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9.2点与直线、两条直线的位置关系


9.2

点与直线、两条直线的 位置关系

第九章

9.2

点与直线、两条直线的位置关系
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-2-

考纲要求 题型 五年考题统计 命题角度分析 1.能根据两条直 线的斜率判定这两 本节考点在近五年高考 条直线平行或垂直. 2013 全国 中,没有单独命过题,仅作为 2.能用解方程组的方 Ⅱ,理 12 一道综合性题目中的工具.在 法求两条相交直线 选择题 2014 全国 解析几何的高考题中,主要涉 的交点坐标. 解答题 Ⅱ,理 10 及有两直线交点坐标的求 3.掌握两点间的距离 2014 全国 解、点到直线的距离的求解 公式、点到直线的 Ⅰ,理 20 及两直线间的平行或垂直条 距离公式,会求两条 件的应用. 平行直线间的距离.

第九章
知识梳理 双击自测

9.2

点与直线、两条直线的位置关系
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1.两直线的位置关系 平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况. (1)两直线平行 对于直线 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2, l1∥l2? k1=k2,且 b1≠b2 . 对于直线 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0, l1∥l2? A1B2-A2B1=0,且 B1C2-B2C1≠0 . (2)两直线垂直 对于直线 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2, l1⊥l2?k1· k2= -1 . 对于直线 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0, l1⊥l2? A1A2+B1B2=0 .

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2.两直线的交点 设直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,将这两条直线的方程联立, 1 x + 1 y + 1 = 0, 得方程组 若方程组有唯一解,则 l1 与 l2相交 ,此解就是 2 x + 2 y + 2 = 0, 两直线交点的坐标;若方程组无解,则 l1 与 l2平行 ;若方程组有无数个解,则 l1 与 l2 重合. 3.有关距离 (1)两点间的距离 (2 -1 )2 + (2 -1 )2 平面上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离|P1P2|= . (2)点到直线的距离 平面上一点 P(x0,y0)到一条直线 l:Ax+By+C=0 的距离
|0 +B0 +C|

d=

2+2

.

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(3)两平行线间的距离 已知 l1,l2 是平行线,求 l1,l2 间距离的方法: ①求一条直线上一点到另一条直线的距离; ②设 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则 l1 与 l2 之间的距离 d=
|1 -2 | 2 + 2

.

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1 2 3 4 5

1.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”. (1)如果直线 l1 与直线 l2 互相平行,那么这两条直线的斜率相等.( (2)如果直线 l1 与直线 l2 互相垂直,那么它们的斜率之积一定等于1 .( ) (3)点 P(x1,y1)到直线 y=kx+b 的距离为
|1 +b| 1+
2

)

.(

)

(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距 离.( ) 线段 AB 的中点在直线 l 上.( )

(5)若点 A,B 关于直线 l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线 AB 的斜率等于- ,且

1

关闭

(1)× (2)× (3)× (4)√

(5)√

答案

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1 2 3 4 5

2.已知直线 ax+3y-1=0 与直线 3x-3y+4=0 垂直,则 a 的值为( A.3 B.-3 C.1 D.-1

)

关闭

由已知得 3a-9=0,得 a=3.
关闭

A
解析 答案

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1 2 3 4 5

3.过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是( A.x-2y-1=0 C.2x+y-2=0 B.x-2y+1=0 D.x+2y-1=0

)

关闭

∵所求直线与直线 x-2y-2=0 平行,∴所求直线的斜率为 ,方程为 y-0= (x-1),即 x-2y-1=0.
关闭

1 2

1 2

A
解析 答案

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1 2 3 4 5



4.已知点 A(a,1),B(4,8)到直线 l:x+y+1=0 的距离相等,则 a 的值 .

关闭

由已知得,
11 或-15

|+2| 13 = ,解得 a=11 或-15. 2 2
关闭

解析

答案

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1 2 3 4 5

5.已知直线 l:x+y-1=0,则点 A(0,0)关于直线 l 对称点 A'的坐标 为 .

关闭

' = 1, ' = 1, ' 设 A'(x',y'),依题意可得 ' ' 解得 ' = 1. + -1 = 0, 2 2

关闭

(1,1) A'的坐标为(1,1). 因此点

解析

答案

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1 2 3 4 5

自测点评 1.对于直线 l1 与直线 l2 相互平行(垂直)的条件一定要注
意其适用范围. 2.求解点到直线、两平行线间的距离时,注意直线方程要用一般式. 3.对称问题是解析几何中的常见问题,尤其要掌握好点关于线的轴对 称与线关于点的中心对称这两种基本形态.

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考点一两条直线的平行与垂直
( 1.直线 l1:2x+(m+1)y+4=0 与直线 l2:mx+3y-2=0 平行,则 m 的值为 ) A.2 B.-3 C.2 或-3 D.-2 或-3

关闭

(方法一)当 m=-1 时,l1:2x+4=0,l2:-x+3y-2=0,显然 l1 与 l2 不平行; 当 m≠-1 时,因为 l1∥l2,所以应满足所以 C m=-3 或 2 为所求.
2 4 2 =- 且≠ ,解得 m=2 或 m=-3. +1 3 +1 3
关闭

(方法二)若 l1∥l2,需 2×3-m(m+1)=0,解得 m=-3 或 m=2.当 m=-3 或 2 时,-2(m+1)-12≠0.

解析

答案

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2. (2014 广东六校联考)如果直线(2a+5)x+(a-2)y+4=0 与直线(2a)x+(a+3)y-1=0 互相垂直,则 a 等于( A.2 B.-2 ) D.-2 或 0 或 2

C.-2 或 2

关闭

由题意得(2a+5)(2-a)+(a-2)(a+3)=0,解得 a=± 2.
关闭

C
解析 答案

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3.直线 x+ay+3=0 与直线 ax+4y+6=0 平行的充要条件是 a= .

关闭

直线 x+ay+3=0 与直线 ax+4y+6=0 平行?a2=4,且 ≠ ?a=-2.
关闭

4

3 6

-2

解析

答案

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点与直线、两条直线的位置关系
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4.与直线 3x+4y+1=0 垂直且过点(2,1)的直线 l 的方程为

.

关闭

(方法一)易知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的斜率为 k, ∵l 与直线 3x+4y+1=0 垂直,∴k= . 又直线 l 过点(2,1), ∴直线 l 的方程为 y-1= (x-2),即 4x-3y-5=0. (方法二)设直线 l 的方程为 4x-3y+c=0, ∵l 过点(2,1),∴4×2-3×1+c=0,∴c=-5. ∴直线 l= 的方程为 4x-3y-5=0. 4x-3y-5 0
关闭

4 3

4 3

解析

答案

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-16-

方法总结 1.对于两直线平行或垂直的问题,解题时先要明确两条
直线的斜率情况,再进行运算. 2.直接用以下方法,可避免对斜率是否存在进行讨论: (1)设直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1∥l2?A1B2-A2B1=0,且 B1C2-B2C1≠0. (2)设直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.

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考点二直线的交点问题
(1)(2014 山东滨州模拟)当 0<k< 时,直线 l1:kx-y=k-1 与直线 l2:ky-x=2k 的交点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 关闭 (2)求经过直线 x+y+ 1= 0 ,与直线 x-y+3=0 的交点,且经过点 A(8,-4)的 = -1 - = -1, 直线方程为 (1)联立 解得 .
2-1 . -1 1 2-1 2-1 ∵0<k< ,∴ <0, >0.∴点 , 在第二象限. 2 -1 -1 -1 -1

1 2

- = 2,

=

(2)由

+ + 1 = 0, 得 x=-2,y=1. - + 3 = 0
1+4 (x+2), -2-8

由点斜式得 y-1=

关闭

(1)B (2)0 x+ 即 x+2y= . 2y=0

解析

答案

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-18-

方法总结 1.两直线相交,其交点坐标一般是通过联立两直线方程
组进行求解. 2.常见的三大直线系方程 (1)与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程是 Ax+By+m=0(m∈R,且 m≠C). (2)与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程是 Bx-Ay+m=0(m∈R). (3)过直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程 为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括 l2.

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对点练习 1 若三条直线 2x+3y+8=0,x-y-1=0 和 x+by=0 相交于一点,
则 b=( A.-1 ) B.1 2

C.2

D.

1 2

关闭

2 + 3 + 8 = 0, = -1, 得 --1 = 0, = -2, 则三条直线交于点(-1,-2). 解方程组
1 即 B-1-2b=0,解得 b=-2.

关闭

解析

答案

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-20-

对点练习 2 (2014 浙江温州十校联考)过两直线 2x-y-5=0 和 x+y+2=0
的交点且与直线 3x+y-1=0 平行的直线方程为 .

关闭

设所求直线为 2x-y-5+λ(x+y+2)=0, 整理得(2+λ)x+(λ-1)y+2λ-5=0. 又所求直线与 3x+y-1=0 平行,
2+ -1 2-5 5 = ≠ ,解得 λ= . 3 1 2 -1 5 所以所求直线为 2x-y-5+ (x+y+2)=0.即 3x+y=0. 3x+y= 0 2

所以

关闭

解析

答案

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-21-

考点三距离公式的应用
正方形的中心在 C(-1,0),一条边所在的直线方程是 x+3y-5=0,求其他 三边所在直线的方程.
关闭

解:点 C 到直线 x+3y-5=0 的距离 d=

|-1-5| 3 10 = . 5 1+9 |-1+| 3 10 = , 5 1+9

设与 x+3y-5=0 平行的一边所在直线的方程是 x+3y+m=0(m≠-5), 则点 C 到直线 x+3y+m=0 的距离 d= 解得 m=-5(舍去)或 m=7, 所以与 x+3y-5=0 平行的边所在直线的方程是 x+3y+7=0. 设与 x+3y-5=0 垂直的边所在直线的方程是 3x-y+n=0, 则点 C 到直线 3x-y+n=0 的距离 d=
|-3+| 3 10 = ,解得 n=-3 或 n=9, 5 1+9

因此,与 x+3y-5=0 垂直的两边所在直线的方程分别是 3x-y-3=0 和 3x-y+9=0.

答案

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-22-

方法总结

1.正方形的四条边中两对边平行,邻边垂直,设平行直线

系和垂直直线系可以较方便地解决,解题时要结合图形进行有效取舍.本题 的解法可以推广到求平行四边形和矩形各边所在直线的方程. 2.运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式 ;运用两平行 线的距离公式时,需先把两平行线方程中 x,y 的系数化为相同的形式.

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对点练习 若两平行直线 3x-2y-1=0,6x+ay+c=0 之间的距离为
2√13 ,则 13

c 的值是

.

关闭

由题意得 =
+1 ∴2

6 3

≠ ,∴ a=-4,c≠ -2,则 6x+ay+c=0 可化为 3x-2y+ =0, 2 -2 -1

2 或-6

13

=

2 13 ,解得 c=2 或 -6. 13

关闭

解析

答案

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-24-

考点四对称问题
直线 l:2x-3y+1=0 关于点 A(-1,-2)对称的直线 l'的方程为 .

关闭

设 P(x,y)为 l'上任意一点, 则 P(x,y)关于点 A(-1,-2)的对称点为 P'(-2-x,-4-y). ∵ 2P' x-在直线 3y-9=0 l 上,∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即 2x-3y-9=0.
关闭

解析

答案

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-25-

点 A(-1,-2)关于直线 l:2x-3y+1=0 的对称点 A'的坐标为

.

关闭

设 A'(x,y),
+2 2 33 · = -1, = , 33 4 +1 3 13 由已知,得 解得 故 A' , 4 13 13 33 4 -1 -2 = . , 13 13 13 2 × 2 -3 × 2 + 1 = 0,
关闭

解析

答案

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-26-

方法总结 1.若点 M(x1,y1)与 N(x,y)关于 P(a,b)对称,则由中点坐标
= 2-1 , 公式得 = 2-1 . 2.直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取两点,利用中点坐 标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或 者求出一个对称点,再利用 l1∥l2,由点斜式得到所求直线方程. 3.点关于直线的对称 关键是抓住两点:一是两对称点的连线与对称轴垂直;二是两对称点的 对称中心在对称轴上,即抓住“垂直平分”,根据垂直及平分各列一方程,联 立求解. 4.直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知 直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.

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-27-

对点练习 1 已知直线 l:x-y-1=0,l :2x-y-2=0.若直线 l 与 l 关于 l 对称,
1 2 1

则 l2 的方程是( A.x-2y+1=0 C.x+y-1=0

) B.x-2y-1=0
关闭

:l1 与 l2 关于 l 对称,则 l1 上任一点关于 l 的对称点都在 l2 上, 故 l 与 l1 的交点(1,0)在 l2 上.

D.x+2y-1=0

又易知(0,-2)为 l1 上一点,设它关于 l 的对称点为(x,y),
+0 -2 -1 = 0, = -1, 2 则 2 得 +2 = -1. × 1 = -1,

即(1,0),(-1,-1)为 l2 上两点,

关闭

B l2 方程为 x-2y-1=0.故选 B. 可得
解析 答案

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9.2

点与直线、两条直线的位置关系
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-28-

对点练习 2 若 m>0,n>0,点(-m,n)关于直线 x+y-1=0 的对称点在直线
x-y+2=0 上,那么 + 的最小值等于
1 4

.
关闭

由题意知(-m,n)关于直线 x+y-1=0 的对称点为(1-n,1+m). 依题意可知 1-n-(1+m)+2=0, 即 m+n=2. 于是 +
9 . 号成立 2
1 4 1 1 4 1 4 1 9 = (m+n)· + = × 5 + + ≥ ×(5+2×2)= ,当且仅当 n=2m 时等 2 2 2 2 关闭

解析

答案

第九章
思想方法 核心规律

9.2

点与直线、两条直线的位置关系
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-29-

满分策略

转化思想在对称问题中的应用
1.若在直线 l 上找一点 P 使到两定点 A,B 的距离之和最小,要看 A,B 两 点相对直线 l 的位置.若 A,B 在直线 l 的异侧,则直接连接 AB,AB 与直线 l 的 交点即为所求;若 A,B 在直线 l 的同侧,则需要找出 A 或 B 中一个点关于直 线 l 的对称点,然后连接另一点与对称点,连线与直线 l 的交点即为所求. 2.若在直线 l 上找一点使到两定点 A,B 的距离之差最大时,则与上面和 最小问题正好相反.若 A,B 在直线 l 的异侧,则需要利用对称转化;若 A,B 在 直线同侧,则 A,B 两点所在直线与 l 的交点即是所求.

第九章
思想方法 核心规律

9.2

点与直线、两条直线的位置关系
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-30-

满分策略

已知直线 l:x-2y+8=0 和两点 A(2,0),B(-2,-4). (1)在直线 l 上求一点 P,使|PA|+|PB|最小; (2)在直线 l 上求一点 P,使||PB|-|PA||最大. 解:(1)设 A 关于直线 l 的对称点为 A'(m,n), 则
-0 = -2, -2 +2 +0 -2· + 8 2 2

解得 = 0,

= -2, 故 A'(-2,8). = 8,

P 为直线 l 上的一点,则|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|,当且仅当 B,P,A' 三点共线时,|PA|+|PB|取得最小值,为|A'B|,点 P 即是直线 A'B 与直线 l 的交 点, = -2, = -2, 解 得 = 3. -2 + 8 = 0, 故所求的点 P 的坐标为(-2,3).

第九章
思想方法 核心规律

9.2

点与直线、两条直线的位置关系
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-31-

满分策略

(2)A,B 两点在直线 l 的同侧,P 是直线 l 上的一点, 则||PB|-|PA||≤|AB|,当且仅当 A,B,P 三点共线时,||PB|-|PA||取得最大值, 为|AB|,点 P 即是直线 AB 与直线 l 的交点,又直线 AB 的方程为 y=x-2, = -2, = 12, 解 得 = 10, -2 + 8 = 0 故所求的点 P 的坐标为(12,10).

第九章
思想方法 核心规律

9.2

点与直线、两条直线的位置关系
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-32-

满分策略

对点练习 若直线 l :y=k(x-4)与直线 l
1

2 关于点(2,1)对称,则直线 l2 恒

过定点( A.(0,4)

) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2)

关闭

由已知,得 y=k(x-4)恒过定点(4,0),且点(4,0)关于点(2,1)对称的点一定在直线 l2 上. 又点(4,0)关于点(2,1)的对称点为(0,2),因此直线 l2 恒过定点(0,2).
关闭

B
解析 答案

第九章
思想方法 核心规律

9.2

点与直线、两条直线的位置关系
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-33-

满分策略

1.对于两条直线的位置关系的判断或求解: (1)若直线斜率均存在且不重合,则一定有:l1∥l2?k1=k2. (2)若直线斜率均存在,则一定有:l1⊥l2?k1· k2=-1. 2.中心对称问题 (1)点关于点的对称一般用中点坐标公式解决. (2)直线关于点的对称,可以在已知直线上任取两点,利用中点坐标公式 求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再根据这两点确定直线的方程;也 可以只求出一个对称点,再利用两对称直线平行关系,由点斜式得到所求直 线即可.

第九章
思想方法 核心规律

9.2

点与直线、两条直线的位置关系
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-34-

满分策略

3.轴对称问题 (1)点关于直线的对称 若两点 P1(x1,y1)与 P2(x2,y2)关于直线 l:Ax+By+C=0 对称,一般由方程组
+ 1 +2 +B 1 2 +C 2 2 2 -1 · - = -1. 2 -1

= 0,

可得到点 P1 关于直线 l 对称点 P2 的坐标(x2,y2)(其中 B≠0,x1≠x2). (2)直线关于直线的对称,若两直线平行,可用距离公式解决;若两直线 不平行,就转化为点关于直线的对称问题.

第九章
思想方法 核心规律

9.2

点与直线、两条直线的位置关系
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-35-

满分策略

1.运用两平行直线间的距离公式时,一定要统一两方程中 x,y 前的系数, 还要清楚该公式其实是通过点到直线的距离公式推导而来的. 2.讨论直线的位置关系涉及含参类直线方程时,一定不要遗漏斜率不 存在、斜率为 0 等特殊情形. 3.“l1⊥l2?A1A2+B1B2=0”适用于任意两条互相垂直的直线.


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