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平面向量有详解答案2.1平面向量的实际背景及基本概念


第二章 § 2.1

平面向量

平面向量的实际背景及基本概念

课时目标 1.通过对物理模型和几何模型的探究,了解向量的实际背景,掌握向量的有关 概念及向量的几何表示.2.掌握平行向量与相等向量的概念.

1.向量:既有________,又有________的量叫向量. 2.向量的几何表示:以 A

为起点,B 为终点的向量记作________. 3.向量的有关概念: (1)零向量:长度为__________的向量叫做零向量,记作______. (2)单位向量:长度为______的向量叫做单位向量. (3)相等向量:__________且__________的向量叫做相等向量. (4)平行向量(共线向量):方向__________的________向量叫做平行向量,也叫共线向量. ①记法:向量 a 平行于 b,记作________. ②规定:零向量与__________平行.

一、选择题 1.下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功.其 中不是向量的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.下列条件中能得到 a=b 的是( ) A.|a|=|b| B.a 与 b 的方向相同 C.a=0,b 为任意向量 D.a=0 且 b=0 3.下列说法正确的有( ) ①方向相同的向量叫相等向量; ②零向量的长度为 0; ③共线向量是在同一条直线上的向量; ④零向量是没有方向的向量;⑤共线向量不一定相等;⑥平行向量方向相同. A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 4.命题“若 a∥b,b∥c,则 a∥c”( ) A.总成立 B.当 a≠0 时成立 C.当 b≠0 时成立 D.当 c≠0 时成立 5.下列各命题中,正确的命题为( ) A.两个有共同起点且共线的向量,其终点必相同 B.模为 0 的向量与任一向量平行 C.向量就是有向线段 D.|a|=|b|?a=b 6.下列说法正确的是( ) → → → → A.向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线 B.长度相等的向量叫做相等向量 C.零向量长度等于 0 D.共线向量是在一条直线上的向量

题 号 答 案

1

2

3

4

5

6

二、填空题 7.给出以下 5 个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a 与 b 的方向相反;④|a|=0 或|b|=0;⑤a 与 b 都是单位向量.其中能使 a∥b 成立的是________.(填序号) → → → → 8.在四边形 ABCD 中,AB=DC且|AB|=|AD|,则四边形的形状为________. 9.下列各种情况中,向量的终点在平面内各构成什么图形. ①把所有单位向量移到同一起点; ②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点; ③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点. ①__________;②____________;③____________. → 10.如图所示,E、F 分别为△ABC 边 AB、AC 的中点,则与向量EF共线的向量有 ________________(将图中符合条件的向量全写出来).

三、解答题 11. 在如图的方格纸上,已知向量 a,每个小正方形的边长为 1.

(1)试以 B 为终点画一个向量 b,使 b=a; (2)在图中画一个以 A 为起点的向量 c,使|c|= 5,并说出向量 c 的终点的轨迹是什么?

12. 如图所示,△ABC 的三边均不相等,E、F、D 分别是 AC、AB、BC 的中点.

→ (1)写出与EF共线的向量; → (2)写出与EF的模大小相等的向量; → (3)写出与EF相等的向量.

能力提升 → → → 13. 如图,已知AA′=BB′=CC′.

求证:(1)△ABC≌△A′B′C′; → → → → (2)AB=A′B′,AC=A′C′.

→ → → 14. 如图所示,O 是正六边形 ABCDEF 的中心,且OA=a,OB=b,OC=c.

(1)与 a 的模相等的向量有多少个? (2)与 a 的长度相等,方向相反的向量有哪些? (3)与 a 共线的向量有哪些? (4)请一一列出与 a,b,c 相等的向量.

1.向量是既有大小又有方向的量,解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑. 2.向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.如 a>b 没有意义,而|a|>|b|有意义. 3.共线向量与平行向量是同一概念,规定:零向量与任一向量都平行.

§2.1
知识梳理

平面向量的实际背景及基本概念 答案

→ 1.大小 方向 2.AB 3.(1)0 0 (2)1 (3)长度相等 方向相同 (4)相同或相反 非零 ①a∥b ②任一向量

作业设计 1.D 2.D 3.A [②与⑤正确,其余都是错误的.] 4.C [当 b=0 时,不成立,因为零向量与任何向量都平行.] 5.B [由于模为 0 的向量是零向量,只有零向量的方向不确定,它与任一向量平行,故选 B.] → → → → → → 6.C [向量AB∥CD包含AB所在的直线平行于CD所在的直线和AB所在的直线与CD所在的 直线重合两种情况;相等向量不仅要求长度相等,还要求方向相同;共线向量也称为平行向 量,它们可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,所以 A、B、D 均错.] 7.①③④ 解析 相等向量一定是共线向量,①能使 a∥b;方向相同或相反的向量一定是共线向量, ③能使 a∥b;零向量与任一向量平行,④成立. 8.菱形 → → 解析 ∵AB=DC,∴AB 綊 DC ∴四边形 ABCD 是平行四边形, → → ∵|AB|=|AD|,∴四边形 ABCD 是菱形. 9.单位圆 相距为 2 的两个点 一条直线 → → → 10.FE,BC,CB 解析 ∵E、F 分别为△ABC 对应边的中点, ∴EF∥BC, → → → ∴符合条件的向量为FE,BC,CB. 11.解 (1)根据相等向量的定义,所作向量与向量 a 平行,且长度相等(作图略). (2)由平面几何知识可知所有这样的向量 c 的终点的轨迹是以 A 为圆心, 半径为 5的圆(作图 略). 12.解 (1)因为 E、F 分别是 AC、AB 的中点, 1 所以 EF 綊 BC.又因为 D 是 BC 的中点, 2 → → → → → → → → 所以与EF共线的向量有:FE,BD,DB,DC,CD,BC,CB. → → → → → → (2)与EF模相等的向量有:FE,BD,DB,DC,CD. → → → (3)与EF相等的向量有:DB与CD. → → 13.证明 (1)∵AA′=BB′, → → → → ∴|AA′|=|BB′|,且AA′∥BB′. → 又∵A 不在BB′上,∴AA′∥BB′. ∴四边形 AA′B′B 是平行四边形. → → ∴|AB|=|A′B′|. → → → → 同理|AC|=|A′C′|,|BC|=|B′C′|. ∴△ABC≌△A′B′C′. (2)∵四边形 AA′B′B 是平行四边形, → → → → ∴AB∥A′B′,且|AB|=|A′B′|. → → → → ∴AB=A′B′.同理可证AC=A′C′. 14.解 (1)与 a 的模相等的向量有 23 个. → → → → (2)与 a 的长度相等且方向相反的向量有OD,BC,AO,FE.

→ → → → → → → → → (3)与 a 共线的向量有EF,BC,OD,FE,CB,DO,AO,DA,AD. → → → → → → → (4)与 a 相等的向量有EF,DO,CB; 与 b 相等的向量有DC,EO,FA;与 c 相等的向量有FO, → → ED,AB.


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