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2015年浙江省宁波市镇海中学高考数学一模试卷(理科)


2015 年浙江省宁波市镇海中学高考数学一模试卷 (理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.请将你认 为正确的选项答在指定的位置上. ) 1. (5 分) (2012 台州模拟) 已知集合 A={x|x<a}, B={x|1<x<2}, 且 A∪ (?RB) =R, 则实数 a 的取值范围是 (

A.a≤1 B.a<1 C.a≥2 D.a>2 )

2. (5 分)函数 A.(0,3) B.[0,3]

的值域为(

) D.[0,+∞)

C.(﹣∞,3]

3. (5 分) (2008?上海)f(x) ,g(x)是定义在 R 上的函数,h(x)=f(x)+g(x) ,则“f(x) ,g(x)均为偶函 数”是“h(x)为偶函数”的( ) A.充要条件 B. 充分而不必要的条件 C. 必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件 4. (5 分)如图所示程序框图中,如果输入三个实数 a、b、c,要求输出这三个数中最小的数,那么在空白的判断 框中,应该填入下面四个选项中的( )

A.c<x

B.x<c

C.c<b

D.b<c

5. (5 分)若实数 x,y 满足

则 z=x﹣2y 的最小值是(



A .0

B.



C.﹣2

D.﹣3

6. (5 分)在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干,要搬运这些箱子很困难,可是仓库管理员要清点一下箱子的数 量,于是就想出一个办法:将这堆货物的三视图画了出来,你能根据三视图,帮他清点一下箱子的数量吗?这些正 方体货箱的个数为( )

A .6

B.7

C .8

D.9

7. (5 分) (2007?四川)设 A(a,1) ,B(2,b) ,C(4,5)为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若 向上的投影相同,则 a 与 b 满足的关系式为( A.4a﹣5b=3 B.5a﹣4b=3 ) C.4a+5b=14 D.5a+4b=14







8. (5 分)从正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的 6 个表面中选取 3 个面,其中有 2 个面不相邻的选法共有( A .8 种 B.12 种 C.16 种 D.20 种



9. (5 分) (2014?仁寿县模拟)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线分 )

别交双曲线的两条渐近线于点 P,Q.若点 P 是线段 F1Q 的中点,且 QF1⊥ QF2,则此双曲线的渐近线方程为( A.y=± x B.y=± x C.y=±2x D.y=±3x

10. (5 分) (2009?杭州二模) 设函数 f (x) =xsinx 在 (0, +∞) 内的全部极值点按从小到大的顺序排列为 a1, a2, …an…, 则对任意正整数 n 必有( ) A. B. C. D.

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. (4 分)若 a 为实数, ,则 a 等于 _________ .

12. (4 分) (2007?安徽)若

的展开式中含有常数项,则最小的正整数 n 等于 _________ .

13. (4 分)在△ ABC 中,若

,∠ C=150°,BC=1,则 AB 的值为 _________ .

14. (4 分) (2014?闵行区三模)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列,则{an}的公比为 _________ .

15. (4 分)设向量

满足 +2 +3 = ,且( ﹣2 )⊥ .若| |=1,则| |=

_________ .

16. (4 分)甲、乙等五名志愿者被随机地分到 A、B、C、D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.设 随机变量 ξ 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数,则 ξ 的数学期望为 _________ . 17. (4 分)在长方形 ABCD 中,AB=3,BC=1,E 为 DC 的三等分点(靠近 C 处) ,F 为线段 EC 上一动点(包括 端点) ,现将△ AFD 沿 AF 折起,使 D 点在平面内的摄影恰好落在边 AB 上,则当 F 运动时,二面角 D﹣AF﹣B 平 面角余弦值的变化范围是 _________ .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (14 分)已知函数 f(x)= cos x+sinx?cosx﹣
2



(Ⅰ )求函数 f(x)的最小正周期 T 和函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ )若函数 f(x)的对称中心为(x,0) ,求 x∈[0,2π)的所有 x 的和. 19. (14 分)已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6=55,a2+a7=16. (I)求数列{an}的通项公式; * (Ⅱ )若数列{bn}满足:b1=a1 且 bn=an+bn﹣1(n≥2,n∈N ) ,求数列{bn}的通项公式. 20. (15 分)如图,正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD、ABEF 互相垂直.点 M 在 AC 上移动, 点 N 在 BF 上移动,若 CM=BN=a(0<a< ) . (1)当 a 为何值时,MN 的长最小; (2)当 MN 长最小时,求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角的余弦值.

21. (15 分)已知 M(2,3) 、N(2,﹣3)两点在以 F(2,0)为右焦点的椭圆 C: 率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于点 A,B(A,B 在直线 MN 的两侧) . (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )求四边形 ANBM 面积的最大值. 22. (14 分)已知函数 f(x)=lnx﹣a(x ﹣x) (a∈R) . (Ⅰ )当 a=1 时,求 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ )求 f(x)在[1,2]的最大值.
2

=1(a>b>0)上,斜

参考答案与试题解析
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.请将你认 为正确的选项答在指定的位置上. ) 1. (5 分) (2012?台州模拟) 已知集合 A={x|x<a}, B={x|1<x<2}, 且 A∪ (?RB) =R, 则实数 a 的取值范围是 ( A.a≤1 B.a<1 C.a≥2 D.a>2 考点: 专题: 分析: 解答: 交、并、补集的混合运算. 集合. )

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先求出?RB,从而根据集合 A 及 A∪ (?RB)=R 即可求出 a 的取值范围. 解:∵ ?RB={x|x≤1,或 x≥2}, ∴ 若 A∪ (?RB)=R; ∴ a≥2. 故选 C. 点评: 考查描述法表示集合,以及集合的并集、补集运算,也可借助数轴求解.

2. (5 分)函数 A.(0,3) B.[0,3]

的值域为(

) D.[0,+∞)

C.(﹣∞,3]

考点: 函数的值域. 专题: 计算题. 分析: 先求出 x<﹣1 时函数的值域;再求出 x≥1 时的值域,将两段的值域求并集,即得函数的值域. 解答: x 解:当 x<﹣1 时,y=3 ,此时
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当 x≥1 时,y=log2x,此时 y≥0 所以函数的值域为[0,+∞) 故选 D 点评: 求分段函数的值域,应该分段求,再将求出的各段的函数值域求并集. 3. (5 分) (2008?上海)f(x) ,g(x)是定义在 R 上的函数,h(x)=f(x)+g(x) ,则“f(x) ,g(x)均为偶函 数”是“h(x)为偶函数”的( ) A.充要条件 B. 充分而不必要的条件 C. 必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件 考点: 专题: 分析: 解答: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;函数奇偶性的判断. 压轴题. 本题主要是抽象函数奇偶性的判断,只能根据定义,而要否定奇偶性,一般用特值. 解.若“f(x) ,g(x)均为偶函数”,则有 f(﹣x)=f(x) ,g(﹣x)=g(x) , ∴ h(﹣x)=f(﹣x)+g(﹣x)=f(x)+g(x)=h(x) ,∴ “h(x)为偶函数”, 2 2 而反之取 f(x)=x +x,g(x)=2﹣x,h(x)=x +2 是偶函数,而 f(x) ,g(x)均不是偶函数”, 故选 B 点评: 本题考查充要条件的判断和函数奇偶性的判断,属基本题.
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4. (5 分)如图所示程序框图中,如果输入三个实数 a、b、c,要求输出这三个数中最小的数,那么在空白的判断 框中,应该填入下面四个选项中的( )

A.c<x

B.x<c

C.c<b

D.b<c

考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 由于该程序的作用输出 a、b、c 中的最小数,因此在程序中要比较数与数的大小,第一个判断框是判断 x 与 b 的大小,故第二个判断框一定是判断最小值 x 与 c 的大小. 解答: 解:则流程图可知 a、b、c 中的最大数用变量 x 表示并输出, 第一个判断框是判断 x 与 b 的大小, ∴ 第二个判断框一定是判断最大值 x 与 c 的大小,并将最大数赋给变量 x, 故第二个判断框应填入:x>c, 故选:A. 点评: 本题主要考察了程序框图和算法,属于基础题.
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5. (5 分)若实数 x,y 满足

则 z=x﹣2y 的最小值是(



A .0

B.



C.﹣2

D.﹣3

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;作图题;不等式的解法及应用. 分析: 由题意作出其平面区域,将 z=x﹣2y 化为 y= x﹣ z,﹣ z 相当于直线 y= x﹣ z 的纵截距,由几何意义
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可得. 解答: 解:由题意作出其平面区域,

将 z=x﹣2y 化为 y= x﹣ z,﹣ z 相当于直线 y= x﹣ z 的纵截距, 则当过(0,1)时有最小值, 即 z=0﹣2=﹣2, 故选 C. 点评: 本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题. 6. (5 分)在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干,要搬运这些箱子很困难,可是仓库管理员要清点一下箱子的数 量,于是就想出一个办法:将这堆货物的三视图画了出来,你能根据三视图,帮他清点一下箱子的数量吗?这些正 方体货箱的个数为( )

A .6

B.7

C .8

D.9

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由俯视图可得最底层小正方体的个数,即所有小正方体的摞数,从左视图和主视图可以看出每摞小正方体 的个数,相加可得答案. 解答: 解:由俯视图可得所有小正方体共 6 摞, 每摞小正方体的个数如下图所示:
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故这些正方体货箱的个数为 8 个, 故选:C 点评: 本题考查的知识点是由三视图还原实物图,其中准确把握空间几何体的几何特征,建立良好的空间想像能 力是解答本题的关键.

7. (5 分) (2007?四川)设 A(a,1) ,B(2,b) ,C(4,5)为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若 向上的投影相同,则 a 与 b 满足的关系式为( A.4a﹣5b=3 B.5a﹣4b=3 ) C.4a+5b=14 D.5a+4b=14







考点: 平面向量数量积坐标表示的应用. 分析: 构造三个向量,起点是原点,那么三个向量的坐标和点的坐标相同,根据投影的概念,列出等式,用坐标 表示,移项整理得到结果. 解答: 解:∵ 与 在 方向上的投影相同,
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∴ ∴ 4a+5=8+5b, ∴ 4a﹣5b=3 故选:A. 点评: 投影也是一个数量,不是向量;当 q 为锐角时投影为正值;当 q 为钝角时投影为负值;当 q 为直角时投影 为 0;当 q=0°时投影为|b|;当 q=180°时投影为﹣|b|. 8. (5 分)从正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的 6 个表面中选取 3 个面,其中有 2 个面不相邻的选法共有( A .8 种 B.12 种 C.16 种 D.20 种 )

考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 应用题;排列组合. 分析: 根据题意,使用间接法,首先分析从 6 个面中选取 3 个面的情况数目,再分析求出其中其中有 2 个面相邻, 即 8 个角上 3 个相邻平面的情况数目,进而可得答案. 3 解答: 解:使用间接法,首先分析从 6 个面中选取 3 个面,共 C6 种不同的取法, 而其中有 2 个面相邻,即 8 个角上 3 个相邻平面,选法有 8 种, 3 则选法共有 C6 ﹣8=12 种. 故选 B. 点评: 本题考查组合的运用,但涉及立体几何的知识,要求学生有较强的空间想象能力.
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9. (5 分) (2014?仁寿县模拟)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线分 )

别交双曲线的两条渐近线于点 P,Q.若点 P 是线段 F1Q 的中点,且 QF1⊥ QF2,则此双曲线的渐近线方程为( A.y=± x B.y=± x C.y=±2x D.y=±3x

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 点 P 是 F1Q 的中点, O 是 F1F2 的中点, 利用三角形的中位线定理可得 OP∥ F2Q. 已知 QF1⊥ QF2, 可得 F1Q⊥ OP. 进 而得到直线 F1P 的方程,即可得到点 P 的坐标,利用余弦定理,即可求得双曲线的渐近线方程. 解答: 解:如图所示, ∵ 点 P 是 F1Q 的中点,O 是 F1F2 的中点, ∴ OP∥ F2Q. ∵ QF1⊥ QF2,∴ F1Q⊥ OP.
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∵ OP 的方程为 y=﹣ x, ∴ = ,

∴ 直线 F1P 的方程为 y= (x+c) .

联立

,解得

,即 P(﹣



) .

∴ |PF1|=|PQ|=b,|PO|=a,|OF1|=|OF2|=|OQ|=c,|QF2|=2a, ∵ tan∠ QOF2= ,∴ cos∠ QOF2= ,

由余弦定理,得 cos∠ QOF2=1﹣ ∴ e ﹣e﹣2=0, 解得 e=2,或 e=﹣1(舍) ∴ b= a, ∴ 双曲线的渐近线方程为 y=± 故选 B.
2

= ,

x.

点评: 本题综合考查了双曲线的标准方程及其性质、三角形的中位线定理、勾股定理、相互垂直的直线之间的关 系等基础知识与基本技能方法,属于中档题. 10. (5 分) (2009?杭州二模) 设函数 f (x) =xsinx 在 (0, +∞) 内的全部极值点按从小到大的顺序排列为 a1, a2, …an…, 则对任意正整数 n 必有( ) A. B. C. D.

考点: 数列与三角函数的综合. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 对函数求导,使得导函数等于 0,函数 f(x)在(0,+∞)内的全部极值点就是函数 y=tanx 与 y=﹣x 的交 点的横标,观察两函数图象的交点,在每一个周期上都有一个交点,且从左向右,交点的位置更靠近左渐 近线,两个点之间的横标的差. 解答: 解:∵ 函数 f(x)=xsinx, ∴ f′ (x)=sinx+xcosx=0 ∴ tanx=﹣x, ∴ 函数 f(x)在(0,+∞)内的全部极值点就是函数 y=tanx 与 y=﹣x 的交点的横标, 观察两函数图象的交点,从纵轴向右,在每一个周期上都有一个交点, 且从左向右,交点的位置依次更靠左渐近线, ∴ 两个交点之间的横标之差小于一个周期,大于半个周期,
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故选 C. 点评: 本题考查数列与三角函数的综合,解题的关键是看清题目整理后转化为两个基本初等函数的交点的横标之 间的关系. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. (4 分)若 a 为实数, ,则 a 等于 .

考点: 专题: 分析: 解答:

复数代数形式的乘除运算;复数相等的充要条件. 计算题. 复数方程两边同乘 1+ 解: 所以 a=﹣ 可得 2+ai=

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,化简利用复数相等,求出 a 即可. =2﹣ i

故答案为: 点评: 本题考查复数代数形式的乘除运算,复数相等的充要条件,是基础题.

12. (4 分) (2007?安徽)若

的展开式中含有常数项,则最小的正整数 n 等于 7 .

考点: 二项式定理. 专题: 计算题. 分析: 利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项,令 x 的指数为 0,求出 n,r 的关系,求出最小的正整 数 n. 解答:
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解: 令

展开式的通项为

其中 r=0,1,2,…n 所以当 r=6 时,最小的正整数 n 等于 7 故答案为:7 点评: 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题. 13. (4 分)在△ ABC 中,若

,∠ C=150°,BC=1,则 AB 的值为



考点: 正弦定理;同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题. 分析: 由 tanA 的值及 A 的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinA 的值,再由 sinC 及 BC 的值,利用正 弦定理即可求出 AB 的值. 解答: 解:∵ tanA= ,
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∴ cos A= ∴ sinA=

2

=

,又 A∈(0,30°) ,

,又 sinC=sin150°= ,BC=1,

根据正弦定理得:

=



则 AB=

=

=



故答案为: 点评: 此题考查了正弦定理, 及同角三角函数间的基本关系. 熟练掌握定理及公式是解本题的关键, 同时在求 sinA 时注意 A 的范围. 14. (4 分) (2014?闵行区三模)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列,则{an}的公比为 .

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据等差中项可知 4S2=S1+3S3,利用等比赛数列的求和公式用 a1 和 q 分别表示出 S1,S2 和 S3,代入即 可求得 q. 解答: 解:∵ 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列,
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∴ an=a1q 解

n﹣1

,又 4S2=S1+3S3,即 4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q ) ,

2



故答案为 点评: 本题主要考查了等比数列的性质.属基础题.

15. (4 分)设向量

满足 +2 +3 = ,且( ﹣2 )⊥ .若| |=1,则| |=



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 2 由条件利用两个向量垂直的性质,求得 b = ,从而求得| |的值.
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解答:

解:由题意可得( ﹣2 )? =( ﹣2 )?(﹣ =0, 求得 b = ,∴ | |= ,
2

)=﹣ (

﹣4

)= (4



)= (4

﹣1)

点评: 本题主要考查两个向量垂直的性质,求向量的模,属于基础题. 16. (4 分)甲、乙等五名志愿者被随机地分到 A、B、C、D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.设 随机变量 ξ 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数,则 ξ 的数学期望为 .

考点: 离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: 随机变量 ξ 可能取的值为 1,2,事件“ξ=2”是指有两人同时参加 A 岗位服务,由此可得 ξ 的分布列,进而得 到 ξ 的数学期望.
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解答: 解:随机变量 ξ 可能取的值为 1,2,事件“ξ=2”是指有两人同时参加 A 岗位服务, 则 P(ξ=2)= = ,

所以 P(ξ=1)=1﹣P(ξ=2)= , 即 ξ 的分布列如下表所示 ξ 1 2 P …(10 分) ∴ ξ 的数学期望 E(ξ)= ×2+ ×1= , 故答案为: 点评: 本题考查等可能事件的概率,考查离散型随机变量的概率与分布列和数学期望,属于中档题. 17. (4 分)在长方形 ABCD 中,AB=3,BC=1,E 为 DC 的三等分点(靠近 C 处) ,F 为线段 EC 上一动点(包括 端点) ,现将△ AFD 沿 AF 折起,使 D 点在平面内的摄影恰好落在边 AB 上,则当 F 运动时,二面角 D﹣AF﹣B 平 面角余弦值的变化范围是 [ , ] .

考点: 二面角的平面角及求法. 专题: 计算题;作图题;空间位置关系与距离. 分析: 过点 D 作 DM⊥ AF 于点 O,交 AB 于点 M,不妨设二面角 D﹣AF﹣B 的平面解为 θ,则 cosθ=
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=

=



从而求其取值范围. 解答: 解:如图,过点 D 作 DM⊥ AF 于点 O,交 AB 于点 M,不妨设二面角 D﹣AF﹣B 的平面解为 θ, 则 cosθ= ,

设 DF=x,2≤x≤3,由勾股定理, OD= ,OF= ,OA= ,∴ cosθ= = = 在[2,3]上是减函数,



cosθ



故答案为:[ , ].

点评: 本题考查了学生的作图能力及空间想象力,注意折起前后的等量关系是本题解决的关键,属于中档题.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (14 分)已知函数 f(x)= cos x+sinx?cosx﹣
2



(Ⅰ )求函数 f(x)的最小正周期 T 和函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ )若函数 f(x)的对称中心为(x,0) ,求 x∈[0,2π)的所有 x 的和. 考点: 两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ )化简可得: 从而可求函数 f(x)的最小正周期 T 和函数 f(x)的单调递增
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区间; (Ⅱ )令 解答: 解: (I)∵ 由题得:f(x)= (2x+ ∴ ∴ 令 可得:递增区间为 (II)令 可得: , , , , ; ) . , 即可求出 x 的值,因为 x∈[0,2π)故可求所有 x 的和. cos x+sinx?cosx﹣
2

=

=

cos2x

sin2x=sin

∵ x∈[0,2π)∴ k 可取 1,2,3,4. ∴ 所有满足条件的 x 的和为: .

点评: 本题主要考察了两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性,属于基础题. 19. (14 分)已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6=55,a2+a7=16. (I)求数列{an}的通项公式; * (Ⅱ )若数列{bn}满足:b1=a1 且 bn=an+bn﹣1(n≥2,n∈N ) ,求数列{bn}的通项公式. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (I)通过已知条件,等差数列的性质,求出第三项以及第六项,得到公差,即可求数列{an}的通项公式; * (Ⅱ )利用数列{bn}满足:b1=a1 且 bn=an+bn﹣1(n≥2,n∈N ) ,利用数列求和,求解数列{bn}的通项公式. 解答: (本小题满分 14 分)
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解: (I)由题得:

…. (2 分)

又∵ 公差 d>0∴

…. (4 分)

∴ d=2,an=2n﹣1…. (7 分) * (II)∵ bn=an+bn﹣1(n≥2,n∈N ) , * ∴ bn﹣bn﹣1=2n﹣1(n≥2,n∈N )…. (9 分) * ∵ bn=(bn﹣bn﹣1)+(bn﹣1﹣bn﹣2)+…+(b2﹣b1)+b1(n≥2,n∈N ) 且 b1=a1=1…. (11 分) ∴ ∴ (n≥2,n∈N ) …. (14 分)
*

点评: 本题考查数列的综合应用,数列的递推关系式的应用,数列的基本知识的考查. 20. (15 分)如图,正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD、ABEF 互相垂直.点 M 在 AC 上移动, 点 N 在 BF 上移动,若 CM=BN=a(0<a< ) . (1)当 a 为何值时,MN 的长最小; (2)当 MN 长最小时,求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 综合题;空间角. 分析: (1)作 MP∥ AB 交 BC 于点,NQ∥ AB 交 BE 于点 Q,连接 PQ,易证 MNQP 是平行四边形,根据
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MN=PQ=

,可求出 MN 的长,利用配方法即可求出 MN 的最小值;

(2)取 MN 的中点 G,连接 AG、BG,根据二面角的平面角的定义可知∠ AGB 即为二面角的平面角,在三 角形 AGB 中利用余弦定理求出此角的余弦值即可. 解答: 解: (1)作 MP∥ AB 交 BC 于点,NQ∥ AB 交 BE 于点 Q,连接 PQ, 依题意可得 MP∥ NQ,且 MP=NQ,即 MNQP 是平行四边形,∴ MN=PQ ∵ CM=BN=a,CB=AB=BE=1,∴ AC=BF= ∴ MN=PQ= ∵ 0<a< ∴ a= , ; = ,CP=BQ= a

,即当 M、N 分别为 AC、BF 的中点时,MN 的长最小,最小为

(2)取 MN 的中点 G,连接 AG、BG, ∵ AM=AN,BM=BN,G 为 MN 的中点

∴ AG⊥ MN,BG⊥ MN,即∠ AGB 即为二面角的平面角 α

又 AG=BG=

,所以由余弦定理有 cosα=

=﹣

∴ 面 MNA 与面 MNB 所成的二面角的余弦值为﹣ .

点评: 本题考查空间距离的计算,考查面面角,考查学生的计算能力,属于中档题.

21. (15 分)已知 M(2,3) 、N(2,﹣3)两点在以 F(2,0)为右焦点的椭圆 C: 率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于点 A,B(A,B 在直线 MN 的两侧) . (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )求四边形 ANBM 面积的最大值.

=1(a>b>0)上,斜

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)通过椭圆的焦点求出焦距,利用椭圆的定义求出 a,然后求解 b,即可求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )设出直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理,求出|xA﹣xB|,然后求四边形 ANBM 面积的表达式, 即可求解面积的最大值. 解答: (本小题满分 15 分) 解: (I)∵ 右焦点为 F(2,0)∴ 左焦点为 F′ (﹣2,0)…. (1 分) ∴ 2a=|MF′ |+|MF|=8a=4…. (4 分) 2 2 2 2 即:a =16,b =a ﹣c =12…. (6 分)
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∴ 椭圆 C 的方程为:

…. (7 分)

(II)设 l:y=x+m,联立

可得:7x +8mx+4m ﹣48=0…. (9 分)

2

2

xA+xB=

xA?xB=



…. (11 分)

∴ 四边形 ANBM 的面积 即: …. (13 分)

∵ 等号成立当且仅当 m=0 时,验证 m=0 交点在直线 MN 两侧成立 …. (14 分) ∴ 面积的最大值为 …. (15 分)

点评: 本题考查直线与椭圆的位置关系,椭圆的方程的求法,韦达定理的应用,二次函数的最值的应用,考查分 析问题解决问题的能力. 22. (14 分)已知函数 f(x)=lnx﹣a(x ﹣x) (a∈R) . (Ⅰ )当 a=1 时,求 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ )求 f(x)在[1,2]的最大值. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ )通过 a=1,求出函数的导数,得到切线的斜率,然后求 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ )求出函数的导数,通过 a 与 0 的大小,讨论,分别判断函数的单调性求解求 f(x)在[1,2]的最大值. 解答: (本小题满分 14 分)
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2

解: (I)当 a=1 时

f(x)=lnx﹣x +x

2

…. (3 分)

∴ f(1)=0,f′ (1)=0 即:所求切线方程为:y=0…. (6 分) (II)∵ ∴ 当 a=0 时,f′ (x)>0, f(x)在[1,2]上递增 ∴ f(x)max=f(2)=ln2…. (7 分) 2 当 a≠0 时 可令 g(x)=﹣2ax +ax+1,x∈[1,2]. ∵ g(x)的对称轴 且过点(0,1)

∴ 当 a<0 时,f′ (x)>0 在[1,2]恒成立, f(x)在[1,2]上递增 ∴ f(x)max=f(2)=ln2﹣2a…. (9 分) 当 a>0 时, 若 g(1)≤0,即:a≥1 时,f′ (x)<0 在[1,2]恒成立, f(x)在[1,2]上递减, ∴ f(x)max=f(1)=0…. (10 分) 若 g(1)>0,g(2)<0,即: 时,f′ (x)在 上大于零,



上小于零 f(x)在

上递增,



上递减,

∴ 若 g(1)>0,g(2)≥0,即: f(x)在[1,2]上递增, ∴ f(x)max=f(2)=ln2﹣2a…. (13 分)

…. (12 分) 时,f′ (x)>0 在[1,2]恒成立,

综上:

…. (14 分)

点评: 本题考查函数的导数的应用,闭区间上的函数的最值的求法,考查分析问题解决问题的能力.


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