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第8讲 曲线与方程


第8讲
一、选择题

曲线与方程
2

x 1.已知两定点 A(1,1),B(-1,-1),动点 P 满足→ PA·→ PB= ,则点 P 的轨迹是 2
( A.圆 C.双曲线 解析 ) B.椭圆 D.拋物线

设点 P(x,y),则→ PA=(1-x,1-y),→ PB=(-1-x,-1

-y),

所以→ PA·→ PB=(1-x)(-1-x)+(1-y)(-1-y)=x2+y2-2. 由已知 x2+y2-2= ,即 + =1,所以点 P 的轨迹为椭圆. 2 4 2 答案 B

x2

x2 y2

1 ?1 ? 2.已知点 F? ,0?,直线 l:x=- ,点 B 是 l 上的动点.若过 B 垂直于 y 轴的 4 ?4 ? 直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M,则点 M 的轨迹是( A.双曲线 解析 B.椭圆 C.圆 ). D.抛物线

由已知:|MF|=|MB|.由抛物线定义知,点 M 的轨迹是以 F 为焦点,l

为准线的抛物线,故选 D. 答案 D

3. 设圆(x+1)2+y2=25 的圆心为 C, A(1,0)是圆内一定点, Q 为圆周上任一点. 线 段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M,则 M 的轨迹方程为 ( 4x2 4y2 A. 21 - 25 =1 4x2 4y2 C. 25 - 21 =1 4x2 4y2 B. 21 + 25 =1 4x2 4y2 D. 25 + 21 =1 ).

解析 M 为 AQ 垂直平分线上一点,则|AM|=|MQ|,∴ |MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5, 故 M 的轨迹为椭圆, 5 21 ∴a=2,c=1,则 b2=a2-c2= 4 ,

4x2 4y2 ∴椭圆的标准方程为 25 + 21 =1. 答案 D 4.已知点 P 是直线 2x-y+3=0 上的一个动点,定点 M(-1,2),Q 是线段 PM 延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则 Q 点的轨迹方程是( A.2x+y+1=0 C.2x-y-1=0 B.2x-y-5=0 D.2x-y+5=0 ).

解析 由题意知,M 为 PQ 中点,设 Q(x,y),则 P 为(-2-x,4-y),代入 2x-y+3=0,得 2x-y+5=0. 答案 D 5.已知二面角 α -l-β 的平面角为 θ ,点 P 在二面角内,PA⊥α ,PB⊥β ,

A,B 为垂足,且 PA=4,PB=5,设 A,B 到棱 l 的距离分别为 x,y,当 θ
变化时,点(x,y)的轨迹方程是( A.x2-y2=9(x≥0) B.x2-y2=9(x≥0,y≥0) C.y2-x2=9(y≥0) D.y -x =9(x≥0,y≥0) 解析 实际上就是求 x,y 所满足的一个等式,设平面 PAB 与二面角的棱的交
2 2

)

点是 C,则 AC=x,BC=y,在两个直角三角形 Rt△PAC,Rt△PBC 中其斜边相 等,根据勾股定理即可得到 x,y 所满足的关系式.如图,x +4 =y +5 , 即 x2-y2=9(x≥0,y≥0).
2 2 2 2

答案

B

6.在平行四边形 ABCD 中,∠BAD=60° ,AD=2AB,若 P 是平面 ABCD 内一 → +yAD → +PA → =0(x,y∈R).则当点 P 在以 A 为圆心, 3|BD → 点,且满足:xAB 3 |为半径的圆上时,实数 x,y 应满足关系式为 A.4x2+y2+2xy=1 B.4x2+y2-2xy=1 ( ).

C.x2+4y2-2xy=1

D.x2+4y2+2xy=1

解析 如图,以 A 为原点建立平面直角坐标系,设 AD= 2.据题意,得 AB=1,∠ABD=90° ,BD= 3.∴B、D 的 → =(1,0), → =(1, 3). 坐标分别为(1,0)、 (1, 3), ∴AB AD 设 → =(m,n),则由 xAB → +yAD →+ 点 P 的坐标为(m,n),即AP m=x+y, → =0,得:AP → =xAB → +yAD → ,∴? ? PA ?n= 3y. 据题意,m2+n2=1,∴x2+4y2+2xy=1. 答案 D 二、填空题 7.已知圆的方程为 x +y =4,若抛物线过点 A(-1,0)、B(1,0)且以圆的切线为 准线,则抛物线的焦点轨迹方程是____________. 解析 设抛物线焦点为 F,过 A、B、O 作准线的垂线 AA1、BB1、OO1,则|AA1| +|BB1|=2|OO1|=4,由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,∴|FA|+ |FB|=4,故 F 点的轨迹是以 A、B 为焦点,长轴长为 4 的椭圆(去掉长轴两端 点). 答案
2 2

x2 y2
4

+ =1(y≠0) 3

8. 如图,点 F(a,0)(a>0),点 P 在 y 轴上运动,M 在 x 轴 →· → =0,PM → +PN → =0,则点 上运动,N 为动点,且PM PF N 的轨迹方程为________. 解析 由题意,知 PM⊥PF 且 P 为线段 MN 的中点, 连接 FN,延长 FP 至点 Q 使 P 恰为 QF 之中点;连接 QM,QN,则四边形 FNQM 为菱形,且点 Q 恒在直线 l:x=-a 上,故点 N 的轨迹是以点 F 为焦点,直线 l 为准线的抛物线,其方程为:y2=4ax. 答案 y2=4ax 9.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 在 1 AB 上,且 AM=3AB,点 P 在平面 ABCD 上,且动点 P

到直线 A1D1 的距离的平方与 P 到点 M 的距离的平方差为 1,在平面直角坐 标系 xAy 中,动点 P 的轨迹方程是________. 解析 过 P 作 PQ⊥AD 于 Q, 再过 Q 作 QH⊥A1D1 于 H, 连接 PH、 PM, 可证 PH⊥A1D1, 设 P(x, y), 由|PH|2-|PM|2 2 1 ?? 1? ? =1,得 x2+1-??x-3?2+y2?=1,化简得 y2=3x-9. ?? ? ? 2 1 答案 y2=3x-9 10. 曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于常数 a2(a>1) 的点的轨迹,给出下列三个结论: ①曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于坐标原点对称; 1 ③若点 P 在曲线 C 上,则△F1PF2 的面积不大于 a2. 2 其中,所有正确结论的序号是________. 解析 ①曲线 C 经过原点,这点不难验证是错误的,如果经过原点,那么 a

=1,与条件不符;②曲线 C 关于原点对称,这点显然正确,如果在某点处 |PF1||PF2|=a2,关于原点的对称点处也一定符合|PF1||PF2|=a2;③三角形的 面积 S△F1F2P2≤ ,很显然 2 1 1 a S△F1F2P= |PF1||PF2|sin∠F1PF2≤ |PF1||PF2|= .所以②③正确. 2 2 2 答案 ②③ 三、解答题 11.如图,已知 F(1,0),直线 l:x=-1,P 为平面上的动点, 过点 P 作 l 的垂线,垂足为点 Q,且 QP · QF = FP · FQ . 求动点 P 的轨迹 C 的方程. 解 法一:设点 P(x,y),则 Q(-1,y),
2

a2

由 QP · QF = FP · FQ , 得(x+1,0)·(2, -y)=(x-1,

y)·(-2,y),化简得 C:y2=4x.
法二:由 QP · QF = FP · FQ ,

得 FQ ·( PQ + PF )=0,∴( PQ - PF )·( PQ + PF )=0, ∴ PQ 2- PF 2=0.∴| PQ |=| PF |. ∴点 P 的轨迹 C 是抛物线,由题意,轨迹 C 的方程为 y2=4x. y2 12.设椭圆方程为 x2+ 4 =1,过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,O 为坐 1 1? → =1(OA → +OB → ),点 N 的坐标为? ?2,2?,当直线 l 绕点 M 标原点,点 P 满足OP 2 ? ? 旋转时,求: (1)动点 P 的轨迹方程; → |的最大值,最小值. (2)|NP 解 (1)直线 l 过定点 M(0,1),当其斜率存在时设为 k,则 l 的方程为 y=kx+ 1. y=kx+1, ? ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知,A、B 的坐标满足方程组? 2 y2 x + 4 =1. ? ? 去 y 得(4+k2)x2+2kx-3=0. 则 Δ=4k2+12(4+k2)>0. -3 2k ∴x1+x2=- . 2,x1x2= 4+k 4+k2 P(x,y)是 AB 的中点, -k 1 ? ?x=2?x1+x2?=4+k2, 则由? 1 1 4 y=2?y1+y2?=2?kx1+1+kx2+1?= ; ? 4+k2 ? 消去 k 得 4x2+y2-y=0. 当斜率 k 不存在时,AB 的中点是坐标原点,也满足这个方程,故 P 点的轨迹 方程为 4x2+y2-y=0. 1 1 ? 1? 1 (2)由(1)知 4x2+?y-2?2=4,∴-4≤x≤4 ? ?
2 ? 1?2 ? 1?2 ? 1?2 1-16x 而|NP| =?x-2? +?y-2? =?x-2? + 4 ? ? ? ? ? ? 2



7 ? 1? =-3?x+6?2+12, ? ?

1 21 → ∴当 x=-6时,|NP|取得最大值 6 , 1 → |取得最小值1. 当 x=4时,|NP 4 x2 y2 13. 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 E: a2+b2=1(a>0, ? 6 ? b>0)经过点 A? , 2?,且点 F(0,-1)为其一个 ?2 ? 焦点. (1)求椭圆 E 的方程; (2)设随圆 E 与 y 轴的两个交点为 A1,A2,不在 y 轴 上的动点 P 在直线 y=b2 上运动,直线 PA1,PA2 分 别与椭圆 E 交于点 M,N,证明:直线 MN 通过一个定点,且△FMN 的周长 为定值. 3 2 ? ? 2+ 2=1, 解 (1)根据题意可得?2a b ? ?b2-a2=1, x2 y2 ∴椭圆 E 的方程为 3 + 4 =1. (2)由(1)知 A1(0,2),A2(0,-2),P(x0,4)为直线 y=4 上一点(x0≠0),M(x1, 2 6 y1),N(x2,y2),直线 PA1 方程为 y=x x+2,直线 PA2 方程为 y=x x-2,点 0 0 x2 y2 ? ? 3 + 4 =1, -6x0 ? x 2, 1= ? 3+x0 可得? 2x2 0-6 y1= . ? ? 3+x2 0
2 2

?a= 3, 可解得? ?b=2,

M(x1,y1),A1(0,2)的坐标满足方程组?

? ?y=x0x+2,

2



x y ? ? 3 + 4 =1, N(x2 , y2) , A2(0 , - 2) 的 坐 标 满 足 方 程 组 ? 6 ? ?y=x0x-2,

可得

18x0 ? x2= , ? 27+x2 0 ? -2x2 0+54 y2= . ? 27+x2 ? 0

由于椭圆关于 y 轴对称,当动点 P 在直线 y=4 上运动时,

4 直线 MN 通过的定点必在 y 轴上,当 x0=1 时,直线 MN 的方程为 y+1=3 ? 3? ?x+2?,令 x=0,得 y=1 可猜测定点的坐标为(0,1),并记这个定点为 B.则直 ? ? 2x2 0-6 2 -1 y1-1 3+x0 9-x2 y2-1 0 线 BM 的斜率 kBM= x = = 6x ,直线 BN 的斜率 kBN= x = -6x0 1 0 2 2 3+x0 -2x2 0+54 -1 27+x2 9-x2 0 0 = 18x0 6x0 ,∴kBM=kBN,即 M,B,N 三点共线,故直线 MN 通过 27+x2 0 一个定点 B(0,1), 又∵F(0,-1),B(0,1)是椭圆 E 的焦点, ∴△FMN 周长为|FM|+|MB|+|BN|+|NF|=4b=8,为定值. 14.已知向量 a=(x, 3y),b=(1,0),且(a+ 3b)⊥(a- 3b). (1)求点 Q(x,y)的轨迹 C 的方程; (2)设曲线 C 与直线 y=kx+m 相交于不同的两点 M、N,又点 A(0,-1),当 |AM|=|AN|时,求实数 m 的取值范围. 解 (1)由题意得 a+ 3b=(x+ 3, 3y),a- 3b=(x- 3, 3y),∵(a+ 3 b)⊥(a- 3b),∴(a+ 3b)· (a- 3b)=0, 即(x+ 3)(x- 3)+ 3y· 3y=0. x2 x2 化简得 3 +y2=1,∴Q 点的轨迹 C 的方程为 3 +y2=1. y=kx+m, ? ? (2)由?x2 2 +y =1 ? ?3 得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0,

由于直线与椭圆有两个不同的交点, ∴Δ>0,即 m2<3k2+1. ①

(i)当 k≠0 时,设弦 MN 的中点为 P(xP,yP),xM、xN 分别为点 M、N 的横坐标, 则 xP= xM+xN 3mk =- , 2 3k2+1 yP+1 m+3k2+1 m , k = =- xP 3mk , 3k2+1 AP

从而 yP=kxP+m=

又|AM|=|AN|,∴AP⊥MN. m+3k2+1 1 则- 3mk =-k ,即 2m=3k2+1, 将②代入①得 2m>m2,解得 0<m<2, 由②得 k2= 2m-1 1 3 >0,解得 m>2, ②

?1 ? 故所求的 m 的取值范围是?2,2?. ? ? (ii)当 k=0 时,|AM|=|AN|, ∴AP⊥MN,m2<3k2+1,解得-1<m<1. ?1 ? 综上,当 k≠0 时,m 的取值范围是?2,2?, ? ? 当 k=0 时,m 的取值范围是(-1,1).


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