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辽宁省人教b版高一数学必修四导学案:2.3.1向量数量积的物理背景及其含义


2.3.1 向量数量积的物理背景及其含义 教学目的: 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义; 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重点:平面向量的数量积定义 教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学过程: 一、复习引入: (1)两个非零向量夹角的概念: 已知非零向量 a 与 b ,作 OA = a ,OB = b ,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫 a 与 b 的夹角. 说明: (1)当 θ=0时, a 与 b 同向; (2)当 θ=π 时, a 与 b 反向; (3)当 θ= ? 时, a 与 b 垂直,记 a ⊥ b ; 2 (4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的.范围是 0?≤?≤180? (2)两向量共线的判定定理 (3)练习 1.若 a =(2,3), b =(4,-1+y),且 a ∥ b ,则 y=( A.6 B.5 C.7 ) D.8 ) 2.若 A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则 x 的值为( A.-3 D.3 B.-1 C.1 (4)力做的功:W = | F || s |cos?,?是 F 与 s 的夹角. 功是标量,力和位移是向量,功是由力和位移确定的,类比这种运算,我们引入 “数量积”的概念。 二、讲解新课: 1.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角是 θ, 则数量│ a ││ b │cos? 叫 a 与 b 的数量积, 记作 a ? b , 即有 a ? b = │ a │ │ b │cos?, (其中0≤θ≤π). 并规定: 0 向量与任何向量的数量积为 0. ?探究:1、向量数量积是一个向量还是一个数量?它的符号什么时候为正?什么 时候为负? 2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别? 【平面向量数量积的几点说明】 (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos?的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积,写成 a ? b ;书写时要特别注意:.符号“ ? ” 在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替. (3) 在实数中, 若 a?0, 且 a?b=0, 则 b=0; 但是在数量积中, 若a ?0 , 且 a ? b =0, 不能推出 b = 0 因为其中 cos?有可能为 0. (4)已知实数 a、b、c(b?0),则 ab=bc ? a=c.但是 a ? b =b ? c a =c 如右图: a ? b = │ a ││ b │cos? = │ b ││OA│, b ? c = │ b ││ c │cos? = │ b ││OA│ ? a ? b =b ? c 但a ? c (5)在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是( a ? b ) c ? a ( b ? c ) 显然,这是因为左端是与 c 共线的向量,而右端是与 a 共线的向量,而一般 a 与 c 不共线. 2.“投影”的概念:作图 定义:│ b │cos?叫做向量 b 在 a 方向上的投影.投影是一个数量,不是向量; 当?为锐角时投影为正值; 影为 0; 当? = 0?时投影为│ b │; 3.向量的数量积的几何意义: 数量积 a ? b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影│ b │cos?的乘积. 探究 1、 :两个向量的数量积的性质:设 a 、 b 为两个非零向量, 1、 a ? b

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