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三角函数公式总结与推导--很全很实用


三角函数公式总结与推导

1. ① ? (0°≤ ? <360° 与 )终边相同的角的集合(角 ? 与角 ? 的终边重合) ? | ? ? k ? 360? ? ? , k ? Z :


?

?

② 终边在 x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? , k ? Z

?

? ? ? ?
4 cosx cosx 1

y
2 sinx 1 cosx cosx 4

3 sinx

③ 终边在 y 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? ? 90? , k ? Z ④ 终边在坐标轴上的角的集合: ? | ? ? k ? 90? , k ? Z

?

x

?

?

⑤ 终边在 y=x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? ? 45? , k ? Z

?

sinx 2

sinx 3

⑥ 终边在 y ? ?x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180 ? 45 , k ? Z
? ?

?

SIN\COS三角函数值大小关系图 1、 2、 3、 4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域

⑦ 若角 ? 与角 ? 的终边关于 x 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? ? ⑧ 若角 ? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? 180? ? ? ⑨ 若角 ? 与角 ? 的终边在一条直线上,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 180? k ? ? ⑩ ? 与角 ? 的终边互相垂直,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? ? ? 90? 角 2. 角度与弧度的互换关系:360° ? 180° ? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ =2 = 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式: 1rad= 180 °≈57.30°=57°18ˊ.
?

1°= ? ≈0.01745(rad)
180

3、弧长公式: l

?| ? | ?r .
cos ? ? x; r

扇形面积公式: s扇形 ?

4、三角函数:设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于原点的)一点 P(x,y)P 与原点的距离为 r, 则
sin ? ? y; r

1 1 lr ? |? | ? r 2 2 2

tan ? ?

y; x

cot? ?

x; y

sec ? ?

r r ;. csc ? ? . x y

y

5、三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余弦)
y y

a的 终边
P(x,y)

+ + o x - 正弦、余割

- + o - + x
余弦、正割

y

y P T
r

- + o x + 正切、余切
O

o
Ax

x

M

第 1 页 共 7 页

6、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT.
16. 几个重要结论 : (1)
y

(2)

y

|sinx|>|cosx|

7. 三角函数的定义域:

sinx>cosx
O x

|cosx|>|sinx| O

|cosx|>|sinx| x

cosx>sinx |sinx|>|cosx| ? (3) 若 o<x< ,则sinx<x<tanx 2

三角函数 f (x) ? sinx
f (x) ? cosx f (x) ? tanx f (x) ? cotx f (x) ? secx f (x) ? cscx

?x | x ? R? ?x | x ? R?
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

定义域

?x | x ? R且x ? k? , k ? Z ? ?x | x ? R且x ? k? , k ? Z ?

1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?
cos ? ? cot ? sin ?

8、同角三角函数的基本关系式: sin ? ? tan ?
cos ?

tan ? ? cot ? ? 1 csc ? ? sin ? ? 1
2 2
2 2

s ec ?co s ?1 ? ?

sin ? ? cos ? ? 1 sec ? ? tan ? ? 1 csc 2 ? ? cot2 ? ? 1

9、诱导公式:
把 k? ? ?的三角函数化为?的三角函数,概括为: 2

“奇变偶不变,符号看象限” 三角函数的公式: (一)基本关系
公式组一 sinx·cscx=1 cosx·secx=1 tanx·cotx=1 tanx= x=
sin x cos x cos x sin x

sin2x+cos2x=1 1+tan2 x =sec2x 1+cot2x=csc2x

公式组二 sin(2k? ? x) ? sin x cos(2k? ? x) ? cos x tan(2k? ? x) ? tan x cot(2k? ? x) ? cot x 公式组六 s i n (? x) ? s i n ? x c o s (? x) ? ? c o s ? x t a n (? x) ? ? t a n ? x c o ? (? x) ? ? c o x t t 公式组二

公式组三 s i n () ? ?s i n ?x x co s ()?co s ?x x t a n ()? ?t a n ?x x c o t ( ) ? ?c o x ?x t

公式组四 sin( ? x) ? ? sin x ? cos( ? x) ? ? cos x ? tan(? ? x) ? tan x cot( ? x) ? cot x ?

公式组五 s i n ? ? x) ? ? s i n 2( x c o s ? ? x) ? c o s 2( x t a n ? ? x) ? ? t a n 2( x c o t ? ? x) ? ? c o x 2( t

(二)角与角之间的互换 公式组一 cos( ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? ?

s i n ? ? 2s i n c o ? 2 ? s

第 2 页 共 7 页

cos( ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? ? sin( ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? ? sin( ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? ?

c o 2? ? c o 2 ? ? s i 2 ? ? 2 c o 2 ? ? 1 ? 1 ? 2 s i 2 ? s s n s n

t a n? ? 2

2t a n ?
2 1? t a n ?

sin ?? 2 cos

?

1? c o ? s 2 1 ? cos? 2

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

?
2

??

tan(? ? ? ) ?

tan

?
2

??

1 ? cos? sin? 1 ? cos? ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin?

公式组三
sin? ? 2 tan 1 ? tan

?
2
2

?
2

cos? ?

1 ? tan 2 1 ? tan 2

? ?
2 2

tan? ?

2 tan 1 ? tan

?
2

2

?
2

1 ?sin?? ? ? ? ? sin?? ? ? ?? 2 1 cos? sin ? ? ?sin?? ? ? ? ? sin?? ? ? ?? 2 1 cos? cos ? ? ?cos?? ? ? ? ? cos?? ? ? ?? 2 1 sin? sin ? ? ? ?cos?? ? ? ? ? cos?? ? ? ?? 2 ??? ??? sin? ? sin ? ? 2 sin cos 2 2 ??? ? ?? sin? ? sin ? ? 2 cos sin 2 2 ??? ? ?? cos? ? cos ? ? 2 cos cos 2 2 ??? ??? cos? ? cos ? ? ?2 sin sin 2 2 sin? cos ? ?

公式组四

公式组五

1 cos( ? ? ? ) ? sin ? 2 1 sin( ? ? ? ) ? cos ? 2 1 tan( ? ? ? ) ? cot ? 2 1 cos( ? ? ? ) ? ? sin ? 2 1 tan( ? ? ? ) ? ? cot ? 2 1 sin( ? ? ? ) ? cos ? 2

sin 15? ? cos75? ?

6? 2, sin 75? ? cos15? ? 4

6 ? 2 , tan15? ? cot 75? ? 2 ? 3 , tan75? ? cot15? ? 2 ? 3 . 4

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

y ? cot x

y ? A sin??x ? ? ?

(A、 ? >0) R

定义域 值域 周期性 奇偶性

R
[?1,?1]

R
[?1,?1]

?x | x ? R且x ? k? , k ? Z ?
R
?

R
?

?? A, A?
2?

2?

2?

奇函数

偶函数

奇函数

奇函数

? 当 ? ? 0, 非奇非偶 当 ? ? 0, 奇函数

第 3 页 共 7 页

[?

?
2

? 2k? ,

[?2k ? 1?? , ? ? ? ? ; ? ? ? k? , ? k? ? 2 2k? ] ? 2 ?

?k? , ?k ? 1?? ? 上为减函
数( k ? Z )

?
2

? 2k? ]

上为增函 数 ; 单调性
[

上为增函 数 [2k? , ?2k ? 1?? ] 上为减函 数 (k?Z )

上 为 增 函 数 (k?Z )

? ? 2k? ? ? ? ? 2k? ? ?

? ? 2 ( A), ? ? ? ? 1 ? ? ?? ? 2 (? A)? ? ? ? ??

?

?

2 3? ? 2k? ] 2

? 2k? ,

上为增函数; ? ? ? 2k? ? ? ?
2

上为减函 数 k?Z ) (

? ? ( A), ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 2k? ? 2 ? ? ? ? (? A)? ? ? ? ?

上 为 减 函 数 (k ?Z ) 注意:① y ? ? sin x 与 y ? sin x 的单调性正好相反; y ? ? cos x 与 y ? cos x 的单调性也同样相反.一般地,若 y ? f (x) 在 [a, b] 上递增(减) ,则 y ? ? f (x) 在 [a, b] 上递减(增).


②y ? sin x 与 y ? cos x 的周期是 ? .
? ③ y ? sin( x ? ? ) 或 y ? cos(?x ? ? ) ( ? ? 0 )的周期 T ?
y ? tan
2?

y

?

.
O

x

x 的周期为 2 ? ( ? T? ? T ? 2? ,如图,翻折无效). 2 ?

? ④ y ? sin( x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k? ?

?
2

( c s (k?Z ) ,对称中心( k? ,0 ) y ? o ;

?x ? ? ) 的对称轴方程是

x ? k? ( k ? Z ) ,对称中心( k? ? 1 ? ,0 ) ;
2

y ?a n t(

?x ? ? ) 的对称中心(
?
2

k? ,0 ). 2
(k ? Z ) .

y ? cos2x ??? ? y ? ? cos(?2x) ? ? cos2x ?
原点对称

tan ⑤ tan? · ? ? 1, ? ? ? ? k? ? 当

?
2

tan (k ? Z ) ; tan? · ? ? ?1, ? ? ? ? k? ?

⑥ y ? cos x 与 y ? sin? x ? ? ? 2k? ? 是同一函数,而 y ? (?x ? ? ) 是偶函数,则 ? ? 2 ? ?
1 y ? (?x ? ? ) ? sin(?x ? k? ? ? ) ? ? cos( ?x) . 2

⑦ 函数 y ? tan x 在 R 上为增函数.(× [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域, y ? tan x 为增 ) 函数,同样也是错误的]. ⑧ 定义域关于原点对称是 f (x) 具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点 对称(奇偶都要) ,二是满足奇偶性条件,偶函数: f (? x) ? f ( x) ,奇函数: f (? x) ? ? f ( x) ) 1 奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如: y ? tan x 是奇函数, y ? tan( x ? ? ) 是非奇非偶.(定义域不关于原点 3 对称) 奇函数特有性质:若 0 ? x 的定义域,则 f (x) 一定有 f (0) ? 0 .( 0 ? x 的定义域,则无此性质)

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⑨y ? sin x 不是周期函数; y ? sin x 为周期函数( T ? ? ) ; ; ; y ? cos x 是周期函数(如图) y ? cos x 为周期函数( T ? ? )

y



y

x

1/2 x

y=cos|x|图象

1 ,并非所有周期函数都有最小正周期,例如: y ? cos 2 x ? 的周期为 ? (如图) 2

y=|cos2x+1/2|图象

y ? f ( x) ? 5 ? f ( x ? k ), k ? R .

⑩ y ? a cos? ? b sin ? ? a 2 ?b 2 sin( ? ? ) ? cos? ? ? 11、三角函数图象的作法: 1) 、几何法:

b 有 a 2 ?b 2 ? y . a

2) 、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线) ,三点二线作图法(正、余切曲线). 3) 、利用图象变换作三角函数图象. 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等. 函数 y=Asin(ω x+φ)的振幅|A|,周期 T ? 2? ,频率 f ? 1 ? | ? | ,相位 ? x ? ? ; 初相 ? (即当 x=0
|? |
T 2?

时的相位)(当 A>0,ω >0 时以上公式可去绝对值符号) . , 由 y=sinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当 0<|A|<1)到原来 的|A|倍,得到 y=Asinx 的图象,叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换. (用 y/A 替换 y) 由 y=sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω |<1)或缩短(|ω |>1)到原来的 | 1 |
?

倍,得到 y=sinω x 的图象,叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换.(用ω x 替换 x) 由 y=sinx 的图象上所有的点向左(当 φ>0)或向右(当 φ<0)平行移动|φ|个单位,得到 y=sin (x+φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移.(用 x+φ 替换 x) 由 y=sinx 的图象上所有的点向上(当 b>0)或向下(当 b<0)平行移动|b|个单位,得到 y=sinx +b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移. (用 y+(-b)替换 y) 由 y=sinx 的图象利用图象变换作函数 y=Asin(ω x+φ) (A>0,ω >0) (x∈R)的图象,要特别注 意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延 x 轴量伸缩量的区别。 4、反三角函数: 函数 y=sinx, ? 记作 ? ? ? ? ? 的反函数叫做反正弦函数, ? ? ? x ? ?? 2 , ? ? 2 ?? ? ? y=arcsinx, 它的定义域是 [-1, , 1]值域是 ?-? , ? . ?
? ? 2 2? ?

函数 y=cosx, (x∈[0,π ] )的反应函数叫做反余弦函数,记作 y=arccosx,它的定义域是[-1,1] , 值域是[0,π ] . 函数 y=tanx, ? 值域是 ? ? ? , ? . ?
? ? ? 2 2?

? ? ? ? ? 的反函数叫做反正切函数,记作 ? x ? ? ? , ?? ? ? ? 2 2 ?? ?

y=arctanx,它的定义域是(-∞,+∞) ,

函数 y=ctgx, [x∈(0,π ) ]的反函数叫做反余切函数,记作 y=arcctgx,它的定义域是(-∞,+ ∞) ,值域是(0,π ) .

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II. 竞赛知识要点 一、反三角函数. 1. 反三角函数:? 反正弦函数 y ? arcsin x 是奇函数,故 arcsin(? x) ? ? arcsin x , x ? ?? 1,1?(一定要注明定 义域,若 x ? ?? ?,??? ,没有 x 与 y 一一对应,故 y ? sin x 无反函数) 注: sin(arcsinx) ? x , x ? ?? 1,1? , arcsin x ? ?? ? , ? ? . ? 2 2? ? ? ? 反余弦函数 y ? arccos x 非奇非偶,但有 arccos(? x) ? arccos(x) ? ? ? 2k? , x ? ?? 1,1? . 注:①cos(arccosx) ? x , x ? ?? 1,1? , arccosx ? ?0, ? ?. ②y ? cos x 是偶函数, y ? arccos x 非奇非偶,而 y ? sin x 和 y ? arcsin x 为奇函数. ? 反正切函数: y ? arctan x ,定义域 (??,??) ,值域( ?
arctan( x) ? ? arctanx , x ? (??,??) . ?

? ? , aa , ) y ?nr t c 2 2

x 是奇函数,

注: tan(arctan ) ? x , x ? (??,??) . x ? 反余切函数: y ? arc cot x ,定义域 (??,??) ,值域( ?

arc cot(? x) ? arc cot(x) ? ? ? 2k? , x ? (??,??) . 注:①cot(arc cot x) ? x , x ? (??,??) . 1 ② y ? arcsin x 与 y ? arcsin( ? x) 互为奇函数, y ? arctan x 同理为奇而 y ? arccos x 与 y ? arccot x 非奇非偶但满 足 arccos(? x) ? arccos x ? ? ? 2k? , x ? [?1,1]arccot x ? arccot(? x) ? ? ? 2k? , x ? [?1,1] .

? ? a t r c , , ) y ? c o x 是非奇非偶. 2 2

? 正弦、余弦、正切、余切函数的解集: 解集 a 的取值范围 ①sin x ? a 的解集
a

a 的取值范围

解集
?

②c o s ? a 的解集 x
?
a

>1 =1 <1

>1

a

?x | x ? 2k? ? arcsina, k ? Z ?

a

=1

?x | x ? 2k? ? arccos a, k ? Z ?
?x | x ? k? ? arccosa, k ? Z ?

a

?x | x ? k? ? ??1?

k

arcsina, k ? Z

?

a

<1

③tan x ? a 的解集: ?x | x ? k? ? arctan a, k ? Z ? 二、三角恒等式. sin 2 n ?1? 组一 cos? cos 2? cos 4? ... cos 2 n ? ? n ?1 2 sin? 组二

③c o x ? a 的解集: ?x | x ? k? ? arc c o a, k ? Z ? t t
sin3? ? 3 sin? ? 4 sin3 ? cos3? ? 4 cos3 ? ? 3 cos?

sin2 ? ? sin2 ? ? sin?? ? ? ? sin?? ? ? ? ? cos2 ? ? cos2 ?

? cos 2
k ?1

n

?
k

? cos

?
2

cos

?
4

cos

?
8

? cos

?
2n

?

sin? 2 sin
n

?
2n

? cos(x ? kd ) ? cos x ? cos(x ? d ) ? ? ? cos(x ? nd) ?
k ?0

n

sin((n ? 1)d ) cos(x ? nd ) sin d

? sin(x ? kd ) ? sin x ? sin(x ? d ) ? ? ? sin(x ? nd) ?
k ?0

n

sin((n ? 1)d ) sin(x ? nd ) sin d
第 6 页 共 7 页

tan( ? ? ? ? ) ? ?

tan? ? tan ? ? tan ? ? tan? tan ? tan ? 1 ? tan? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? tan?

组三 三角函数不等式
sin x < x < tan x, x ? (0,

?
2

)

f ( x) ?

sin x 在 (0, ? ) 上是减函数 x

若 A ? B ? C ? ? ,则 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 yz cos A ? 2 xz cos B ? 2 xy cos C

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