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【数学】1-5-1《曲边梯形的面积》


曲边梯形的面积

1

如何求曲线下方“曲边梯形”的面积。
y y

y

0

x

0

x

o

x

直线

几条线段连成的折线


曲线?

2

y = f(x)

y

S1 O a

Si

Sn

b x

将曲边梯形分成 n个小曲边梯形,并用小矩阵形的面 积代替小曲边梯形的面积, 于是曲边梯形的面积S近似为

S ? S1+ S2 + ? ? ? + Sn
3

分割越细,面积的近似值就越精确。当分 割无限变细时,这个近似值就无限逼近所 求曲边梯形的面积S。
下面是“以直代曲”的具体操作过程

4

曲边梯形的面积 直线x?0、x?1、y?0及曲线y?x2所围成的图形

(曲边三角形)面积S是多少?
为了计算曲边三角形的面积S,将它分割成许多小曲 边梯形 对任意一个小曲边梯形,可以用“直边”代替“曲边” (即在很小范围内以直代曲)。
y

O

1

x

5

(1)分割 把区间[0,1]等分成n个小区间:
i ?1 i n ?1 n [ 0 , ], [ , ], ? ? ?, [ , ], ? ? ?, [ , ], n n n n n n n 1 1 2
每个区间的长度为 ?x ? i n ? i ?1 n ? 1 n

过各区间端点作x轴的垂线,从而得到n个小 曲边梯形,他们的面积分别记作

? S 1 , ? S 2 ,? ? ?, ? S i ,? ? ?, ? S n .
6

(2) 以直代曲
?Si ? f (

i ?1 n

)?x ? (

i ?1 n

)

2

1 n
n

(3)作和

S ? ? S1 ? ? S 2 ? ? ? ? ? ? S n ? ? ? ? ?

? ?S
i ?1

i

?
i ?1

n

i-1 1 f( ) ? n n
2 2

?(
i ?1 2

n

i-1 n

)

2

1 n
2

1 n
3

[ 0 ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? ( n ? 1) ] ( n ? 1) n ( 2 n ? 1) 1 n )( 2 ? 1 n )
7

1 1 n 1 6
3

6

(1 ?

(4)取极限
当 分 割 无 限 变 细 , 即 ? x ? 0 ( 亦 即 n ? ? ? )时 , S ? Sn ? 所以S ? 1 6 1 3 (1 ? 1 n )( 2 ? 1 n )? 1 3 1 3 。

,即所求曲边三角形的面积为

分割

以直代曲

作和

取极限
8

二、定积分的定义
定义 设函数 f ( x ) 在[ a , b ] 上连续, [ a , b ] 中 任 意 插 入 在
若干个分点

a ? x0 ? x1 ? x 2 ? ? ? x n?1 ? x n ? b
在 各 小 区 间 上 任 取 一 点? i ( ? i

把区间[ a , b ] 等分成n 个区间,各 小 区 间 的 长 度 依 次 为
? xi ? b ? a n

? ?xi),

作 乘 积 f (? i ) ? x i ( i ? 1 , 2 , ? )
S ?

并作和

? f (? )
i i ?1

n

a ?b n



当 n ? ?时,上 述 和 式 无 限 接 近 某 个 常 数, 这 个 常 数 叫 做 函 数 f (x)
在 区 间[a , b ]上 的 定 积 分 ,
积分上限

记为
a?b n

积分和

?
积分下限

b a

f ( x ) d x ? lim n? 0

?
i ?1

n

f (? i )

被 积 函 数

被 积 表 达 式

积 分 变 量

[ a , b ] 积分区间

定积分的几何意义:

当 f(x )? 0 时 , 积 分 ? f ( x ) dx 在 几 何 上 表 示 由 y = f (x )、
a

b

x?a、x?b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。

y y?f (x)

y O a b

x
b

?a

b

f (x ) d x ??Sf (x ) d x ?? ??
a

c

c

f

?a
O a

b

f (x ) d x ? ? f (x ) d x ??
a

c

b

c

f (x )d x。

y?f (x)

b x

当f(x)?0时,由y?f (x)、x?a、x?b 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方,

3.下列值等于 1 的是 A.?1xdx ? ?
?0

(

)

B.?1(x+1)dx ? ?
?0

C. 1dx

?1 ? ? ?0

1 D. dx 2
?1 ? ? ?0

? [答案] C ? [解析] 由积分的几何意义可知选C.

定积分的基本性质 性质1.

?

b

a

kf ( x )dx ? k ? f ( x )dx
a

b

性质2. ?a

b

[ f ( x ) ? g( x )]dx ?
c

?

b

a

f ( x )dx ? ? g( x )dx
a
b

b

性质3.

?

b

a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
a c

? [解析] (1)由直线x=-1,x=3,y=0以及 y=3x+1所围成的图形,如图所示:


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