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高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.3.4平面向量的基本定理及坐标表示》导学案


§2.3.4 平面向量共线的坐标表示
学习目标
1、在理解向量共线的概念的基础上,学习用坐标表示向量共线的条件。 2、利用向量共线的坐标表示解决有关问题。

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P98—P100) 复习:

??? ? ⑴若点 A 、 B 的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? 那么向量 AB 的坐标为 ? ? ? ? ? ? ⑵若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ,a ?b ?

? , ?a ?

.

二、新课导学 ※ 探索新知 探究:平面向量共线的坐标表示
问题 1:两向量平行(共线)的条件是什么? ? ? ? ? 若 a, b ( b ? 0 )共线,当且仅当存在实数 ? ,使



? ? ? ? 问题 2: 假设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ?( b ? 0 ) 用坐标该如何表示这两个向量共线呢? , ? ? ? ? ? ? 2、设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,其中 b ? 0 ,则 a // b 等价于______________________。

※ 典型例题

? ? ? 例 1、已知 a ? ?4,?2? , b ? ? 6, y ? ,且 a // b ,求 y .

变式:判断下列向量 a 与 b 是否共线 ① a ? (2,3) b ? (3, 4)

?

?

?

?

② a ? (2,3) b ? ( , 4)

?

?

8 3

??? ? ??? ? ???? 例 2、向量 OA ? ? k ,12 ? , OB ? ? 4,5? , OC ? ?10, k ? ,
当 k 为何值时, A, B, C 三点共线.

变式:证明下列各组点共线: (1) A(1, 2),、 (?3, ?4)、C (2, ) B (2) P(9,1) 、 Q(1, ?3)、R(8, )

7 2

1 2

例 3、设点 P 是线段 PP2 上的一点, P , P2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? . 1 1 ⑴当点 P 是线段 PP2 的中点时,求点 P 的坐标; 1 ⑵当点 P 是线段 PP2 的一个三等分点时,求点 P 的坐标. 1

??? ? ???? *变式: 当 P P ? ? PP2 ,点 P 的坐标是什么? 1

三、小结反思 1.熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式; 2.会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行; 3.明白判断两直线平行与两向量平行的异同。

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:

1 已知 A(?2, ?3), B(2,1),C(1, 4),D(?7, ?4) 判断 AB 与 CD 是否共线?

??? ?

??? ?

? ? ? ? ? ? 2、已知 a ? ? 2, ?1? , b ? ? x,2 ?, c ? ? ?3, y ? ,且 a // b // c ,求 x, y 的值.

? ? 3、平面内给定三个向量 a =(3,2), b =(-1,2), c =(4,1),求: ? ? (1)求 3 a + b -2 c ; ? ? (2)求满足 a =m b +n c 的实数 m,n; ? ? ? (3)若( a +k c ) / / (2 b - a ),求实数 k.

? ? ? ? ? ? 1. 已知 a ? ?1,2 ? , b ? ? x,1? ,若 a ? 2b 与 2a ? b 平行,则 x 的值为

课后作业

.

→ → → 2、已知 O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三点,动点 P 满足OP=OA+λ(AB → +AC),λ∈[0,+∞),则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( A.外心 B.垂心 C.内心 D.重心 )

3、已知四点 A(x,0)、B(2x,1)、C(2,x)、D(6,2x). → → (1)求实数 x,使两向量AB、CD共线. → → (2)当两向量AB与CD共线时,A、B、C、D 四点是否在同一条直线上?


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