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山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中2013届高三第三次四校联考数学试题(文科)


山 西 省 临 汾 一 中 、 忻 州 一 中 、 康 杰 中 学 、 长 治 二 中 2013 届 高 三 第 三 次 四 校 联 考

数学试题(文科)
命题:临汾一中 忻州一中 康杰中学 (考试时间 120 分钟 长治二中 满分 150 分)

第Ⅰ卷(选择题 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题

5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
2 1. 集合 P ? {x ? Z 0 ? x ? 2}, M ? {x ? Z x ? 4}, 则 P ? M 等于

A. {1}

B. {0,1}

C. [0,2)

D. [0,2]

2. i 是虚数单位, ( A. i

1? i 2 ) 等于 1? i
C.1 D. -1

B. ? i

3. 已知等比数列 {an } 中有 a3 a11 ? 4a7 ,数列 {bn } 是等差数列,且 a7 ? b7 ,则

b5 ? b9 ?

A.2

B.4

C.8

D. 16

4. 下列说法错误的是 A.在统计学中,独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法。

? ? ? B.线性回归方程对应的直线 y ? bx ? a 至少经过其样本数据点 ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ),
( x3 , y 3, ) … ( xn , y n ) 中的一个点。

C.在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高。 D.在回归分析中,相关指数 R 为 0.98 的模型比相关指数 R 为 0.80 的模型拟合 的效果好。 5. 某程序的框图如图所示,执行该程序,若输入的 p 为 24,则 输出的 n, S 的值分别为 A. n ? 4, S ? 30 C. n ? 4, S ? 45 B. n ? 5, S ? 30 D. n ? 5, S ? 45
开始 输入 p
2 2

n ? 1,S ? 0
S?p
是 否

x2 y2 6. 已知双曲线C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2,若抛物线 a b
C2 : x 2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛

S = S + 3n n ? n ?1

输出 n ,S 结束

物线的方程为
2 2 A. x 2 ? 8 3 y B. x 2 ? 16 3 y C. x ? 8 y D. x ? 16y 3 3 ? 7. 等腰三角形 ABC 中, AB ? AC ? 5, ?B ? 30 , P为BC 边中线上任意一点,

则 CP ? BC 的值为 A. ?

75 2

B. ?

25 2

C.5

D.

75 2

1

8. 一个几何体的三视图如右图所示,且其侧视图是一个等边三角 形, 则这个几何体的体积为

A.

?4 ? ? ?
3

3

B. ?4 ? ? ? 3 C.

?8 ? ? ?
2

3

D.

?8 ? ? ?
6

3

9. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的部分图象如
2

y

图所示.若函数 y ? f ( x) 在区间 [m, n] 上的值域为
O

6

2

x

[? 2, 2] , 则 n ? m 的最小值是
A.4 B.3 C.2 D.1

-2
22 (第 9 题)

2

10.已知函数 y ? g (x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, g ( x) ? log2 x ,函数 f ( x) ? 4 ? x 2 , 则函数

f ( x) ? g ( x) 的大致图象为

o

11.已知函数 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? 2bx ? c(a, b, c ? R) 在区间 (0,1) 内取得极大值 3 2

2 2 在区间 (1,2) 内取得极小值,则 ( a ? 3) ? b 的取值范围为

A. (

2 ,2) 2

B. ( ,4)

1 2

C. (1,2)

D. (1,4)

12. 我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知
? F1 , F2 是一对相关曲线的焦点, P 是它们在第一象限的交点,当 ?F PF2 ? 60 时, 1

这一对相关曲线中双曲线的离心率是 A.

2 3 3

B. 2

C. 3

D. 2

第Ⅱ卷(非选择题 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 ? 分,把正确答案填在题中横线上) 20 ? ? 13. 已知向量 a ? (1, x) , b ? (?1, x) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 b ? 14. 若函数 f ( x) ? ?

?1og 2 x, x ? 0
x ??2 ? 1, x ? 0

,则函数 f ( x ) 的零点为

15. 在区间 ?2,5? 和 ?2,4? 分别取一个数,记为 a,b, 则方程 的概率为

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 表示焦点在 x 轴上的椭圆 a2 b2

2

16. 已知数列 {an } 中 a1 ? 1, a2 ? 2 , 数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 当整数 n ? 1 时, n?1 ? S n?1 ? 2(S n ? S1 ) S 都成立,则数列 ?

?

1 ? ? 的前 n 项和为 ? a n a n ?1 ?

三、解答题:(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应给出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 cos x sin( x ? (1)求函数 f (x) 的最小值和最小正周期; ( 2 ) 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c 且 c ?

?
6

)?

1 2

3 , 角 C 满足

f (C ) ? 0 , 若

sin B ? 2 sin A ,求 a, b 的值.
18. (本小题满分 12 分)2013 年春节期间,高速公路车辆较多。某调查公司在太原从七座以下小型汽车中 按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查, 将他们在某段高 分布直方图. (1)某调查公司在采样中,用到的是什么抽样方法? (2)求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值. (3)若从车速在 [60,70) 的车辆中任抽取 2 辆,求车速 在 [65,70) 的车辆至少有一辆的概率. 19. (本小题满分 12 分)如图,菱形 ABCD 的边长为 6, 速公路的车速( km / h )分成六段: ?60,65?, ?65,70?, ?70,75?, ?75,80?, ?80,85?, ?85,90? 后得到如图的频率

?BAD ? 60? , AC ? BD ? O . 将 菱 形 角线 AC 折起,得到三棱锥 ,点 M 是棱 DM ? 3 2 . 面 面 (1)求证: 平 ABC ? 平 MDO ; (2)求三棱锥 M ? ABD 的体积.
20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的焦点为 F (?1,0), F2 (1,0) ,点 P ( ?1, 1 (1)求椭圆 C 的方程;

ABCD 沿对 BC 的中点,

2 ) 在椭圆 C 上. 2

(2)若抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )与椭圆 C 相交于点 M 、 N ,当 ?OMN ( O 是坐标原点)的面积
2

取得最大值时,求 p 的值. 21. (本小题满分 12 分)已知

f ( x) ? ax2 ? 2 ln x , x ? (0 , e] , 其中 e 是自然对数的底 .

(1)若 f (x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (2)求 f (x ) 的单调区间; (3)设 a ?

1 x , g ( x) ? ?5 ? ln ,存在 x1 , x2 ? (0 , e] ,使得 | f ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 9 成立,求 a 的取值范围. 2 a e

选做题:请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清 题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲
3

已知 PA 与圆 O 相切于点 A ,经过点 O 的割线

PBC 交圆 O 于点 B、C , ?APC 的平分线
分别交 AB、AC 于点 D、E . (1)证明: ?ADE ? ?AED ; (2)若 AC ? AP ,求

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为 极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)试分 别将曲 线 C1 的 极坐 标方 程 ? ? sin ? ? cos? 和 曲线 C2 的 参数方 程 ? 数)化为直角坐标方程和普通方程; (2)若红蚂蚁和黑蚂蚁分别在曲线 C1 和曲线 C2 上爬行,求红蚂蚁和黑蚂蚁之间的最大距离(视蚂蚁为 点) . 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? a | (a ? R) (1)当 a ? 4 时,求不等式 f ( x) ? 5 的解集; (2)若 f ( x) ? 4 对 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围.

PC 的值. PA

? x ? sin t ? cos t ( t 为参 ? y ? sin t ? cos t

2013 届高三数学(文)答案
一、选择题: 题 号 选 项 1 B 2 D 3 C 4 B 5 B 6 D 7 A 8 D 9 B 10 D 11 A 12 C

二、填空题 13. 2 三、解答题: 17.解(1)原式可化为: f ( x) ? 14. 0,1 15.

2 3

16.

3n ? 1 4n

3 1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1,……3 分 2 2 2 6
最小正周期是 T ?

? f ( x) 的最小值是 ?2 ,
2 (2)由 f ( C )? s i n (C? ? 0 ? C ? ? ??

?
6

2 ? ) ?1,得 s i n (C ? 0

?
6

2? ? ? ;……5 分 2 ?) ,1

?
6

? 2C ?

?
6

?

? ? ? 11? , ? 2C ? ? , C ? , 6 2 3 6

? s i n ? 2 s An B i ,由正弦定理得 b ? 2a ………①,
2 2 2 2 2 2 b 又由余弦定理,得 c ? a ? b ? a c o s ,即 a ? b ? ab ? 3 ……………②,

?

3

4

联立①、②解得 a ? 1, b ? 2 . 18 解: (1)系统抽样 2分

……12 分

(2)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 77.5

4分

设图中虚线所对应的车速为 x ,则中位数的估计值为:

0.01? 5 ? 0.02 ? 5 ? 0.04 ? 5 ? 0.06 ? ( x ? 75) ? 0.5 ,解得 x ? 77.5 即中位数的估计值为 77.5 ……6 分 (3)从图中可知,车速在 [60,65) 的车辆数为: m1 ? 0.01? 5 ? 40 ? 2 (辆) , 车速在 [65,70) 的车辆数为: m2 ? 0.02 ? 5 ? 40 ? 4 (辆) 设 车 速 在 [60,65) 的 车 辆 设为 a , b , 车 速 在 [65,70) 的 车 辆 设 为 c, d , e, f , 则 所 有 基 本事 件 有 :
共 15 种

(a, b), (a, c), (a, d ), (a, e), ( a, f ) (b, c), (b, d ), (b, e), (b, f ) (c, d ), (c, e), (c, f ) (d , e), (d , f ) (e, f )

其中车速在 [65,70) 的车辆至少有一辆的事件有:

(a, c), (a, d ), (a, e), (a, f ), (b, c), (b, d ), (b, e), (b, f ) 共 14 种 (c, d ), (c, e), (c, f ), (d , e), (d , f ), (e, f )
P? 14 . 15
……12 分

所以,车速在 [65,70) 的车辆至少有一辆的概率为

19.(1) 证明:由题意, OM ? OD ? 3 , B 因为 DM ? 3 2 ,所以 ?DOM ? 90 , OD ? OM .…3 分
?

M O C

又因为菱形 ABCD ,所以 OD ? AC . 因为 OM ? AC ? O ,所以 OD ? 平面 ABC ,

A

因为 OD ? 平面 MDO ,所以平面 ABC ? 平面 MDO . (2)解:三棱锥 M ? ABD 的体积等于三棱锥 D ? ABM 的体积.

D ……………6 分

5

由(1)知, OD ? 平面 ABC , 所以 OD ? 3 为三棱锥 D ? ABM 的高.

?ABM 的面积为

1 1 3 9 3 , BA ? BM ? sin120? ? ? 6 ? 3 ? ? 2 2 2 2

1 9 3 ? S?ABM ? OD ? 2 . 所求体积等于 3
20.解:⑴依题意,设椭圆 C 的方程为

……………12 分

x2 y2 ? ? 1, a2 b2 2a ?| PF1 | ? | PF2 | ……2 分, ? 2 2 ,所以 a ? 2 ,
x2 ? y 2 ? 1 ……5 分 2 ⑵根据椭圆和抛物线的对称性,设 M ( x0 , y0 ) 、 N ( x0 , ? y0 ) ( x0 , y0 ? 0 ) , 1 ?OMN 的面积 S ? x0 ? (2 y 0 ) ? x0 y 0 , 2
c ? 1 ,所以 b ? a 2 ? c 2 ? 1 ……4 分,椭圆 C 的方程为

M ( x0 , y0 ) 在 椭 圆 上 ,

x x x0 2 2 2 ? y 0 ? 1 , 所 以 1 ? 0 ? y 0 ? 2 0 ? y 0 ? 2 x0 y 0 , 当 且 仅 当 2 2 2 x0 ? y 0 时,等号成立……9 分, 2

2

2

2

? x0 2 2 ? x0 ? 1 ? y0 ? 1 ? ? ? 2 解? ( x0 , y0 ? 0 )得 ? 2 ? y0 ? ? x0 ? y 0 2 ? ? 2 ?
2 ) 在抛物线 y 2 ? 2 px 上, 2 1 2 2 所以 ( ) ? 2 p ? 1 ,解得 p ? ……12 分. 4 2

M ( x0 , y0 ) 即 M (1 ,

2 2ax2 ? 2 21.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 2ax ? ? . x x

由已知 f ?(1) ? 2a ? 2 ? 0 , 解得 a ? 1 . ………… 4 分

经检验, a ? 1 符合题意.
2 2ax2 ? 2 (Ⅱ) f ?( x) ? 2ax ? ? . x x

1) 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , ? f ( x) 在 (0 , e] 上是减函数.
2a ( x ? a a ) (x ? ) a a . x

2)当 a ? 0 时, f ?( x) ? ① 若

a a a 1 ? e ,即 a ? 2 , 则 f ( x) 在 (0 , ) 上是减函数,在 ( , e] 上是增函数; a a a e

6

② 若

a 1 ? e ,即 0 ? a ? 2 ,则 f ( x) 在 (0 , e] 上是减函数. a e

综上所述,当 a ? 当a? (Ⅲ)当 a ?

1 时, f ( x) 的减区间是 (0 , e] , e2
a a 1 ) ,增区间是 ( , e] . ………8 分 时, f ( x) 的减区间是 (0 , 2 a a e

a 1 时,由(Ⅱ)知 f ( x) 的最小值是 f ( ) ? 1 ? ln a ; 2 a e

易知 g ( x) 在 (0 , e] 上的最大值是 g (e) ? ?4 ? ln a ; 注意到 (1 ? ln a) ? (?4 ? ln a) ? 5 ? 2ln a ? 0 , 故由题设知 ?
?(1 ? ln a) ? (?4 ? ln a) ? 9 , 1 ? 解得 2 ? a ? e2 . 1 e ?a ? e 2 . ?

故 a 的取值范围是 (

1 , e2 ) .… 12 分 e2

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 (1)∵ PA 是切线,AB 是弦,∴ ∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APD=∠CPE,∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE, ∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD,∠AED=∠C+∠CPE, ∴ ∠ADE=∠AED。 (2)由(1)知∠BAP=∠C,又 ∵ ∠APC=∠BPA, ∴ △APC∽△BPA, ∴

PC CA ? , PA AB

∵ AC=AP, ∴ ∠APC=∠C=∠BAP,由三角形内角和定理可知,∠APC+∠C+∠CAP=180°, ∵ BC 是圆 O 的直径,∴ ∠BAC=90°, ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,

1 ×90°=30°。 3 CA PC CA ? 在 Rt△ABC 中, = 3, ∴ = 3。 AB PA AB
∴ ∠C=∠APC=∠BAP= 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程 解: (1)曲线 Cl: x ? y ? x ? y ? 0
2 2

曲线 C2: x ? y ? 2
2 2

……5 分

(2)曲线 Cl 与曲线 C2 内切时最大距离为 2 2 24.解::(Ⅰ) x ? 1 ? x ? 4 ? 5 等价于

…10 分

?x ? 1 ?1 ? x ? 4 或? ? ??2 x ? 5 ? 5 ?3 ? 5
解得: x ? 0 或 x ? 5 .

或?

?x ? 4 , ?2 x ? 5 ? 5
……5 分

故不等式 f ( x) ? 5 的解集为 {x x ? 0 或 x ? 5} .

(Ⅱ)因为: f ( x) ? x ?1 ? x ? a ? ( x ?1) ? ( x ? a) ? a ?1 (当 x ? 1 时等号成立) 所以 f ( x)min ? a ?1 …8 分.

7

由题意得: a ? 1 ? 4 , 解得 a ? ?3 或 a ? 5 。…10 分

8


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