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高中理科立体几何复习资料


高中理科数学立体几何复习资料
一. (三视图问题)1.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

A、

1 ?? 3

B、

2 ?? 3

C、

1 ? 2? 3

D、

2 ? 2? 3

2.某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的体积是( )
3

A. 8cm

B. 12cm

3

C.

32 3 cm 3

D.

40 3 cm 3

3.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示. 若该几何体的表面积为 16 + 20 ? ,则 r=( ) (A)1 (B)2 (C)4 (D)8 4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(



A. 3? B. 4? C. 2? ? 4 D. 3? ? 4 5.某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切割,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面 落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=

新工件的体积 ) ( 原工件的体积



8 A. 9?

16 B. 9?

C.

4( 2 ? 1)3

?

D.

12( 2 ? 1)3

?


6.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是(

(A) 1 ? 3

(B) 2 ? 3

(C) 1 ? 2 2

(D) 2 2 )

7. 一个正方体被一个平面截去一部分后, 剩余部分的三视图如右图, 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 (

1

m m3
A.

1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5

8.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长 度为( )

(A) 6 2

(B) 6 )

(C) 6 2

(D) 4

9.某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为(

A、16+8 ?

B、8+8 ?

C、16+16 ?

D、8+16 ? ) ,则该几何体的体积为 .

10 . 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ( 单 位 :

二.(线面角和异面直线问题) 1.如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 O 为线段 BD 的中点.设点 P 在线段 CC1 上,直线 OP 与平面 A 1BD 所成 的角为 ? ,则 sin ? 的取值范围是( )

试卷第 2 页,总 12 页

A. [

3 ,1] 3

B. [

6 ,1] 3

C. [

6 2 2 , ] 3 3

D. [

2 2 ,1] 3

2.如图,半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在平面 ? 内,过点 O 作平面 ? 的垂线交半球面于点 A ,过圆 O 的直径 CD 作 平 面 ? 成 45 角 的 平 面 与 半 球 面 相 交 , 所 得 交 线 上 到 平 面 ? 的 距 离 最 大 的 点 为 B , 该 交 线 上 的 一 点 P 满 足

?BOP ? 60 ,则 A 、 P 两点间的球面距离为(
A、 R arccos


B

A

2 4

B、

?R 4

C、 R arccos

3 3

D、

?R 3
α

D P C O

3.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1, 则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( ) A. 1 B. 2 C.

10

5

30 10

D.

2 2

13. 在三棱锥 O ? ABC 中,三条棱 OA 、OB 、OC 两两互相垂直,且 OA ? OB ? OC , M 是 AB 的中点,则 OM 与 平面 ABC 所成角的余弦值是______________ 4.如图,已知 ?ABC , D 是 AB 的中点,沿直线 CD 将 ?ACD 折成 ?A?CD ,所成二面角 A? ? CD ? B 的平面角为 ? , 则( )

A. ?A?DB ? ?

B. ?A?DB ? ?

C. ?A?CB ? ?

D. ?A?CB ? ?

5.现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体 积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则新的底面半径为 6.如图,三棱锥 A ? BCD 中, AB ? AC ? BD ? CD ? 3, AD ? BC ? 2 ,点 M , N 分别是 AD, BC 的中点,则异面 直线 AN , CM 所成的角的余弦值是 .

3

7.如图,四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点 M 在线段 PQ 上,E、F 分别为 AB、BC 的中 点。设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 ? ,则 cos ? 的最大值为 .

8.在三棱住 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是直角边长为 1 的等 腰直角三角形,设点 M,N,P 分别是 AB,BC,B1C1 的中点,则三棱锥 P-A1MN 的体积是______. 9.若正三棱柱的所有棱长均为 a ,且其体积为 16 3 ,则 a ? . .

10.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2? ,则其母线与轴的夹角的大小为

11.如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, M 、 N 分别是 CD 、 CC1 的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成角的大 小是____________。

12.一个正方体的展开图如图所示, B , C , D 为原正方体的顶点, A 为原正方体一条棱的中点,在原来的正方体中, CD 与 AB 所成 D1 C1 角的余弦值为( ) B 1 A1 12.如图,半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,求球的表面 N 积与该圆柱的侧面积之差是 .
D A M B C

三.例题几何综合问题 1.如图,三角形△PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3,点 E 是 CD 的中点,点 F、G 分别在线段 AB、BC 上,且 AF=2FB,CG=2GB. (1)证明:PE⊥FG; (2)求二面角 P﹣AD﹣C 的正切值; (3)求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值.

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2.如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,已知 AC ? BC , BC ? CC1 ,设 AB1 的中点为 D , B1C ? BC1 ? E .

求证: (1) DE // 平面AA 1C1C ; (2) BC1 ? AB1 .

A B D A1 B1 E

C

C1

3 . 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 已 知 PA ? 平 面 A B C D , 且 四 边 形 ABCD 为 直 角 梯 形 ,

?ABC ? ?BAD ?

?
2

, PA ? AD ? 2, AB ? BC ? 1 P

(1)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值; (2)点 Q 是线段 BP 上的动点,当直线 CQ 与 DP 所成角最小时,求线段 BQ 的长

Q A B C D

, PC ? 3 ,? A C ? B 4. 如 图 , 三 棱 锥 P ? A B C中 , PC ? 平 面 A B C

?
2

. D , 分 E别 为 线 段 A B, B C上 的 点 , 且

C D? D E? 2 , C E ? 2 EB ? 2.
(1)证明: DE ? 平面 PCD (2)求二面角 A ? PD ? C 的余弦值。

5

AB ? AC ? 2 , A1 A ? 4 , A1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中 5.如图,在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 -中, ?BAC ? 90 ,
点, D 为 B1C1 的中点.

(1)证明: A1 D ? 平面 A1 B C ; (2)求二面角 A1 -BD- B1 的平面角的余弦值.

6. 如图, 四边形 ABCD 为菱形, ∠ABC=120°, E, F 是平面 ABCD 同一侧的两点, BE⊥平面 ABCD, DF⊥平面 ABCD, BE=2DF, AE⊥EC. (Ⅰ)证明:平面 AEC⊥平面 AFC; (Ⅱ)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.

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7.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,在正方体中,设 BC 的中点为 M , GH 的中点 为N (1)请将字母 F , G, H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由) (2)证明:直线 MN / / 平面 BDH (3)求二面角 A ? EG ? M 的余弦值.

8.如图 1 ,在直角梯形 ?? CD 中, ?D//? C , ???D ?

?
2

, ?? ? ?C ? 1 , ?D ? 2 , ? 是 ?D 的中点, ? 是 ? C

与 ?? 的交点.将 ???? 沿 ?? 折起到 ??1?? 的位置,如图 2 . (Ⅰ)证明: CD ? 平面 ?1?C ; (Ⅱ)若平面 ?1?? ? 平面 ? CD? ,求平面 ?1?C 与平面 ?1CD 夹角的余弦值.

9.如图,在三棱台 DEF ? ABC 中, AB ? 2DE, G, H 分别为 AC , BC 的中点. (Ⅰ)求证: BD / / 平面 FGH ; (Ⅱ)若 CF ? 平面 ABC , AB ? BC, CF ? DE 的大小. , ?BAC ? 45 ,求平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角(锐角)

7

10. 如图, 已知四棱台 ABCD ? A1B1C1D1 上、 下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形,AA 且 AA1 ? 底面 ABCD , 1 ?6, 点 P , Q 分别在棱 DD1 ,BC 上. (1)若 P 是 DD1 的中点,证明: AB1 ? PQ ; (2)若 PQ / / 平面 ABB1 A1 ,二面角 P ? QD ? A 的余弦值为

3 ,求四面体 ADPQ 的体积. 7

11.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面 体称之为鳖臑. 如图,在阳马 P ? ABCD 中,侧棱 PD ? 底面 ABCD ,且 PD ? CD ,过棱 PC 的中点 E ,作 EF ? PB 交 PB 于点 F ,连 接 DE , DF , BD, BE. (Ⅰ)证明: PB ? 平面DEF .试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写 出结论) ;若不是,说明理由; (Ⅱ)若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为
π DC ,求 的值. 3 BC

12. 如图所示, 在多面体 A 四边形 AA1 B1 B ,ADD1 A 过A 1 的中点, 1B 1D 1DCBA , 1 , D, E 1 , ABCD 均为正方形,E 为 B1 D 的平面交 CD1 于 F. (Ⅰ)证明: EF / / B1C ; (Ⅱ)求二面角 E ? A1D ? B1 余弦值.

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E , F 分 别 在 A1B1 , C1D1 上 , 13 . 如 图 , 长 方 体 ABCD 中 , AB =16 , BC =10 , AA ? 1 AB 1 C 1 D 1 1 ?8 ,点

A1E ? D1F ? 4 .过点 E , F 的平面 ? 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
D1 (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) ; (Ⅱ)求直线 AF 与平面 ? 所成角的正弦值. A1 F C1

E D

B1 C

A

B

14.如图,在几何体 ABCDE 中,四边形 ABCD 是矩形,AB 平面 BEC,BE EC,AB=BE=EC=2,G,F 分别是线段 BE,DC 的中点.

A

(Ⅰ)求证: GF / / 平面 ADE ; (Ⅱ)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值.

D B F C

G E

15.三棱锥 A ? BCD 及其侧视图、俯视图如图所示.设 M , N 分别为线段 AD , AB 的中点, P 为线段 BC 上的点, 且 MN ? NP . (1)证明: P 为线段 BC 的中点; (2)求二面角 A ? NP ? M 的余弦值.

9

16.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,D,D1 分别是线段 BC,B1C1 的中 点,P 是线段 AD 的中点. (I)在平面 ABC 内,试做出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l,说明理由,并证明直线 l⊥平面 ADD1A1; (II)设(I)中的直线 l 交 AB 于点 M,交 AC 于点 N,求二面角 A﹣A1M﹣N 的余弦值.

17. 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, ?APB ? 90 , ?PAB ? 60 , AB ? BC ? CA ,平面 PAB ? 平面 ABC 。 (Ⅰ)求直线 PC 与平面 ABC 所成角的大小; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的大小。

P C

A
18. 如图,在直三棱柱 AB -A1B1C1 中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D 是棱 CC1 上的一点 P 是 AD 的延长线与 A1C1 的延长线的交点,且 PB1∥平面 BDA. (I)求证:CD=C1D: (II)求二面角 A-A1D-B 的平面角的余弦值; (Ⅲ)求点 C 到平面 B1DP 的距离.

B

19.如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, AB ? B1C . (Ⅰ)证明: AC ? AB1 ;
? (Ⅱ)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60 , AB ? BC ,求二面角 A ? A1B1 ? C1 的余弦值.

A

A1

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C

C1

20.如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (1)证明:PB∥平面 AEC; (2)设二面角 D-AE-C 为 60°,AP=1,AD= 3 ,求三棱锥 E-ACD 的体积.

21.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°. (Ⅰ)证明 AB⊥A1C; (Ⅱ)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值。

22. (本小题满分 12 分)如图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E 、P 分别是 BC 、 A1 D1 的中点,M 、 N 分别是 AE 、

CD1 的中点, AD ? AA1 ? a , AB ? 2a
⑴求证: MN // 平面 ADD1 A1 ; ⑵求二面角 P ? AE ? D 的大小; ⑶求三棱锥 P ? DEM 的体积。

0 23. (本小题满分 12 分)如图, PCBM 是直角梯形, ?PCB ? 90 , PM // BC , PM ? 1 , BC ? 2 ,又 AC ? 1 ,

?ACB ? 1200 , AB ? PC ,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 600
⑴求证:平面 PAC ⊥平面 ABC ⑵求二面角 M ? AC ? B 的大小 ⑶求三棱锥 P ? MAC 的体积

24. (本小题满分 12 分)如图,平面 ABEF ? 平面 ABCD ,四边形 ABEF与 ABCD 都是直角梯形,

?BAD ? ?FAB ? 900 , BC //

1 1 AD , BE // AF 2 2

⑴证明: C 、 D 、 F 、 E 四点共面; ⑵设 AB ? BC ? BE ,求二面角 A ? ED ? B 的大小 11

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