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高中数学竞赛标准讲义:第九章:不等式


第九章

不等式

一、基础知识 不等式的基本性质: (1)a>b ? a-b>0; (2)a>b, b>c ? a>c; (3)a>b ? a+c>b+c; (4)a>b, c>0 ? ac>bc; (5)a>b, c<0 ? ac<bc; (6)a>b>0, c>d>0 ? ac>bd; (7)a>b>0, n∈N+ ? an>bn; (8)a>b>0, n∈N+ ? n a ? n b ; (9)a>0, |x|<a ? -a<x<a, |x|>a ? x>a 或 x<-a; (10)a, b∈R,则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; (11)a, b∈R,则(a-b)2≥0 ? a2+b2≥2ab; (12)x, y, z∈R+,则 x+y≥2

xy , x+y+z ? 33 xyz.

前五条是显然的,以下从第六条开始给出证明。 (6)因为 a>b>0, c>d>0,所以 ac>bc, bc>bd,所以 ac>bd;重复利用性质(6) ,可得性质
n n (7) ;再证性质(8) ,用反证法,若 n a ? n b ,由性质(7)得 ( n a ) ? ( n b ) ,即 a≤b,与

a>b 矛盾,所以假设不成立,所以 n a ? n b ;由绝对值的意义知(9)成立;-|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|,所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|,所以|a+b|≤|a|+|b|;下面再证(10)的左边,因 为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|,所以|a|-|b|≤|a+b|,所以(10)成立; (11)显然成立;下证(12) , 因为 x+y-2 xy ? ( x ? 不 等 式 , 令
3

y ) 2 ≥0,所以 x+y≥ 2 xy ,当且仅当 x=y 时,等号成立,再证另一

x ? a, 3 y ? b, 3 z ? c , 因 为 x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc

=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=

1 (a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0,所以 a3+b3+c3≥3abc,即 x+y+z≥ 33 xyz ,等号当且仅当 x=y=z 2
时成立。 二、方法与例题 1.不等式证明的基本方法。 (1)比较法,在证明 A>B 或 A<B 时利用 A-B 与 0 比较大小,或把 较大小,最后得出结论。 例 1 设 a, b, x2+y2+z2 ? 2

A (A,B>0)与 1 比 B
x, y, z, 有

c∈R+ , 试 证 : 对 任 意 实 数

? a?b abc b?c c?a ? ? xy ? yz ? xz ?. ? ? (a ? b)(b ? c)(c ? a ) ? c a b ?

【证明】 左边-右边= x2+y2+z2 ? 2

ab bc xy ? 2 yz (b ? c)(c ? a ) (a ? b)(c ? a )

?2

ca b ab a c xz ? x2 ? 2 xy ? y2 ? y2 ? (a ? b)(b ? c) b?c (b ? c)(c ? a ) c?a c?a

2

bc b a ca c yz ? z2 ? z2 ? 2 xz ? x2 ? (a ? b)(c ? a) a?b a?b (a ? b)(b ? c) b?c
2 2 2

? b a ? ? c b ? ? a c ? ? x? y? ? ? y? z? ? ? z? x ? ? 0. ? b?c c?a ? ? c?a a?b ? ? a?b b?c ? ? ? ? ? ? ?
所以左边≥右边,不等式成立。 例 2 若 a<x<1,比较大小:|loga(1-x)|与|loga(1+x)|. 【 解 】 因 为 1-x ? 1 , 所 以

loga(1-x)

?

0,

-1-

| log a (1 ? x) | 1 =|log(1-x)(1+x)|=-log(1-x)(1+x)=log(1-x) >log(1-x)(1-x)=1 ( 因 为 0<1-x2<1 , 所 以 | log a (1 ? x) | 1? x 1 >1-x>0, 0<1-x<1). 1? x
所以|loga(1+x)|>|loga(1-x)|. (2)分析法,即从欲证不等式出发,层层推出使之成立的充分条件,直到已知为止,叙 述方式为:要证??,只需证??。 例 3 已知 a, b, c∈R+,求证:a+b+c-3 3 abc ≥a+b ? 2 ab. 【证明】 要证 a+b+c ? 33 c ? a ? b ≥a+b ? 2 ab. 只需证 c ? 2 ab ? 33 abc , 因为 c ? 2 ab ? c ? ab ? ab ? 33 c ? a ? b ? 33 abc ,所以原不等式成立。 例 4 已知实数 a, b, c 满足 0<a≤b≤c≤ 【证明】 因为 0<a≤b≤c≤

2 1 1 1 ,求证: ? ? . c(1 ? c) a(1 ? b) b(1 ? a) 2

1 ,由二次函数性质可证 a(1-a) ≤b(1-b) ≤c(1-c), 2 1 1 1 所以 , ? ? a(1 ? a) b(1 ? b) c(1 ? c) 1 1 2 2 所以 , ? ? ? a(1 ? a) b(1 ? b) b(1 ? b) c(1 ? c) 1 1 1 1 所以只需证明 , ? ? ? a(1 ? a) b(1 ? b) a(1 ? b) b(1 ? a) a ?b a ?b 也就是证 , ? a(1 ? a)(1 ? b) b(1 ? a)(1 ? b)
只需证 b(a-b) ≤a(a-b),即(a-b)2≥0,显然成立。所以命题成立。 (3)数学归纳法。 例 5 对任意正整数 n(≥3),求证:nn+1>(n+1)n. 【证明】 1)当 n=3 时,因为 34=81>64=43,所以命题成立。 2)设 n=k 时有 kk+1>(k+1)k,当 n=k+1 时,只需证(k+1)k+2>(k+2)k+1,即

(k ? 1) k ? 2 >1. 因为 (k ? 2) k ?1

k k ?1 (k ? 1) k ? 2 k k ?1 ?1 , 所 以 只 需 证 ? , 即 证 (k+1)2k+2>[k(k+2)]k+1 , 只 需 证 (k ? 1) k (k ? 2) k ?1 (k ? 1) k
(k+1)2>k(k+2),即证 k2+2k+1>k2+2k. 显然成立。 所以由数学归纳法,命题成立。 (4)反证法。 例 6 设实数 a0, a1,?,an 满足 a0=an=0, a0-2a1+a2≥0, a1-2a2+a3≥0,?, an-2-2an-1+an≥0, 且 求证 ak≤0(k=1, 2,?, n-1). 【证明】 假设 ak(k=1, 2,?,n-1) 中至少有一个正数,不妨设 ar 是 a1, a2,?, an-1 中第一个 出现的正数,则 a1≤0, a2≤0,?, ar-1≤0, ar>0. 于是 ar-ar-1>0,依题设 ak+1-ak≥ak-ak-1(k=1, 2, ?, n-1)。 所以从 k=r 起有 an-ak-1≥an-1-an-2 ≥?≥ar-ar-1>0. 因为 an≥ak-1≥?≥ar+1≥ar >0 与 an=0 矛盾。故命题获证。 (5)分类讨论法。 例 7 已知 x, y, z∈R+,求证: 【证明】 不妨设 x≥y, x≥z.

x2 ? y2 y2 ? z2 z2 ? x2 ? ? ? 0. y?z z?x x? y

-2-

ⅰ)x≥y≥z,则

1 1 1 ,x2≥y2≥z2,由排序原理可得 ? ? x? y x?z y?z

x2 y2 z2 y2 z2 x2 ,原不等式成立。 ? ? ? ? ? y?z z?x x? y y?z z?x x? y 1 1 1 ⅱ)x≥z≥y,则 ,x2≥z2≥y2,由排序原理可得 ? ? x?z x? y y?z x2 y2 z2 y2 z2 x2 ? ? ? ? ? ,原不等式成立。 y?z z?x x? y y?z z?x x? y
(6)放缩法,即要证 A>B,可证 A>C1, C1≥C2,?,Cn-1≥Cn, Cn>B(n∈N+).

1 1 1 ? ??? n ? n(n ? 2). 2 3 2 ?1 1 1 1 1 ?1 1? 1 1 ? ? 1 ? 1? ? ? ? ? ??? ? n ? n ??? n ? 【证明】 1 ? ? ? ? ? n 2 3 2 ?4 4? 2 ?1 2? 2? ? 2??? ??? ? ?
例 8 求证: 1 ?
2 n ?1

?

1 n ?1 1 n ? 1? ? n ? ,得证。 n 2 2 2 2
例 9 已知 a, b, c 是△ ABC 的三条边长,m>0,求证:

a b c ? ? . a?m b?m c?m a b a b a?b m 【证明】 ? ? ? ? ? 1? a?m b?m a?b?m a?b?m a?b?m a?b?m m c (因为 a+b>c) ,得证。 ? 1? ? c?m c?m
(7)引入参变量法。 例 10 已知 x, y∈R , l, a, b 为待定正数,求 f(x, y)= 【解】 设
+

a3 x2

?

b3 的最小值。 y2
? 3 b3 ?a ? 2 ? k ? ? ?? ? ?

(1 ? k ) 2 l kl y ,f(x,y)= ? k ,则 x ? ,y ? l2 1? k 1? k x

1 l2

? ? ? ? 1 1 3 3 3 3 3 3 1 3 1 3 2 ? a ? b ? a k ? a k ? b ? 2 ? b ? ? b ? ? a k ? ? 2 (a3+b3+3a2b+3ab2)= k k ? ?k ?? ??? ???? ???? ??? ? l ? ? ? ? ? 3 ( a ? b) ( a ? b) 3 a b . ,等号当且仅当 ? 时成立。所以 f(x, y)min= x y l2 l2
设 x1=k(x2+x3+x4) , 依 题 设 有

例 11 设 x1≥x2≥x3≥x4≥2, x2+x3+x4≥x1,求证:(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4. 【证明】

1 ≤k≤1, x3x4≥4 , 原 不 等 式 等 价 于 3

(1+k)2(x2+x3+x4)2≤4kx2x3x4(x2+x3+x4),即

(1 ? k ) 2 1 ?1 ? (x2+x3+x4) ≤x2x3x4,因为 f(k)=k+ 在 ? ,1? 上递减, 4k k ?3 ?
所以

(1 ? k ) 2 1 1 (x2+x3+x4)= (k ? ? 2) (x2+x3+x4) 4k 4 k

-3-

3?


1 ?2 3 ·3x2=4x2≤x2x3x4. 4

所以原不等式成立。 (8)局部不等式。 例 12 已知 x, y, z∈R+,且 x2+y2+z2=1,求证: 【证明】 先证
2

3 3 x y z ? . ? ? 2 2 2 2 1? x 1? y 1? z

x 3 3 2 ? x . 2 2 1? x
1 ?2? 2 ?? ? ? , 2 ?3? 3 3
3

1 ? 2 x 2 (1 ? x 2 ) 2 ? 因为 x(1-x )= 2
所以

x x2 x2 3 3 2 ? ? ? x . 2 2 2 2 1? x x(1 ? x ) 3 3
y 3 3 2 ? y , 2 2 1? y

同理

z 3 3 2 ? z , 2 2 1? z x y z 3 3 2 3 3 ? ? ? (x ? y 2 ? z 2 ) ? . 所以 2 2 2 2 2 1? x 1? y 1? z a b c 例 13 已知 0≤a, b, c≤1,求证: ≤2。 ? ? bc ? 1 ca ? 1 ab ? 1 a 2a 【证明】 先证 ? . ① bc ? 1 a ? b ? c
即 a+b+c≤2bc+2. 即证(b-1)(c-1)+1+bc≥a. 因为 0≤a, b, c≤1,所以①式成立。 同理

b 2b c 2c ? , ? . ca ? 1 a ? b ? c ab ? 1 a ? b ? c

三个不等式相加即得原不等式成立。 (9)利用函数的思想。

1 1 1 的最小值。 ? ? a?b b?c c?a 5 5 【解】 当 a, b, c 中有一个为 0,另两个为 1 时,f(a, b, c)= ,以下证明 f(a, b, c) ≥ . 不 2 2 3 2c a?b 1 妨设 a≥b≥c,则 0≤c≤ , f(a, b, c)= 2 ? 2 ? . 3 c ?1 c ?1 a ? b ( a ? b) 2 因为 1=(a+b)c+ab≤ +(a+b)c, 4
例 14 已知非负实数 a, b, c 满足 ab+bc+ca=1, f(a, b, c)= 求 解关于 a+b 的不等式得 a+b≥2( c ? 1 -c).
2

考虑函数 g(t)=

t 1 ? , g(t)在[ c 2 ? 1,?? )上单调递增。 c ?1 t
2

-4-

3 2 2 ,所以 3c2≤1. 所以 c2+a≥4c2. 所以 2 ( c ? 1 ? c) ≥ c ? 1. 3 2c a?b 1 所以 f(a, b, c)= 2 ? 2 ? c ?1 c ?1 a ? b 2c 2( c 2 ? 1 ? c ) 1 ? ? ≥ 2 2 2 c ?1 c ?1 2( c ? 1 ? c )
又因为 0≤c≤

2c c2 ?1 ? c ? = 2 c ?1 c2 ?1 ? 1 ? c 3 c2 ?1 ? c2 ?1? ? ? = 2? ? 2 ? 2 2 ? c ?1 ?
≥4?

c 3 c 2 ? 1 5 3(1 ? c 2 ? 1) c ? ? ? ? . 2 2 2 2 2
2

2 下 证 3(1 ? c ? 1) ? c ? 0 ① ? 3 ? c ? 3 c ? 1 ? c2+6c+9≥9c2+9 ? c?

?3 ? ? c ? ≥0 ?4 ?

3 3 3 ? ,所以①式成立。 ? c ? . 因为 c ? 3 4 4 5 5 所以 f(a, b, c) ≥ ,所以 f(a, b, c)min= . 2 2
2.几个常用的不等式。 (1)柯西不等式:若 ai∈R, bi∈R, i=1, 2, ?, n,则 (

? ai2 )(? bi2 ) ? (? ai bi ) 2 .
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

等号当且仅当存在 λ∈R,使得对任意 i=1, 2, , n, ai=λbi,

变式 1:若 ai∈R, bi∈R, i=1, 2, ?, n,则 (

a i2 ?b )? i ?1 i
n

(? a i ) 2 (? bi )
i ?1 n i ?1 n

n

.
2

等号成立条件为 ai=λbi,(i=1, 2, ?, n)。

变式 2:设 ai, bi 同号且不为 0(i=1, 2, ?, n),则

?b
i ?1

n

ai
i

?

(? a i ) 2

?a b
i ?1 i

i ?1 n

.

i

等号成立当且仅当 b1=b2=?=bn. (2)平均值不等式:设 a1, a2,?,an∈R+,记 Hn=

n 1 1 1 ? ??? a1 a 2 an

, Gn= n a1 a 2 ? a n ,

a ? a2 ? ? ? an , Qn ? An= 1 n

2 2 a12 ? a 2 ? ? ? a n ,则 Hn≤Gn≤An≤Qn. 即调和平均≤几何平均≤ n

算术平均≤平方平均。 其中等号成立的条件均为 a1=a2=?=an. 【证明】 由柯西不等式得 An≤Qn,再由 Gn≤An 可得 Hn≤Gn,以下仅证 Gn≤An. 1)当 n=2 时,显然成立;

-5-

2)设 n=k 时有 Gk≤Ak,当 n=k+1 时,记 1? k a1 a 2 ? a k a k ?1 =Gk+1. 因为 a1+a2+?+ak+ak+1+(k-1)Gk+1≥ k k a1 a 2 ? a k ? k k a k ?1 ? G k ?1 ≥ 2k 2 k a1 a 2 ? a k ?1G k ?1 ? 2k 2 k G k ?1 ? 2kGk+1,
2k k ?1 k ?1

所以 a1+a2+?+ak+1≥(k+1)Gk+1,即 Ak+1≥Gk+1. 所以由数学归纳法,结论成立。 (3)排序不等式:若两组实数 a1≤a2≤?≤an 且 b1≤b2≤?≤bn,则对于 b1, b2, ?, bn 的任意排 列 bi , bi , ? , bi ,有 a1bn+a2bn-1+?+anb1≤ a1 bi ? a 2 bi ? ? ? a n bi ≤a1b1+a2b2+?+anbn.
1 2 n 1 2 n

【 证 明 】
n n ?1 i ?1

引 理 : 记

A0=0 , Ak=

? ai (1 ? k ? n) , 则
i ?1

k

?a b
i ?1 i

n

i

?

。 ? (si ? si ?1 )bi = ? si (bi ? bi?1 ) ? sn bn (阿贝尔求和法)
i ?1

证法一:因为 b1≤b2≤?≤bn,所以 bi ? bi ? ? ? bi ≥b1+b2+?+bk.
1 2 k

记 sk= bi ? bi ? ? ? bi -( b1+b2+?+bk),则 sk≥0(k=1, 2, ?, n)。
1 2 k





a1 bi ? a 2 bi ? ? ? a n bi
1 2

k

-(a1b1+a2b2+

?

+anbn)=

?a
j ?1

n

j

(bi ? b j ) ?
j

?s
j ?1

n

j

(a j ? a j ?1 ) +snan≤0.

最后一个不等式的理由是 aj-aj+1≤0(j=1, 2, ?, n-1, sn=0), 所以右侧不等式成立,同理可证左侧不等式。 证法二: (调整法)考察 a1 bi ? a 2 bi ? ? ? a n bi ,若 bi ? bn ,则存在。
1 2 k j

若 bi ? \bn (j≤n-1),则将 bi 与 bi 互换。
j
n

j

因为
b a n bn ? a j bi ? (a n bi ? a j bn ) ? (a n ? a j )bn ? (a j ? a n )bi ? (a n ? a j )(bn ? bi ) ≥0,
n n n n

所 调整后,和是不减的,接下来若 bi

n ?1

? bn ?1 ,则继续同样的调整。至多经 n-1 次调整

就可将乱序和调整为顺序和,而且每次调整后和是不减的,这说明右边不等式成立,同理可 得左边不等式。 例 15 已知 a1, a2,?,an∈R+,求证; 【证明】证法一:因为 ≥2an. 上述不等式相加即得
2 a2 a2 a12 a 2 ? ? ? ? n ?1 ? n ≥a1+a2+?+an. a 2 a3 an a1 2 a2 a2 a12 a 2 ? ? ? ? n ?1 ? n ? a1+a2+?+an. a 2 a3 an a1

a2 a2 a12 a2 ? a1 ? 2a1 , 2 ? a3 ? 2a 2 ,?, n ?1 ? a n ? 2a n ?1 , n ? a1 a2 a3 an a1

2 2 2 ? a12 a 2 a n ?1 a n ? ? ? (a1+a2+?+an)≥(a1+a2+?+an)2, ? ??? ? 证法二:由柯西不等式 ? an a1 ? ? a 2 a3 ? 2 2 2 a a2 a a 因为 a1+a2+?+an >0,所以 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ≥a1+a2+?+an. a 2 a3 an a1

证法三: 设 a1, a2,?,an 从小到大排列为 a i ? a i ? ? ? a i ,则 a i ? a i ? ? ? a i ,
2
1

2

2

1

2

n

2

n

-6-

1 1 1 ? ??? ,由排序原理可得 ai ai ai
n n ?1 1

ai ? a i ? ? ? a i =a1+a2+?+an≥
1 2 n

2 a2 a2 a12 a 2 ? ? ? ? n ?1 ? n ,得证。 a 2 a3 an a1

注:本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用,希望读者在解题中再加以总结。 三、基础训练题 1.已知 0<x<1,a, b∈R+,则 2.已知 x∈R+,则 x ?

a2 b2 的最小值是____________. ? x 1? x

1 的最小值是____________. x2

3. 已知 a, b, c∈R, a2+b2+c2=1, ab+bc+ca 的最大值为 M, 且 最小值为 N, MN=___________. 则

x 2 ? ax ? 1 ? 2 对所有实数 x 成立,则 a 的取值范围是____________. x2 ? x ?1 5.若不等式 2x ?1 ? x+a 的解是 x>m,则 m 的最小值是____________.
4.若不等式 ? 3 ? 6. “a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|<8 的解集是{x|-2<x<6}”的____________条件. 7.若 a, b∈R+,则 a+b=1,以下结论成立是__________.① a4+b4≥
b ?1

1 1 ;② ≤a3+b3<1;③ 8 4

1 1 1 1 2 b ?1 ;④ a ? ? b ? ? 2 ;⑤ a 2 ? a b ;⑥ ? 2 ? lg a ? b lg a. 2 2 2 ab 2 a b ? 4 3 8.已知 0< ? < ? ,若 sin (1 ? cos? ) ? ,则 ? =____________. 2 9 x ? x2 ? ? ? xn 9. 已知 x ? 1 , p=(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2, q=(x1-a)2+(x2-a)2+?+(xn-a)2, n 若 a ? x ,则比较大小:p___________q. 10.已知 a>0, b>0 且 a ? b, m=aabb, n=abba, 则比较大小:m_________n. 1 1 3n 11.已知 n∈N+,求证: 1 ? 2 ? ? ? 2 ? . 2n ? 1 2 n 1 12.已知 0<a<1,x2+y=0,求证:loga(ax+ay) ≤loga2+ . 8 x x 13.已知 x∈R, x ? 0 ,求证: ? . 1? 2x 2
四、高考水平训练题 1.已知 A=asin2x+bcos2x, B=acos2x+bsin2x(a, b, x∈R),设 m=AB, n=ab, P=A2+B2, q=a2+b2,则 下列结论成立的有]__________.(1)m≥n, p≥q;(2)m≤n, p≤q; (3)m+p≥n+q; (4)m+q≥n+p. 2.已知 a, b, c, d∈R,M=4(a-b)(c-d), N=(a-b)(c-b)+(d-a)(d-c)+(c-d)(c-b)+(a-b)(a-d),则比较大 小:M________N.

a?3 a?b , 将 3 , a, b, 从小到大排列为________. a ?1 2 b 4.已知△ ABC 的三边长 a, b, c 满足 b+c≤2a, a+c≤2b,则 的取值范围是________. a
3. a ? b, a, b ? R+, a ? 3 ,b ? 若 且 5.若实数 x, y 满足|x|+|y|≤1,则 z=x2-xy+y2 的最大值与最小值的和为________. 6.设函数 f(x)= 2 ? x ? 3x ? 12 (x∈[-4,2]),则 f(x)的值域是________.

-7-

7 . 对 x1>x2>0, 1>a>0 , 记 y1 ? x1x2________y1y2.

x1 ax ax x ? 2 , y2 ? 1 ? 2 , 比 较 大 小 : 1? a 1? a 1? a 1? a

a ? sin x ? 4 ? 的值域是 ?? ,?? ? ,则实数 a 的值为________. 1 ? cos x ? 3 ? 1 1 1 M 9.设 a≤b<c 是直角△ ABC 的三边长,若不等式 ? ? ? 恒成立,则 M 最大 a b c a?b?c
8.已知函数 y ? 值为________. 10. 实系数方程 x2+ax+2b=0 的一个根大于 0 且小于 1, 另一个根大于 1 且小于 2, 则

b?2 a ?1

的取值范围是________. 11.已知 a, b, c∈R+ 且满足 a+b+c≥abc,求证:下列三个式子中至少有两个成立:

6 3 2 6 3 2 6 3 2 ? ? ? 2, ? ? ? 2, ? ? ? 2. a b c b c a c a b 1 1 12.已知 a, b∈R+且 ? ? 1 ,求证:对一切 n∈N+,(a+b)n-an-bn≥22n-2n+1. a b c a b 3 13.已知 a, b, c ∈R+,求证: ? ? ? . a?b b?c c?a 2 xy ? 2 yz 14.设 x, y, z 是 3 个不全为零的实数,求 2 的最大值。 x ? y2 ? z2
五、联赛一试水平训练题 1.已知 a1, a2, b1, b2, c1, c∈R,a1c1- b1 =a2c2 ? b2 >0, P=(a1-a2)(c1-c2), Q=(b1-b2)2,比较大小: P_______Q. 2.已知 x2+y2-xy=1,则|x+y-3|+|x+y+2|=__________. 3.二次函数 f(x)=x2+ax+b,记 M=max{|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|},则 M 的最小值为__________. 4.设实数 a, b, c, d 满足 a≤b≤c≤d 或者 a≥b≥c≥d,比较大小: 4(a+c+d)(a+b+d)__________(2a+3d+c)(2a+2b+c+d).
2 2

5. 已知 xi∈R+, i=1, 2, ?,n 且

?1? x
i ?1

n

1

? 1 , x1x2?xn 的最小值为__________ 这里 n>1) 则 ( .
i
2n

6.已知 x, y∈R, f(x, y)=x2+6y2-2xy-14x-6y+72 的最小值为__________. 7.已知 0≤ak≤1(k=1, 2, ?,2n),记 a2n+1=a1, a2n+2=a2,则 __________. 8.已知 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1,则 9.已知

? (a
k ?1

k

? a k ?1 a k ? 2 ) 的最大值为

x y z 的最大值为__________. ? ? yz ? 1 zx ? 1 xy ? 1

3 ≤x≤5,求证: 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 15 ? 3x ? 2 19 . 2 a?b?c 3 10 ? abc ? . 10.对于不全相等的正整数 a, b, c,求证: 3 27
11 . 已 知 ai>0(i=1, 2, ? , n) , 且
n ? n a (? ?i ai )? ? i ? ? i ?1 ? i ?1 i

?a
i ?1

n

i

=1 。 又 0<λ1≤λ2≤ ? ≤λn , 求 证 :

? (?1 ? ? n ) 2 ?≤ . ? 4?1 ? n ?

-8-

六、联赛二试水平训练题 1.设正实数 x, y, z 满足 x+y+z=1,求证:

xy xy ? yz

?

yz yz ? xz

?

xz xz ? xy

?

2 . 2

2. 设整数 x1, x2, ?,xn 与 y1, y2, ?, yn 满足 1<x1<x2<?<xn<y1<y2<?<ym, x1+x2+?+xn>y1+y2+? +ym,求证:x1x2xn>y1y2?ym. 3. f(x)=x2+a, f ' ( x) ? f(x), fn(x)=f(fn-1(x))(n=2, 3, ?), 设 记 M={a∈R|对所有正整数 n, |fn(0)| ≤2},求证: M ? ?? 2, ? 。 4

? ?

1? ?

4.给定正数 λ 和正整数 n(n≥2),求最小的正数 M(λ) ,使得对于所有非负数 x1, x2,?,xn , 有 M(λ) (

? xk ) n ? ? xkn ? ? ? xk .
k ?1 k ?1 k ?1

n

n

n

5.已知 x, y, z∈R+,求证:(xy+yz+zx) ?

?

1 1 1 ? 9 ? ? ?? . 2 2 ( y ? z) ( z ? x) 2 ? 4 ? ( x ? y)

6.已知非负实数 a, b, c 满足 a+b+c=1,求证:2≤(1-a2)2+(1-b2)2+(1-c2)2≤(1+a)(1+b)(1+c),并 求出等号成立的条件。

-9-


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