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广西南宁外国语学校2012-2013学年高二下学期数学单元素质测试题 简单几何体 Word版含答案]


高二(下)数学单元素质测试题——简单几何体(9.7~9.9)
(考试时间 90 分钟,满分 100 分)姓名_______评价_______ 一、选择题(以下给出的四个备选答案中,只有一个正确. 每小题 5 分,共 40 分) 1.(09 湖南)平面六面体 ABCD — A1B1C1D1 中,既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱的条数为 ( ) A.3

r />B. 4

C.5

D. 6

2.(07 全国Ⅰ)如图,正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1 ? 2 AB ,则 异面直线 A 1B 与 AD 1 所成角的余弦值为( A. ) D.

D1 A1 B1
D

C1

1 5

B.

2 5

C.

3 5

4 5

A

C
B

3. (09 北京)若正四棱柱 ABCD ? A 角, 1B 1C1D 1 的底面边长为 1, AB1 与底面 ABCD 成 60° 则 AC 1 1 到底面 ABCD 的距离为( )

A.

3 3

B. 1

C. 2

D. 3

4. (08 全国Ⅱ)正四棱锥的侧棱长为 2 3 ,侧棱与底面所成的角为 60 ? ,则该棱锥的体积 为( ) B.6 C.9 D.18

A.3

5.(08 湖南)长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的 8 个顶点在同一 个球面上,且 AB=2,AD= 3 , AA 1 ? 1 ,则顶点 A、B 间的球面距离是( )

D1

C1

A1 D O

B1 C

2? A. 4
C. 2?

2? B. 2
D.2 2?

A

B

6. (08 四川延考区)一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径,该正三棱锥的高等于这 个球的直径,则球的体积与正三棱锥体积的比值为( A. )

8 3? 3

B.

3? 3

C.

3? 2

D. 8 3?

7.(09 全国Ⅰ)已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A 1 在底面 ABC 上的

射影为 BC 的中点,则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为(



A.

3 4

B.

5 4

C.

7 4

D.

3 4

8.(10 北京)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,动点 E、F 在棱 A1B1 上.点 Q 是 CD 的中 点, 动点 P 在棱 AD 上, 若 EF=1, DP=x,A1 E=y(x, y 大于零), 则三棱锥 P-EFQ 的体积 ( )

A.与 x,y 都有关 B.与 x,y 都无关 C.与 x 有关,与 y 无关 D.与 y 有关,与 x 无关 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分. 将你认为正确的答案填写在空格上) 9.(08 天津)若一个球的体积为 4 3? ,则它的表面积为 .

10. (10 上海)已知四棱椎 P ? ABCD 的底面是边长为 6 的正方形,侧棱 PA ? 底面 ABCD , 且 PA ? 8 ,则该四棱椎的体积是____________. 11. (11 全国Ⅰ)已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为___________. 三、解答题(本大题共 4 小题,共 45 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 12. ( 本 题 满 分 9 分 , 09 北 京 16 ) 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 是 正 方 形 ,

PD ? 底面ABCD ,点 E 在棱 PB 上.
(Ⅰ)求证:平面 AEC ? 平面PDB ; (Ⅱ)当 PD ?

2 AB 且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.

P

E

D

C

A

B

13.(本题满分 12 分,10 湖南 18) 如图所示,在长方体 ABCD— A 1 B 1 C1 D1 中,AB=AD= 1,AA1=2, M 是棱 C C1 的中点. (Ⅰ) 求异面直线 A 证明: 平面 ABM ? 平面 A1B1M. 1 M和 C1 D1 所成的角的正切值; (Ⅱ) A1 B1 C1 D1

M

A B B C C

D

14.(本题满分 12 分,08 湖北 18)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 A 1 BC ? 侧面

A1 ABB1.
(Ⅰ)求证: AB ? BC; (Ⅱ)若 AA1 ?AC ? a ,直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为 ? ,二面角 A1 — BC — A 的 大小为

? ,求证: ? ? ? ?

?
2

.

A1

C1

B1

A B

C

15. (本题满分 12 分,08 安徽 19)如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, ?ABC ? 点. (Ⅰ)证明:直线 MN∥平面 OCD; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离.

?
4

, OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点,N 为 BC 的中

O

M

A B
N

D C

高二 (下) 数学单元素质测试题——简单几何体(9.7~9.9) (参考答案)
一、选择题答题卡 题号 答案 1 C 2 D 3 D 4 B 5 B 6 A 7 D 8 C

二、填空题 9. 12? .
.w.w

10.

96

w

. 11.

2 . 3
.w.w

12.(Ⅰ)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD. ∵ PD ? 底面ABCD ,∴PD⊥AC. P

? PD ? BD ? D, ∴AC⊥平面 PDB.
∴平面 AEC ? 平面PDB . ? AC ? 面AEC, E (Ⅱ)解:设 AC∩ BD=O,连接 OE, 由(Ⅰ)知 AC⊥平面 PDB 于 O, ∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角. D O A B C

1 ∴O,E 分别为 DB、PB 的中点,OE//PD, OE ? PD . 2
又∵ PD ? 底面ABCD ,∴OE⊥底面 ABCD,OE⊥AO. 在 Rt△AOE 中, OE ?
?

1 2 PD ? AB ? AO , 2 2
?

∴ ?AEO ? 45 ,即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45 . A1 13. 解: (Ⅰ)如图,因为 C1 D1 // B1 A1 , 所以 ?MA1 B1 是异面直线 A1 M和 C1 D1 所成的角.
0 因为 A1 B1 ? 平面 BCC 1 B1 ,所以 ?A1 B1 M ? 90 .

D1 C1

B1

而 A1 B1 =1, B1 M ?

B1C12 ? MC 12 ? 2 ,

M

A

D

故 tan?MA1 B1 ?

B1 M ? 2. A1 B1

即异面直线 A1 M和 C1 D1 所成的角的正切值为 2 (Ⅱ)由 A1 B1 ? 平面 BCC 1 B1 ,BM ? ? 平面 BCC 1 B1 ,得 A1 B1 ? BM ① 由(Ⅰ)知, B1 M ?

2 , BM ? BC 2 ? CM 2 ? 2 , B1 B ? 2 ,

所以 B1 M 2 ? BM 2 ? B1 B 2 .从而 BM ? B1M ② 又 A1 B1 ? B1 M ? B1 , 再由① ②得 BM ? 平面 A1B1M,而 BM ? 平面 ABM, 因此平面 ABM ? 平面 A1B1M.

14. 证明: (Ⅰ)过点 A 在平面 A1ABB1 内作 AD⊥A1B 于 D,则 平面 A1BC⊥侧面 A1ABB1,且平面 A1BC∩侧面 A1ABB1=A1B, 得 AD⊥平面 A1BC.又 BC 所以 AD⊥BC. 因为三棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱, 则 AA1⊥底面 ABC,所以 AA1⊥BC. 又 AA1∩AD=A,从而 BC⊥侧面 A1ABB1, 又 AB 侧面 A1ABB1, 平面 A1BC,

A1

C1

B1

D A B C

故 AB⊥BC. (Ⅱ) 连接 CD,则由(Ⅰ)知∠ACD 就是直线 AC 与平面 A1BC 所成的角,∠ABA1 就是二面角 A1-BC-A 的平面角,即∠ACD=θ ,∠ABA1=?. 于是在 RtΔ ADC 中, sin ? ?

AD AD AD AD ? ,在 RtΔ ADA1 中,sin∠AA1D= , ? AC a AA1 a

∴sinθ =sin∠AA1D,由于θ 与∠AA1D 都是锐角,所以θ =∠AA1D. 又由 RtΔ A1AB 知,∠AA1D+?=∠AA1B+?=

? ? ,故 ? ? ? ? . 2 2
O

15. (Ⅰ)证明:取 OB 中点 E,连接 ME,NE.

OM ? MA, OE ? EB.
M
E

A B
N

D C

ME‖ AB,AB‖ CD, ? ME‖ CD .


NE‖ OC,?平面MNE‖ 平面OCD .

? MN‖ 平面OCD .
证法二:取 OD 中点 F,连接 MF,CF.

1 ? OM ? MA , OF ? FD ,? MF//AD, MF ? AD. 2
又? BN ? NC , BC ? AD , BC // AD ,? NC//AD, NC ?

O

1 AD. 2
A

M

F

? MF//NC,且MF ? NC.
D
N 所以四边形 CFMN 是平行四边形,从而 MN//CF.

B

C

? CF ? 面ODC, MN ? 面ODC,? MN//面ODC.
解: (Ⅱ)

CD‖ AB,∴ ?MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的角(或其补角).

作 AP ? CD于P, 连接 MP .

O

∵OA ? 平面A B C D , ∴CD ? MP .
∵ ?ADP ?

?
4

,∴ DP =

2 . 2


M

MD ? MA2 ? AD2 ? 2
DP 1 ? ∴ cos ?MDP ? ? , ?MDC ? ?MDP ? . MD 2 3 ? 所以 AB 与 MD 所成角的大小为 . 3
解法二:

Q A D P C

B

CD‖ AB,∴ ?MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的角(或其补角).

? cos?MDC ? cos?MDA ? cos?ADC ?
? ?MDC ?

2 2 1 ? ? , 2 2 2

?
3

.

故 AB 与 MD 所成角的大小为

? . 3

∴点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等.连接 OP,过点 A 作 (Ⅲ)∵ AB‖ 平面OCD,
AQ ? OP 于点 Q,∵ AP ? CD, OA ? CD,∴CD ? 平面OAP,∴ AQ ? CD .

又 ∵ AQ ? OP,∴ AQ ? 平面OCD ,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离.

∵OP ? OD2 ? DP 2 ? OA2 ? AD2 ? DP 2 ? 4 ? 1 ?
2 , 2

1 3 2 ? 2 2



AP ? DP ?

2 2 OA AP 2 ? 2 ,所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2 . ∴ AQ ? ? 3 OP 3 3 2 2
解法二:连结 BD、AC.设点 B 到平面 OCD 的距离为 d . 根据题意,得 VB-OCD ? VO-BCD . 即

1 1 S ?OCD ? d ? S ?BCD ? OA , 3 3

O

? S ?OCD ? d ? 2S ?BCD ?
S ?BCD ? 1 1 2 2 BC ? CD ? sin ?BCD ? ? 1? 1 ? ? ? 2 2 2 4
B

M

A
N

D C

AC 2 ? AB 2 ? BC 2 - 2 AB ? AC ? cos 45? ? 2 - 2 , OC ? OA ? AC ? 6 - 2 ,
2 2 2

OD 2 ? OA2 ? AD 2 ? 5.

? cos?ODC ?

OD 2 ? CD 2 - OC 2 5 ? 1 - (6 - 2 ) 10 ? ? , 2OD ? CD 10 2 5 3 10 . 10

? sin ?ODC ? 1 - cos2 ?ODC ?
? S ?OCD ?

1 1 3 10 3 2 OD ? CD ? sin ?ODC ? ? 5 ? 1 ? ? . 2 2 10 4

从而

2 3 2 2 2 d ? 2? ,? d ? . 所以点 B 到平面 OCD 的距离为 . 3 4 4 3


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