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与名师对话4-5


与名师对话· 系列丛书

高考总复习·课标版·数学(文)

基 础 知 识 回 顾

第五节

函数 y=Asin(ωx+φ)

的图象及三角函数模型的简单应用
考 点 互 动 探 究

课 时 跟 踪 训 练

第1页

第 4章

第 5节

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基 础 知 识 回 顾

最新考纲:1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能 画出 y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数 A,ω ,φ 对函数图 象变化的影响;2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要
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考 点 互 动 探 究

函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题.

第2页

第 4章

第 5节

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基 础 知 识 回 顾

基 础

知 识 回 顾

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考 点 互 动 探 究

第3页

第 4章

第 5节

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1.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时, 要找五个特征点. 如下表所示
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考 点 互 动 探 究

第4页

第 4章

第 5节

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基 础 知 识 回 顾

问题探究 1:用五点法作图找五个点时,如上表应首先 确定哪一行的数据?
π 3π 提示:第二行,即先使 ωx+φ=0,2,π, 2 ,2π,然 后求出 x 的值.
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考 点 互 动 探 究

第5页

第 4章

第 5节

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2.函数 y=sin x 的图象经变换得到 y=Asin(ωx+φ)的 图象的步骤如下
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方法一
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考 点 互 动 探 究

第6页

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问题探究 2:以上两种方法的区别? 提示:方法一先平移再伸缩;方法二先伸缩再平移.
3.当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈[0,+∞))
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考 点 互 动 探 究

2π 1 振幅 周期 表示一个振动时,A 叫作 ,T= ω 叫作 , f=T 叫 作 频率 ,ωx+φ 叫作 相位 ,φ 叫作 初相 .

第8页

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第 5节

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4.三角函数模型的应用 (1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象. (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
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(3)利用收集到的数据作出散点图, 并根据散点图进行函 数拟合,从而得到函数模型.

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第 5节

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1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸 缩,后平移”中向左或向右平移的长度一样.( )
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(2)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为 A,最小值
考 点 互 动 探 究

为-A.(

)

(3)函数 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 T, 那么函数图 T 象的两个相邻对称中心之间的距离为2.(
第10页

)

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第 5节

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π (4)将 y=3sin 2x 的图象向左平移4个单位后所得图象的 解析式是
? π? y=3sin?2x+4?.( ? ?

)
? π? π ? ? y=sin x+4 的图象向右移2 ? ?

? π? (5)y=sin?x-4?的图象是由 ? ?
考 点 互 动 探 究

课 时 跟 踪 训 练

个单位得到的.(

)

[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√

第11页

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2.(2016· 银川一中月考 )为得到函数
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? π? y=cos?x+3?的图 ? ?

象,只需将函数 y=sin x 的图象( π A.向左平移6个长度单位 π B.向右平移6个长度单位

)
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考 点 互 动 探 究

5π C.向左平移 6 个长度单位 5π D.向右平移 6 个长度单位

第12页

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第 5节

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[解析]

因为y=cos

? π? ? ? x + ? 3? ? ?

=sin

?π ? ? π? ? ? ?? ? 2 +?x+ 3 ?? ? ?? ?


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? 5π? ? sin ?x+ ? ? .故其图象可以看作函数y=sin 6 ? ?

x的图象向左平

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5π 移 6 个长度单位而得到.故选C.
[答案] C

第13页

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第 5节

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π 3.若函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R(其中 ω>0,|φ|<2)
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的最小正周期是 π,且 f(0)= 3,则( 1 π A.ω=2,φ=6

)
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1 π B.ω=2,φ=3

考 点 互 动 探 究

π π C.ω=2,φ=6 D.ω=2,φ=3 2π [解析] 由 T= =π,∴ω=2.由 f(0)= 3?2sin φ

ω

π π 3 = 3,∴sin φ= 2 ,又|φ|< 2 ,∴φ= 3 .故选 D. [答案] D
第14页

第 4章

第 5节

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4.(2015· 武汉五月模拟)将函数 f(x)=sin ωx(其中 ω>0)
?3π ? π 的图象向右平移4个单位长度,所得图象经过点? 4 ,0?,则 ? ?
课 时 跟 踪 训 练

ω 的最小值是(
考 点 互 动 探 究

) B.1 D.2

1 A.3 5 C.3

第15页

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第 5节

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[解析] 为

π 将函数 y=sin ωx 向右平移4个单位可得解析式 3π 3π π x= 4 时,y=0,代入令 4 ω-4ω=kπ
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? ωπ? y=sin?ωx- 4 ?,当 ? ?

?ω=2k, 又因为 ω>0, 所以 k=1 时, 得 ω 取得最小值为 2,
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故选 D.

[答案] D

第16页

第 4章

第 5节

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5. (2015· 北京海淀区一模)已知函数 y=sin(ωx+φ)的图 象如图所示,则 ω= ,φ= .
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考 点 互 动 探 究

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第 4章

第 5节

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[解析] =2.

T 7π π 由函数图象可得4=12-3,所以 T=π,则 ω

考 点 互 动 探 究

π π 又由 2×3+φ=π,所以 φ=3.

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[答案] 2

π 3

第18页

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第 5节

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考 点

互 动 探 究

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考 点 互 动 探 究

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第 5节

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考点一

五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象
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用“五点法”作图应抓住四条: (1)将原函数化为 y = Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)或 y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的形 2π 式;(2)求出周期 T= ω ;(3)求出振幅 A;(4)列出一个周期内 的五个特殊点,当画出某指定区间上的图象时,应列出该区 间内的特殊点.

考 点 互 动 探 究

第20页

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第 5节

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利用五点作图法画三角函数图象的关键是准确找出五 个关键点,在找五个关键点的过程中用到了“整体思想”,

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即把 ωx+φ 看作一个整体.

第21页

第 4章

第 5节

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已知函数

? π? y=2sin?2x+3?, ? ?

(1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;
考 点 互 动 探 究

课 时 跟 踪 训 练

? π? (3)说明 y=2sin?2x+3?的图象可由 y=sin ? ?

x 的图象经过

怎样的变换而得到.

第22页

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第 5节

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[解题指导] 切入点:函数 y=sin x 的图象;关键点: 与 x 相对应的五个点.
? π? (1)y=2sin?2x+3?的振幅 ? ?

[解]
考 点 互 动 探 究

2π A=2,周期 T= 2 =π,

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π 初相 φ=3.

第23页

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? π π? ? (2)令 X=2x+ 3 ,则 y=2sin?2x+ ? ?=2sin 3 ? ?

X.

列表,并描点画出图象: x π π -6 12 π 0 2 0 1 0 2 π 3 7π 5π 12 6 3π π 2π 2 0 -1 0 0 -2 0
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考 点 互 动 探 究

X y=sin X
? π? y=2sin?2x+3? ? ?

第24页

第 4章

第 5节

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(3)将 y=sin x 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的
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1 纵坐标不变, 得到 y=sin 2x 的图象; 再将 y=sin 2x 2倍,
? ? π? π? π 的图象向左平移6个单位,得到 y=sin 2?x+6?=sin?2x+3?的 ? ? ? ?
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考 点 互 动 探 究

图象;再将

? π? y =sin?2x+3? 的图象上每一点的横坐标保持不 ? ? ? π? y=2sin?2x+3?的图象. ? ?

变,纵坐标伸长为原来的 2 倍,得到

第25页

第 4章

第 5节

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第 4章

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作三角函数图象的基本方法就是五点法, 注意此法在作 出一个周期上的简图后,应向两端伸展一下,以示整个定义
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域上的图象.

第27页

第 4章

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对点训练
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设函数 为 π,且

? ? π f(x)=cos(ωx+φ)?ω>0,-2<φ<0?的最小正周期 ? ?

?π? f?4?= ? ?

3 2.

课 时 跟 踪 训 练

考 点 互 动 探 究

(1)求 ω 和 φ 的值; (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图象.
第28页

第 4章

第 5节

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?π? ? ? π 2π 3 ? ? ? ? [解] (1)∵T= ω =π, ω=2, 又 f 4 =cos 2×4+φ = 2 , ? ? ? ?
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3 π π ∴sin φ=- 2 ,又-2<φ<0,∴φ=-3.
(2)由(1)得
? π? f(x)=cos?2x-3?,列表: ? ?
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考 点 互 动 探 究

π π π 3 5 π 2x-3 -3 0 2 2π 3π π 5 2 11 0 π x 6 12π 3π 12π 1 1 f (x ) 1 0 -1 0 2 2
第29页

第 4章

第 5节

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图象如图.
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考点二

三角函数图象变换

在进行三角函数图象的左右平移时应注意以下几点: 一 要弄清楚是平移哪个函数的图象,得到哪个函数的图象;二 要注意平移前后两个函数的名称一致,若不一致,应先利用
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考 点 互 动 探 究

诱导公式化为同名函数;三是由 y=Asin ωx 的图象得到 y=
?φ? Asin(ωx+φ)的图象时,需平移的单位数应为?ω?而不是|φ|. ? ?

第31页

第 4章

第 5节

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平移变换和伸缩变换都是针对 x 而言,即 x 本身加减多
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少值,而不是依赖于 ωx 加减多少值.

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第32页

第 4章

第 5节

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基 础 知 识 回 顾

(1)(2016· 沈阳质检 ) 若将函数
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? π? f(x) = sin ?2x+4? 的图象向 ? ?

右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则 φ 的最小正值 是 .

课 时 跟 踪 训 练

第33页

第 4章

第 5节

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(2)(2016·合 肥 质 检 ) 将 函 数
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f(x) = sin(ωx +

? π π? φ)?ω>0,-2≤φ<2?图象上每一点的横坐标缩短为原来的一 ? ?

π 半,纵坐标不变,再向右平移6个单位长度和到 y=sin x 的 图象,则
?π? f?6?= ? ?

课 时 跟 踪 训 练

考 点 互 动 探 究

.
切入点:变换的顺序;关键点:先平移后

[解题指导]

伸缩,还是先伸缩后平移.

第34页

第 4章

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[解析] (1)∵函数 单位得到

? π? f(x)=sin?2x+4?的图象向右平移 ? ?

φ个

? ? ? π? π g(x)=sin?2?x-φ?+4?=sin?2x+4-2φ?, ? ? ? ?

π π 又∵g(x)是偶函数,∴4-2φ=kπ+2(k∈Z).
考 点 互 动 探 究

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kπ π ∴φ=- 2 -8(k∈Z). 3π 当 k=-1 时,φ 取得最小正值 8 .

第35页

第 4章

第 5节

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π (2)把函数 y=sin x 的图象向左平移6个单位长度得到 y
? π? =sin?x+6?的图象, 再把函数 ? ? ? π? y=sin?x+6?图象上每一点的横 ? ?
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坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 f(x) =
考 点 互 动 探 究

?1 ?π? ?1 π π? π? sin?2x+6?的图象,所以 f?6?=sin?2×6+6?=sin ? ? ? ? ? ?

π 2 4= 2 .

3π 2 [答案] (1) 8 (2) 2

第36页

第 4章

第 5节

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(1)形式上的正弦型函数为偶函数时, 它一定能够通过诱 导公式化为余弦型函数; (2)函数图象的平移遵循 “左加右
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减”的法则,同时变换的只是自变量 x.

第37页

第 4章

第 5节

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[拓展探究] (1)本例(1)中的“关于 y 轴对称”改为“关 于原点对称”,结果如何? (2)将本例(2)变为:若将函数
? π? y=tan?ωx+4?(ω>0)的图象 ? ?
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考 点 互 动 探 究

? π? π 向右平移6个单位长度后, 与函数 y=tan?ωx+6?的图象重合, ? ?

则 ω 的最小值为



第38页

第 4章

第 5节

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基 础 知 识 回 顾

[解析] (1)∵函数 单位得到

? π? f(x)=sin?2x+4?的图象向右平移 ? ?

φ个

? ? ? π? π g(x)=sin?2?x-φ?+4?=sin?2x+4-2φ?, ? ? ? ?

π 又∵g(x)是奇函数 ,∴4-2φ=kπ(k∈Z).
考 点 互 动 探 究

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kπ π ∴φ=- 2 +8(k∈Z). π 当 k=0 时,φ 的最小正值为8.

第39页

第 4章

第 5节

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(2)将函数

? π? π y=tan?ωx+4?(ω>0)的图象向右平移6个单位 ? ? ? π ωπ? y=tan?ωx+4- 6 ?(ω>0)的图象,与函数 ? ?

长度后,得到函数

? π? π ωπ π ? ? ωx + y=tan 6?的图象重合,所以4- 6 =6+kπ(k∈Z),所以 ?
考 点 互 动 探 究

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1 k=0 时,ω 的最小值为2.

1 π [答案] (1)8 (2)2

第40页

第 4章

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考点三

根据图象和性质确定函数解析式
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求三角函数的解析式,即求三角函数式 y=Asin(ωx+φ) +h 中的参数 A、ω、φ、h,可借助于图象的直观性,结合

考 点 互 动 探 究

各个参数的几何意义求解;若能用好它与函数 y=sin x 图 象上五个特殊点的对应关系可简化运算.

第41页

第 4章

第 5节

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基 础 知 识 回 顾

应用待定系数法求解时, 尽量选择最高点或最低点列方
考 点 互 动 探 究

程,若选择函数值为零的点时,应分清是第几个零点.

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第42页

第 4章

第 5节

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(1)(2015· 沈阳模拟)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)的图象
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?π? 2 ? ? 如图所示,f 2 =-3,则 ? ?

f(0)=(

)
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考 点 互 动 探 究

2 A.-3
第43页

1 B.-2

2 C.3

1 D.2
第 4章 第 5节

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(2)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象
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如图所示,则函数 f(x)的解析式为



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考 点 互 动 探 究

[解题指导] 切入点:A、ω、φ 的意义;关键点:由特 殊点确定 φ.
第44页

第 4章

第 5节

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T 11π 7π π [解析] (1)由三角函数图象得2 = 12 -12=3,
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2π 2π 即 T= 3 ,所以 ω= T =3. 7π 又 x=12是函数单调增区间中的一个零点, 7π 3π 所以 3×12+φ= 2 +2kπ, π 解得 φ=-4+2kπ,k∈Z, 所以
第45页

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考 点 互 动 探 究

? π? f(x)=Acos?3x-4?. ? ?
第 4章 第 5节

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?π? 2 ? ? f? ?=-3,得 ?2?

2 2 A= 3 ,

π? 2 2 ? ? 所以 f(x)= 3 cos?3x- ? ?, 4 ? ?
考 点 互 动 探 究

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? π? 2 2 2 ? 所以 f(0)= 3 ·cos? - ? ?=3.故选 C. 4 ? ?

第46页

第 4章

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考 点 互 动 探 究

(2)由题图可知 A= 2, T 7π π π 解法一:4=12-3=4, 所以 T=π,故 ω=2, 因此 f(x)= 2sin(2x+φ), ?π ? 又?3,0?对应五点法作图中的第三个点, ? ? π 因此 2×3+φ=π, π 所以 φ=3, ? π? 故 f(x)= 2sin?2x+3?. ? ?
第47页

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第 4章

第 5节

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?π ? ?7π 解法二:以 ?3,0?为第二个“零点”,?12,- ? ? ?
基 础 知 识 回 顾

? 2?为最 ?

小值点, ? π ?ω· 3+φ=π, 列方程组? 7π 3π ?ω· +φ= 2 , ? 12 故 f (x )=
? π? 2sin?2x+3?. ? ?

ω=2, ? ? 解得? π φ=3, ? ?

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考 点 互 动 探 究

[答案] (1)C (2)f(x)=

? π? 2sin?2x+3? ? ?

第48页

第 4章

第 5节

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确定 y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的解析式的步骤 (1)求 A,b,确定函数的最大值 M 和最小值 m,则 A=

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M-m M+m 2π 2 ,b= 2 ;(2)求 ω, 确定函数的周期 T,则 ω= T ; (3)求 φ,常用方法有:①代入法;②五点法.

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对点训练 1.函数 f(x)=2sin(ωx+φ)
? π π? ?ω>0,- <φ< ?的部分图象 2 2? ?

如图所示,则 ω,φ 的值分别是(
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)

π A.2,-3 π C.4,-6

π B.2,-6 π D.4,3

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5π ? π? 2π 3 [解析] 因为12-?-3?= ω · ,所以 ω=2,又因为 4 ? ? 5π π π 2×12+φ=2,所以 φ=-3,故选 A.

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[答案] A

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2 . (2015·沈 阳 质 检 ) 函 数
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y = Acos(ωx + y =Acos(ωx

? π? φ)?A>0,ω>0,|φ|<2?的图象如图所示,则函数 ? ?

+φ)的单调递减区间是( ) ? π 5π? A.?2kπ+4,2kπ+ 4 ?,k∈Z ? ?
? π 3π? B.?2kπ-4,2kπ+ 4 ?,k∈Z ? ? ? π 5π? C.?kπ+8,kπ+ 8 ?,k∈Z ? ? ? π 3π? D.?kπ-4,kπ+ 4 ?,k∈Z ? ?
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[解析]

1 7π 3π π 解法一:A=1,2T= 8 - 8 =2,T=π,∵T=
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2π 3π 3π π 3π 2π ω ,∴ω=2,令 x= 8 ,得 8 ×2+φ=2, 4 +φ= 4 ,φ=
? π? π π π ? ? -4,∴y=cos 2x-4 .由 2kπ≤2x-4≤π+2kπ,得 kπ+8 ? ?

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? π 5π? 5π ≤x≤ 8 +kπ,k∈Z,∴单调减区间为?kπ+8,kπ+ 8 ?,k∈ ? ?

Z,故选 C.

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π T 7π 3π π 解法二: 由2= 8 - 8 = 2 , 得 T=π.由图知当 x= 8 5π 时,y 有最大值;当 x= 8 时,y 有最小值,故函数的单调
? π 5π? ? 递减区间为?kπ+ ,kπ+ ? ?,k∈Z.故选 8 8 ? ?
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C.

[答案] C

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3. (2016· 南京、 盐城模拟)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A, ω, φ 为常数,A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则 为 .
?π? f?3?的值 ? ?

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[解析]
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3 11π π 3 由三角函数图象可得 A=2,4T= 12 -6=4π,

所以周期
?π ? 2π T=π= ω ,解得 ω=2.又函数图象过点?6,2? ? ?
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所以 所以

?π? ? ? π f?6?=2sin?2×6+φ?=2,0<φ<π,解得 ? ? ? ?

π φ=6,

? ?3π π? π? ?π? f(x)=2sin?2x+6?,f?3?=2sin? 3 +6?=1. ? ? ? ? ? ?

[答案] 1

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———————方法规律总结———————— [方法技巧] 1.五点法作图及图象变换问题 (1)五点法作简图要取好五个关键点,注意曲线凸凹方
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向. (2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量 x 而言,而 不是看角 ωx+φ 的变化.

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2.由图象确定函数解析式 由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象确定 A、ω、φ 的题型,常
? φ ? 常以“五点法”中的第一个零点?-ω,0?作为突破口,要从 ? ?
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图象的升降情况找准第一个零点的位置. 要善于抓住特殊量 和特殊点.

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3.对称问题 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与 x 轴的每一个交点均为其 对称中心, 经过该图象上坐标为(x, ± A)的点与 x 轴垂直的每
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一条直线均为其图象的对称轴, 这样的最近两点间横坐标的 差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离).

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[易错点睛]
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1. 由函数 y=sin x 的图象经过变换得到 y=Asin(ωx+φ) 的图象,如:先伸缩,再平移时,要把 x 前面的系数提取出 来. 2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数 y=
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Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的单调区间的确定, 基本思想是把 ωx +φ 看作一个整体.若 ω<0,要先根据诱导公式进行转化.
3.函数 y=Asin(ωx+φ)在 x∈[m,n]上的最值可先求 t =ωx+φ 的范围,再结合图象得出 y=Asin t 的值域.
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请做:课时跟踪训练(二十二)
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