独立解题,收获成功的自信. 环节 3 激发性提问,完善思维 师: 在翻折过程中直线 AB 与直线 CD 是否可能垂直?你如何判断直线 AB 与 CD 是否可 能垂直? 生:翻折过程中,直线 CD 是否垂直直线 AB 所在的面. 师:如何找与直线 CD 垂直的面? 生:先找与直线 CD 垂直的线——BC 与 AD. 师:在运动过程中都能垂直吗? 生:噢,直线 BC 能,直线 AD 不能. 师:为什么? 生:在翻折过程中,直线 AD 与直线 CD 的位置关系在改变,而直线 BC 与直线 DC 的位置 关系不变. 师:为什么? 生:直线 AD 与直线 CD 在折线的两侧,而直线 BC 与直线 CD 在折线的同侧. 师:找到与 CD 垂直的直线 BC 目的是什么? 生:在翻折过程中能否与直线 AB 构成与直线 CD 垂直的面. 师:为什么? 生:因为在在翻折过程中,点 A 在面 BCD 内的射影可以落在边 BC 上. 师:为什么? 生:因为是矩形,BC>AB,不信你折折看好了. 至此教师的目的达到了.选择支 B 成立.排除了选择支 C、D. 评注 3 对学生的发展而言,解决问题活动的价值不只是获得具体的结论,它的意义 更多的是启迪学生的思维,使思维实现直觉向理性的跃升,教师通过问题串,调动学生对图 形的直观感知与原先的解题经验,使学生进一步完善解题思路, 使解题思路更加理性与成 熟。检验每一步的正确性. 这样,学生收获的将不仅是数学知识,还有“数学思考”的意识 和“问题解决”的艺术。 环节 4 反思型提问,沉积思维 数学教学应重视揭示获取知识的思维过程, 重视对学生回顾与反思意识的培养。 学生对 重要的数学思想方法的领悟、对数学活动经验的条理化、对数学知识的自我组织等,都需要 一个足够的探索、交流的活动空间,需要“解题之后的回顾与反思” 。 (1)你能改变条件,使存在某一位置,使直线 BD 与直线 AC 垂直吗? (2)若把矩形 ABCD 改为正方形结果如何? (3)你能改变条件使三对直线在翻折过程中都有可能垂直吗? (4)若只让直线 AD 垂直直线 BC,如何改变题设? (5)把已知数据中的“BC= 2 ”改为“BC= 3 ”,会改变结论吗? (6)图象在翻折过程中有什么特征? (7)在解题过程中你用到了所有的数据了吗? (8)你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗?

其中问题(1) 、 (2) (3)本质上是同一个. 评注 4 教学中,用“足”问题资源能提高教与学的有效性. 在解题后的“回头望” ,对解题 过程加以反思、探讨、分析与研究是非常重要的。因为对解题过程的回顾和审视会对题目有 更全面、更深刻的理解,既可以检验解题结果是否正确、全面,推理过程是否无误、简捷, 还可以揭示问题之间规律性的联系,发挥例题、习题的“迁移”功能. 环节 5 变式拓展,问题延伸 对学生的发展而言,数学教学的价值不只是获得具体的结论,更多的是教会学生数学 思考.因此,教师不应满足于一问一答式的低级认知技能,还应让学生通过归纳推测,类比联想, 改变属性、追溯过程等方法,对问题变更、引申、拓展,让学生在数学情境中发现新问题,提出 新见解.而且提出问题, 是思维创新的过程,是知识的内化与提升的一个重要手段,能够促进学 生智慧生成.所以教学的最后阶段,教师让学生对题目进行改编.下面是一些成果体现: 变式 1 (第一个选择支为背景)已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2 .连结 BD,过点 A 作 AE⊥ BD,垂足为 O,与 BC 交于点 E,现将△ABD 沿 BD 折起,则在翻折过程中,下列说法正确的是 ① BD⊥面 AOE,②二面角 A-BD-C 的平面角为∠AOE,③当二面角 A-BD-C 为直二面角 时,AE 长为 变式 2

30 2 ,④当 AE 长为 ,二面角 A-BD-C 的大小为 60°.(答案①②③④) 6 2
(第二个选择支为背景)

(1) 已知矩形 ABCD,AB=1,BC=2. 将△ABD 沿 BD 折起,使平面 ABC⊥平面 BCD,在平面 ABC 内,过点 A 作 AK⊥BC,K 为垂足,则 BK= .(答案

1 ) 2

(2) 矩形 ABCD 中,AB=1,BC=2,E 为 AD 中点,F 为线段 ED(端点除外)上一动点,现将△ABF 沿 BF 折起,使平面 ABC⊥平面 BCD,在平面 ABC 内过点 A 作 AK⊥BC,K 为垂足(图 6),设 BK= t , 则 t 的取值范围是 .(答案(

1 ,1)) 2

(类似于 2009 年浙江省高考试题第 17 题) 变式 3 (1) 已知矩形 ABCD ,AB=1, BC=2.在线段 AD 上是否存在一点 N,当将△ABN 沿 BN 折起至 平面 ABN⊥平面 BCD 时,CN⊥AB?(答案:存在)

(2) 矩形 ABCD ,AB= a ,当线段 AD 长为多少时?在线段 AD 上存在点 N,当将△ABN 沿 BN 折起至平面 ABN⊥平面 BCD 时, CN⊥AB.(答案[2 a , ?? )) 变式 4 在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=5,点 E 为 AB 中点,点 F 在线段 AD 上,且 AF=2.沿直线 EF 将△AEF 翻折成△A′EF,使平面 A′EF⊥平面 BEF. (1)求二面角 A′-EB-C 的余弦值;(答案

3 ) 3

(2)点 M、N 分别在线段 FD、BC 上,若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折,使 C 与 A′ 重合,求线段 BN 的长.(答案

13 ) 8

(类似于 2010 年浙江省高考试题第 20 题) 案例反思 建构主义理论认为,学生是信息加工的主体,是意义的主动建构者。课程标准理念下的 高三数学复习课应突出学生知识的意义建构。因此,高三复习教学,不应是老师展示解题的 “才艺表演”,更不应只强调静态数学知识(数学概念、命题、算法、解题技巧等)的获得,不 注重数学思维与思想方法的培养与渗透, 使教学成为单纯的习题的演算操练; 数学教学是思 维的教学,从这一角度出发教学就应当给学生有更多的时间去思考,更多的机会阐述自己对问 题的看法。作为教学活动的组织者,应思考并实践,如何“让学生带着问题轻松步入课堂, 在愉快且又适度紧张中学习(探究);又要让学生带着新的、更高层次的问题走出课堂,在自由 自在中研究(学习)、发展.”让学生在课堂上主动积极地展示自己的才华智慧.复习课上有一 个突出的矛盾,就是时间太紧,既要处理足量的题目,又要充分展示学生的思维过程,但只要教 师能充分发挥点拨、启发、诱导、调控的主导作用,二者是可以兼顾的.由此可见,高三数学复 习教学,更应使课堂教学真正成为师生互动、 对话式的主体自主探究与自省研究的学习过程。 2

参考文献: 1 .弗赖登塔尔著 , 陈昌平 唐瑞芬译 , 作为教育任务的数学 [M] .上海:上海教育出版 社,1995 2.俞宏达,数学解题教学中自然而有效的提问方式探析[J].中学数学,2005(12) 3.王光明 杨蕊,数学学习中的“懂而不会”现象 [J].中学数学教学参考,2012(10)

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