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山东省菏泽市曹县三桐中学2014-2015学年高二数学上学期期末模拟考试试题 理


曹县三桐中学 2014-2015 学年度 1 月数学试题(理)
第 I 卷(选择题) 一、选择题(本题共 10 道小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.若命题“ p ? q ”为假,且“ ?p ”为假,则( ) A

p 或 q 为假

B

q假

C

q真

D

不能判断 q 的真假

2.已知 u ? (?2, 2,5) , v ? (6, ?4, 4) , u , v 分别是平面 ? , ? 的法向量,则平面 ? , ? 的 位置关系式( A.平行 ) B.垂直 C.所成的二面角为锐角 ) D.所成的二面角为钝角

3.下列命题是真命题的是(

A. “若 x ? 0 ,则 xy ? 0 ”的逆命题; B. “若 x ? 0 ,则 xy ? 0 ”的否命题; C. “同位角相等”的逆命题; D. “若 x ? 2 ,则 ( x ? 2)( x ? 1) ? 0 ”的逆否命题 4.空间中有四点 A(?3, 4, 4) , B(?4,5, 4) , C (2,3, 4) , D(3,3,3) ,则两直线 AB, CD 的夹角 是( A. 60 ) B. 120 C. 30 D. 150 ( )

5.已知直线 y=x-l 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A,B 两点,则 AB 等于 (A) 4 2 (B)6 (C)7 (D)8

6.已知 a ? ?1 ? t ,2t ? 1,0?, b ? ?2, t , t ?,则 b ? a 的最小值为( A.



2

B.

6

C.

5

D.

3


7.正方体 ABCD—A1 B1 C1 D1 中直线 A1C1 与平面 A1 BD 夹角的余弦值是(

A.

2 4
2

B.
2

2 3

C.

3 3

D.

3 2

8.椭圆 5x ? ky ? 5 的一个焦点是 (0, 2) ,那么实数 k 的值为 A、 ?25 B、 25
2

C、 ?1

D、 1

9.设 P 为双曲线 x ?

y2 ? 1上的一点,F1 , F2 是双曲线的两个焦点, 若 PF 1 : PF 2 ? 5: 3 , 则 3
-1-

?PF1F2 的面积是
(A) 4 2

( (B)6

) (C)7 (D)8

10.已知方程 ax2 ? by 2 ? ab 和 ax ? by ? c ? 0 ,其中, ab ? 0, a ? b, c ? 0 ,它们所表示的曲 线可能是下列图象中的

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(本题共 5 道小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.命题“ ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是 ▲ .

12.三点 A(1,5,?2) , B(2,4,1) , C ( p,2, q ? 2) ,若 A、B、C 三点共线,则 p ? q =____.

x2 2 13.设 P 为双曲线 ? y =1 上一动点,O 为坐标原点,M 为线段 OP 的中点,则点 M 的轨迹方 4
程是 . 东偏北 300 方向 2 3 km

14.如图,南北方向的公路 l ,A 地在公路正东 2 km 处,B 地在 A

处,河流沿岸曲线 PQ 上任意一点到公路 l 和到 A 地距离相等。现要在曲线 PQ 上一处建一座 码头, 向 A、B 两地运货物,经测算,从 M 到 A、到 B 修建费用都为 a 万元/km,那么,修建这条公路的总费用最低是_______________万元.

15.已知直线 m x ? y ? 1 ? 0 交抛物线 y ? x 于 A 、 B 两点,则△ AOB 为_________
2

①.为直角三角形

②.为锐角三角形

③.为钝角三角形

-2-

三、解答题(本题共 6 道小题,第 1 题 12 分,第 2 题 12 分,第 3 题 12 分,第 4 题 12 分,第 5 题 13 分,第 6 题 14 分,共 75 分) 16.已知 p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若?p 是?q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.

17.(本小题满分 1 2 分)在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, A 1 A ? 底面 ABC,

?ACB ? 90 , AA1 ? AC ? BC ? 2 ,D 为 AB 中点.
(I)求证: BC1 ∥平面 ACD ; 1 (Ⅱ)求直线 AA1 与平面 ACD 所成角的正弦值. 1

18.如图, 在四棱锥 V ? ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, 侧面 VAD 是正三角形,平面 VAD ? ABCD 底面 . (Ⅰ)证明: AB ? 平面 VAD ; (Ⅱ)求二面角 A ? VD ? B 的平面角的余弦值

V C

-3-

19.(本小题满分 13 分)已知椭圆的焦点在 x 轴上,短轴长为 4,离心率为

5 . 5
16 5, 9

(1)求椭圆的标准方程; (2) 若直线 l 过该椭圆的左焦点, 交椭圆于 M、 N 两点, 且 MN ? 求直线 l 的方程.

20.(本题满分 14 分) 某高速公路隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方形构成(如图所示) 。 已知隧道总宽度 AD 为 6 3 m,行车道总宽度 BC 为 2 11 m,侧墙 EA、FD 高为 2m,弧顶高 MN 为 5m。 (1)建立适当的直角坐标系,求圆弧所在的圆的方程; (2)为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少 要有 0.5 m。请计算车辆通过隧道的限制高度是多少。

-4-

x2 y 2 21.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,其右顶点 A(2,0), a b
离心率 e ?

3 . 2

(I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N(M,N 不与左、右顶点重合) ,且

MA ? NA ? 0 .求证:直线 l 过定点,并求出定点的坐标.

-5-

试卷答案 1.B 2.B 3.D 4.A 5.D 6.A 7.C 8.D 9.B 10.B

11. ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 12.9 13. x2 ? 4 y 2 ? 1 14. 15.① 16. 略 17.

18.证明:以 D 为坐标原点,建立如图所示的坐标图系. (Ⅰ)证明:不防设作 A(1, 0, 0) ,

则 B(1,1, 0) , V ( ,0,

1 2

3 ), 2

1 3 AB ? (0,1,0),VA ? ( ,0,? ) 2 2
由 AB ? VA ? 0, 得 AB ? VA ,又 AB ? AD ,因而 AB 与平面 VAD 内两条相交直线 VA ,

AD 都垂直. ∴ AB ? 平面 VAD .

-6-

(Ⅱ)解:设 E 为 DV 中点,则 E ( ,0,

1 4

3 ), 4

3 3 3 3 1 3 EA ? ( ,0,? ), EB ? ( ,1,? ), DV ? ( ,0, ). 4 4 4 4 2 2
由 EB ? DV ? 0, 得EB ? DV , 又EA ? DV. 因此, ?AEB 是所求二面角的平面角,

cos( EA, EB ) ?

EA ? EB | EA | ? | EB |

?

21 , 7

19. (1)设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 , (2 分) a 2 b2
(4 分), (4 分) a 2 ? b2 ? c 2 ,

由已知有: 2b ? 4, e ?

c 5 ? a 5

解得: a2 ? 5, b ? 2, c2 ? 1, c ? 1

x2 y 2 ? ? 1 ①(6 分) ∴ 所求椭圆标准方程为 5 4

∴? ?100k ? 4(5k ? 20)(4 ? 5k ) ? ? (1 ? k ) ? 81 (4 ? 5k )
4 2 2 2

1280

2 2

∴ 320(1 ? k ) ?
2 2

1280 (4 ? 5k 2 ) 2 81
-7-

∴1? k 2 ?

2 (4 ? 5k 2 ) 9

∴ k 2 ? 1,

k ? ?1

∴l 的方程为 y ? x ? 1

或 y ? ? x ? 1 (13 分)

20.解: (1)方法一:以 EF 所在直线为 x 轴,以 MN 所在直线为 y 轴,以 1m 为单位长度建立 直角坐标系 ???2 分 则有 E ( ,0) ,F( ,0),M0,3) ???3 分 ?4 分

由于所求圆的圆心在 y 轴上,所以设圆的方程为 ∵F( ,0),M(0,3)都在圆上,



?????6 分

解得 b=-3, 所以圆的方程为

????????8 分 ??????????10 分

略 21.

-8-

-9-

曹县三桐中学 2014-2015 学年度 1 月数学试题(理)答题纸

11.____________________

12.___________________ 14____________________

13______________________ 15____________________

16

班级___________________ 考号_________________ 姓名_________________

- 10 -

17

18
V C

A

B

19
- 11 -

20

21

- 12 -


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