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第六节 对数与对数函数


考纲要求: 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般 对数转化成自然对数或常用对数; 了解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数 函数图象通过的特殊点. 3.知道对数函数是一类重要的函数模型. 4. 了解指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数(a>0, 且 a≠1). 1.对数的概念 如果 ax=N(a>0 且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数, 记作 x=logaN ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则: 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 M log M + log N a a ①loga(MN)= ;②loga N = logaM-logaN ; n log M ③logaMn= nlogaM (n∈R);④logamMn= m a . (2)对数的性质: ①alogaN= N ;②logaaN= logaN logbN= logab N (a>0 且 a≠1). (3)对数的重要公式: ①换底公式: (a,b 均大于零且不等于 1); logad 1 ②logab= ,推广 logab· logbc· logcd= logba . 3.对数函数的图象与性质 a>1 图象 (1)定义域: (0,+∞) (2)值域:R 性质 (3)过定点 (1,0) ,即 x= (4)当 x>1 时, y>0 当 0<x<1 时, y<0 0<a<1 1 时,y= 0 y<0 y>0 ; (5)当 x>1 时, 当 0<x<1 时, ; (6)在(0,+∞)上是 增函数 (7)在(0,+∞)上是 减函数 4.反函数 指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1) 互为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称. [自我查验] 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)(-2)3=-8 可化为 log(-2)(-8)=3.( ) ) (2)若 MN>0,则 loga(MN)=logaM+logaN.( (3)logax· logay=loga(x+y).( ) 1 (4)函数 y=log2x 及 y=log 3x 都是对数函数.( 3 ) (5) 对 数函数 y = logax(a>0 ,且 a≠1) 在 (0 , +∞) 上 是 增函 数.( ) 1+x (6) 函 数 y = ln 与 y = ln(1 + x) - ln(1 - x) 的 定 义 域 相 1-x 同.( ) (7)对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)的图象过定点(1,0),且过点 ?1 ? (a,1),?a,-1?,函数图象只在第一、四象限.( ? ? ) (7)√ 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 2.计算: (1)log35-log315=________. (2)log23· log34· log45· log52=________. (3)2log25=________. 答案:(1)-1 (2)1 (3)5 3.函数 y= 1 log ?3x+4?的定义域为________. 3 ? 4 ? 答案:?-3,-1? ? ? 4.函数 y=loga(3x-2)(a>0,a≠1)的图象经过定点 A,则 A 点坐标是_

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