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2011年 北京卷数学(理)


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2011 年普通高等学校招生全国统一考试

数学(理)(北京卷)
本试卷共 5 页,150 分。考试时间长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷 上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题

共 40 分)

一、选择题共 8

小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 1.已知集合 P={x︱x2≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值范围是 A.(-∞, -1] B.[1, +∞) C.[-1,1] D.(-∞,-1] ∪[1,+∞) 2.复数 A.i B.-i C. D.

3.在极坐标系中,圆 ρ=-2sinθ 的圆心的极坐标系是 A. B. C. (1,0) D.(1, ) 4.执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为 A.-3 B.C. D.2 5.如图,AD,AE,BC 分别与圆 O 切于点 D,E,F, 延长 AF 与圆 O 交于另一点 G。给出下列三个结论:

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①AD+AE=AB+BC+CA;

②AF· AG=AD· AE ③△AFB ~△ADG 其中正确结论的序号是 A.①② B.②③ C.①③ D.①②③

6. 根据统计, 一名工作组装第 x 件某产品所用的时间 (单位: 分钟) 为 (A,C 为常数)。已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品用时 15 分钟,那么 C 和 A 的值分别是 A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16 7.某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中,最大的是

A.8 8. 设 ,

B. , ,

C.10 .记

D. 为平行四边形 ABCD 内部 (不 的值域

含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数 为 A. B.

3

C.

D.

第二部分

(非选择题 共 110 分)

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9. 在 中。 b=5, 若 ,tanA=2, sinA=____________;a=_______________。 则 )。若 a-2b 与 c 共线,则

10.已知向量 a=( ,1),b=(0,-1),c=(k, k=___________________。

11.在等比数列{an}中,a1= ,a4=-4,则公比 q=______________; ____________。 12.用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这样的四位数共有__________个。 (用数字作答)

13.已知函数 取值范围是_______

若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则数 k 的

14.曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1,0)和 F? 2(1,0)的距离的积等于常数 的点的轨迹.给出下列三个结论: ① 曲线 C 过坐标原点; ② 曲线 C 关于坐标原点对称; ③若点 P 在曲线 C 上,则△F PF 的面积大于 a 。 其中,所有正确结论的序号是 。 三、解答题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15.(本小题共 13 分) 已知函数 (Ⅰ)求 的最小正周期: 。

(Ⅱ)求 在区间 16.(本小题共 14 分) 如图,在四棱锥 . (Ⅰ)求证: (Ⅱ)若 (Ⅲ)当平面 平面 求 与

上的最大值和最小值。 中, 平面 ,底面 是菱形,

所成角的余弦值; 垂直时,求 的长.

与平面

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17.本小题共 13 分 以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊, 无法确认,在图中以 X 表示。

(Ⅰ)如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (Ⅱ)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树 总棵树 Y 的分布列和数学期望。 (注: 方差 的平均数) , 其中 为 , , ……

18.(本小题共 13 分) 已知函数 (Ⅰ)求 。 的单调区间; ,都有 ≤ ,求 的取值范围。

(Ⅱ)若对于任意的

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19.(本小题共 14 分) 已知椭圆 .过点(m,0)作圆 (I)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (II)将 表示为 m 的函数,并求 的最大值. 的切线 I 交椭圆 G 于 A,B 两点.

20.(本小题共 13 分) 若数列 列,记 = . ,且 〉0 的 数列 ; =2011; , 使得 满足 ,数列 为 数

(Ⅰ)写出一个满足 (Ⅱ)若

,n=2000,证明:E 数列

是递增数列的充要条件是

(Ⅲ) 对任意给定的整数 n (n≥2) 是否存在首项为 0 的 E 数列 , =0?如果存在,写出一个满足条件的 E 数列

;如果不存在,说明理由。

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参考答案
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)C (2)A (3)B (4)D (5)A (6)D (7)C (8)C 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) (10)1

(11)—2 (12)14 (13)(0,1) (14)②③ 三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15)(共 13 分) 解:(Ⅰ)因为

所以

的最小正周期为

(Ⅱ)因为 于是,当 当 (16)(共 14 分) 时, 取得最大值 2; 取得最小值—1.

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证明:(Ⅰ)因为四边形 ABCD 是菱形, 所以 AC⊥BD. 又因为 PA⊥平面 ABCD. 所以 PA⊥BD. 所以 BD⊥平面 PAC. (Ⅱ)设 AC∩BD=O. 因为∠BAD=60° ,PA=PB=2, 所以 BO=1,AO=CO= . 如图,以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系 O—xyz,则 P(0,— 所以 设 PB 与 AC 所成角为 ,则 ,2),A(0,— ,0),B(1,0,0),C(0, ,0).

. (Ⅲ)由(Ⅱ)知 设 P(0,- 则 设平面 PBC 的法向量 则 , ,t)(t>0),

所以 令 所以 同理,平面 PDC 的法向量 因为平面 PCB⊥平面 PDC, 则

所以

=0,即

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解得 所以 PA= (17)(共 13 分) 解(1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, 所以平均数为

方差为

(Ⅱ)当 X=9 时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是:9,9,11,11;乙组 同学的植树棵数是:9,8,9,10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有 4× 4=16 种可能的结果,这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17,18,19,20, 21 事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树 9 棵,乙组选出的同学植树 8 棵”所以 该事件有 2 种可能的结果,因此 P(Y=17)= 同理可得 所以随机变量 Y 的分布列为: Y P EY=17× P(Y=17)+18× P(Y=18)+19× P(Y=19)+20× P(Y=20)+21× P(Y=21) =17× +18× +19× +20× +21× =19 (18)(共 13 分) 解:(Ⅰ) 令 当 k>0 时, x ( ) + ↗ 所以, k<0 时, x ( 的单调递减区间是( 的情况如下 ( ) ,k k )和 0 ,得 . 的情况如下 ( ) — ↘ ,k k 0 0 ;单高层区间是 + ↗ 当 17 18 19 20 21

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)

— ↘ 所以,

0 0

+ ↗ )和

0

— ↘

的单调递减区间是(

;单高层区间是

(Ⅱ) k>0 时, 当 因为 当 k<0 时,由(Ⅰ)知 在(0,+

, 所以不会有 )上的最大值是

所以 解得 故当 (19)(共 14 分) 解:(Ⅰ)由已知得 所以 所以椭圆 G 的焦点坐标为 离心率为 (Ⅱ)由题意知, . .

等价于

时,k 的取值范围是

当 此时

时,切线 l 的方程

,点 A、B 的坐标分别为

当 m=-1 时,同理可得 当 时,设切线 l 的方程为

由 设 A、B 两点的坐标分别为 ,则

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又由 l 与圆 所以

由于当

时,

所以

.

因为 且当 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2. (20)(共 13 分) 解:(Ⅰ)0,1,2,1,0 是一具满足条件的 E 数列 A5。 (答案不唯一,0,1,0,1,0 也是一个满足条件的 E 的数列 A5) (Ⅱ)必要性:因为 E 数列 A5 是递增数列, 所以 . 所以 A5 是首项为 12,公差为 1 的等差数列. 所以 a2000=12+(2000—1)× 1=2011. 充分性,由于 a2000—a1000≤1, a2000—a1000≤1 …… a2—a1≤1 所以 a2000—a≤19999,即 a2000≤a1+1999. 又因为 a1=12,a2000=2011, 所以 a2000=a1+1999. 故 综上,结论得证。 (Ⅲ)令 因为 …… 是递增数列.

所以

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因为 所以 所以要使 即 4 整除 当 为偶数, . 为偶数,

时,有

当 当 列 An, 使得

的项满足, 不能被 4 整除, 此时不存在 E 数


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