当前位置:首页 >> 高三数学 >>

高考第一轮复习——函数的奇偶性(文)






高三 孙力





数学(文)





人教版(文)

内容标题 编稿老师

函数的奇偶性

【本讲教育信息】
一. 教学内容: 函数的奇偶性 1. 概念 一般地,对于函数 y ? f ( x) (1)如果对于函数定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,那么函数 y ? f ( x) 就 叫奇函数。 (2)如果对于函数定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 就叫做 偶函数。 注: ① 函数为奇函数或偶函数的一个必要条件是函数的定义域关于原点对称 ② 对于 f (? x) ? ? f ( x) 与 f (? x) ? f ( x) 应从数形两方面理解
定义域的对称性? 值域的对称性 ?

? 点 ( x, y ) 的对称性,即函数图象的对称性

f (? x) ? ? f ( x) ? P(a, b), P ?(?a,?b) ? b ? f (a),?b ? f (?a)? ? ? P 与 P ? 均在 y ? f ( x) 图象上 f (? x) ? f ( x) ? P(a, b), P ?(?a, b) ? b ? f (a), b ? f (?a) ? ?

③ 刻画的为函数的整体性质 2. 奇偶性的性质 (1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形,反过来,如果一个函数的图象关于原点 成中心对称图形,那么此函数是奇函数。 证( ? )设函数 f ( x) 是奇函数,则 f (? x) ? ? f ( x) ,在函数 y ? f ( x) 图象上任取一 点 P( a, f (a) ) ,则 P ?(?a, f (?a)) 即 P ?(?a,? f (a)) 也是图象上一点,而 P ? 是 P 关于原点 O 的对称点,所以函数 y ? f ( x) 图象上任意一点关于原点的对称点都在 y ? f ( x) 图象上, 即 y ? f ( x) 的图象关于原点成中心对称 ( ?)设 y ? f ( x) 图象成中心对称,在 y ? f ( x) 图象上任取一点 P( a, f (a) ) ,则 P 关于原点的对称点 P ? ( ? a,? f (a) )也在 y ? f ( x) 上 ∵ x ? ?a 时, f ( x) ? f (?a) 而函数值是唯一的,∴ f (?a) ? ? f (a) 由 x 的任意性知,在 f ( x) 的定义域内有 f (? x) ? ? f ( x) ,故 f ( x) 为奇函数 (2)偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形,反过来,若一个函数的图象关于 y 轴成轴 对称图形,则此函数是偶函数。证明略。 (3)如果 f ( x) 和 g ( x) 都是奇(偶)函数,则函数 mf ( x) ? ng( x) 也是奇(偶)函数 证:设 f ( x) , g ( x) 都是奇函数,设 ? ( x) ? mf ( x) ? ng( x) ∵ f ( x) 和 g ( x) 都是奇函数 ∴ ? (? x) ? mf (? x) ? ng(? x) ? ?mf ( x) ? ng( x) ? ?? ( x) ( f ( x)、g ( x) 都是偶函数同理可证)

第 1 页 版权所有

不得复制

推论: ① 两个奇(偶)函数的和与差都是奇(偶)函数 ② 奇(偶)函数与常数之积是奇(偶)函数 ③ 两个非零的一奇一偶函数之和既非奇函数又非偶函数 对③设 f ( x) 奇函数, g ( x) 偶函数,令 G( x) ? f ( x) ? g ( x) (反证)若 G( x) ? f ( x) ? g ( x) 是奇函数,则 g ( x) ? G( x) ? f ( x) 是奇函数而与 g ( x) 是偶函数矛盾,若 G( x) ? f ( x) ? g ( x) 是偶函数,则 f ( x) ? G( x) ? g ( x) 是偶函数与 f ( x) 是奇函数矛盾, 但非奇非偶函数的和、 差、 积、 商可能是奇或偶函数, 如 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 ,

g ( x) ? x 2 ? x ? 1, f ? g 偶, f ? g 奇, f ? g 偶
(4)奇偶性相同的两个函数之积(商)为偶函数,而奇偶性相异的两个函数之积(商) 为奇函数(证略) (5)函数 y ? f ( x) 既是奇函数又是偶函数的充要条件是 f ( x) ? 0 证: f ( x) 既奇又偶 ? f (? x) ? ? f ( x) 且 f (? x) ? f ( x) ? ? f ( x) ? f ( x)

? f ( x) ? 0 ,且 f ( x) 定义域关于原点对称,非恒为 0 函数,是奇则必非偶,是偶则必非
奇。 (6) 如果定义在 A 上的奇函数 y ? f ( x) 存在反函数 x ? f 也是奇函数 证:设 y ? f ( x) 的值域 B ,则 B 即 x ? f
?1 ?1

则反函数 x ? f ?1 ( y) ( y) ,

( y) 的定义域,设 y0 ? B ,则有唯一的

x0 ? A , 使 得 y0 ? f ( x0 ) , 从 而 有 x0 ? f ?1 ( y0 ) , 又 因 f ( x) 是 奇 函 数 , 所 以
f (? x0 ) ? ? f ( x0 ) ? ? y0 ,从而有 ? y0 ? B 且有 f ?1 (? y0 ) ? ? x0 ? ? f ?1 ( y0 ) ,即 x ? f ?1 ( y) 是奇函数。
(7)定义在对称区间 [?a, a] 内的任何函数 f ( x) 都可表示成一个偶函数与一个奇函数 之和。

1 1 [ f ( x) ? f (? x)] , G ( x) ? [ f ( x) ? f (? x)] 2 2 则 f ( x) ? F ( x) ? G( x) ,而 F (? x) ? F ( x) , G(? x) ? ?G( x) 即 F ( x) 与 G ( x) 分别为偶函数和奇函数,故命题得证 (8)在复合函数 y ? f [ g ( x)] 中 ① 若 g ( x) 为偶函数,则 f [ g ( x)] 为偶函数 ② 若 g ( x) 为奇函数, f ( x) 为偶(奇)函数,则 f [ g ( x)] 是偶(奇)函数(证明略)
证明:对于 f ( x) ,令 F ( x ) ? 3. 函数奇偶性的判定方法: (1)定义法: f (? x) ? ? f ( x) 或 f (? x) ? f ( x) ? 0 , (2)图象法 (3)性质法 (1)定义法 [例 1] 判断下列函数的奇偶性,并予以证明。

f (? x) ? ? 1( f ( x) ? 0 ) f ( x)

1? x2 ? x ?1 1 1 f ( x ) ? ? ( 2 ) 2x ?1 2 1? x2 ? x ?1 证明: (1) f ( x) 的定义域 (??,0) ? (0,??) ,关于原点对称
(1) f ( x ) ?

第 2 页 版权所有

不得复制

3 3 , f ( ?1) ? ? ,猜想 f ( x) 是奇函数 2 2 x 1 1 2 1 2x 1 2x ?1? 2x 1 f ( ? x) ? ? x ? ? ? ? ( ? 1 ) ? ? ? 2 2 2 ?1 2 1? 2x 2 1? 2x 1? 2x 1 1 ? ?( x ? ) ? ? f ( x) 2 ?1 2 ∴ f ( x) 是奇函数 有时证明 f (? x) ? ? f ( x) 较繁,可变通证等价命题 f (? x) ? f ( x) ? 0
不妨取两个特殊值 f (1) ?

1 1 1 2x 1 1? 2x ? ? ? ? ? 1 ? ?1 2?x ? 1 2 2 x ? 1 2 1 ? 2 x 2 x ? 1 2x ?1 ? ?1 ? 1 ? 0 ∴ f ( ? x) ? f ( x) ? 0 ∴ f ( x) 是奇函数 f (? x) ? f ( x) ? 1 ?
(又如证 f ( x) ? log a

x 2 ? 1 ? x 为奇函数,利用 f (? x) ? f ( x) ? 0 简单)

证(2)令 1 ? x 2 ? x ? 1 ? 0 ,即 1 ? x 2 ? ?( x ? 1) 两边平方得

1 ? x 2 ? x 2 ? 2 x ? 1 ? x ? 0 经检验 1 ? 02 ? 0 ? 1 ? 2 ? 0
故方程在实数范围内无解,即对任意 x , 1 ? x 2 ? x ? 1 ? 0 于是定义域为 R (或利用 1 ? x 2 ? x ? 1 ?

x 2 ? x ? 1 ?| x | ? x ? 1 ? 1 ? x ? R )
( 1 ? x 2 ? x ? 1)( 1 ? x 2 ? x ? 1) [ 1 ? x 2 ? ( x ? 1)][ 1 ? x 2 ? ( x ? 1)]

f (? x) ?

1? x2 ? x ?1 1? x2 ? x ?1

?

?

( 1 ? x 2 ? 1) 2 ? x 2 2 ? 2 1 ? x 2 1 ? 1 ? x 2 ? ? 2x x (1 ? x 2 ) ? ( x ? 1) 2

1? 1? x2 1? 1? x2 f ( x) ? ?? ? ? f (? x) ,故 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数 ?x x
利用 f (? x) ? f ( x) ?

1 ? x2 ? x ?1 1? x2 ? x ?1
2

?

1 ? x2 ? x ?1 1? x2 ? x ?1
2

?

[ 1 ? x 2 ? ( x ? 1) 2 ] ? [ 1 ? x 2 ? ( x ? 1) 2 ] ( 1 ? x 2 ? 1) 2 ? x 2

?0 2 ? 2 1? x2 ∴ f (? x) ? ? f ( x) ,即 f ( x) 是奇函数
[例 2] 判定下列函数的奇偶性

?

? 2x ? 2x

? x 2 ? 2 x ? 1( x ? 0) ? (1) f ( x) ? ?0( x ? 0) ?? x 2 ? 2 x ? 1( x ? 0) ?

(2) f ( x) ? ?

?x ? ?e ? 1( x ? 0) x ? ?1 ? e ( x ? 0)

解: (1)定义域为 R,关于原点对称,当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则

f (? x) ? ?(? x) 2 ? 2(? x) ? 1 ? ? x 2 ? 2x ? 1 ? ?( x 2 ? 2 x ? 1) ? ? f ( x) 当 x ? 0 时, f (? x) ? 0 ? ? f ( x)

第 3 页 版权所有

不得复制

当 x ? 0 时, ? x ? 0 则 f (? x) ? (? x) 2 ? 2(? x) ? 1 ? x 2 ? 2x ? 1 ? ?(? x 2 ? 2 x ? 1) ? ? f ( x) 故 f (? x) ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 是 R 上的奇函数 (2)定义域为 (??,0) ? (0,??) 关于原点对称 当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f (? x) ? 1 ? e ? x ? ?(e ? x ? 1) ? ? f ( x) 当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f (? x) ? e ?( ? x ) ? 1 ? e x ? 1 ? ?(1 ? e x ) ? ? f ( x) 综上 f (? x) ? ? f ( x) ,故 f ( x) 是 (??,0) ? (0,??) 上的奇函数 另法利用图象

f (? ) ? 2 , ③ f (0) ? 0 , (1)判断 f ( x) 的奇偶性, (2)证明 f ( x) 是周期函数, (3)求证,对 x ? R , 有 f ( x) ? ?2 恒成立。 分析:类比三角中的和差化积公式,可猜想 f ( x) 与 y ? 2 cos 2 x 相当,易知它为偶函
[例 3] 已知函数 f ( x) 满足① f (2 x1 ) ? f (2 x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) , ② 数,周期为 ? ,且 f ( x) ? 2 cos2 x ? 2(2 cos x ? 1) ? (2 cos x) ? 2 ? ?2
2 2

x x , x 2 ? ? ,则由(1)可得 f ( x) ? f (? x) ? f (0) f ( x) 2 2 又令 x1 ? x2 ? 0 ,可得 f (0) ? f (0) ? [ f (0)]2 ∵ f (0) ? 0 ∴ f (0) ? 2 代入上式得 f ( x) ? f (? x) ? 2 f ( x) ,即 f ( x) ? f (? x) , f ( x) 为偶函数 ??x ? ?x (2)令 x1 ? , x2 ? ,由(1)得 f (? ? x) ? f (? ? x) ? 2 f ( x) (*) 2 2 再令 x1 ? ? , x2 ? x ,由(1)得 f (? ? x) f (? ? x) ? f (2? ) ? f (2 x)
证明: (1)令 x1 ? 又由(1) , f (2 x) ? f (0) ? [ f ( x)] ,即 f (2x) ? [ f ( x)] ? 2
2 2

∴ f (2? ) ? [ f (? )] ? 2 ? 2 ,即 f (? ? x) f (? ? x) ? [ f ( x)] (**)
2 2

由(*)和(**)可得 f (? ? x) ? f ( x) ,即 f ( x) 是以 ? 为周期的周期函数
2 (3)由 f (2x) ? [ f ( x)] ? 2 得 f ( x ) ? [ f ( )] ? 2 ? ?2 得证
2

x 2

[例 4] 设函数 y ? f ( x) 定义在 (??,0) ? (0,??) 上且对任意 x1 , x 2 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ,试证 f ( x) 是偶函数。 ? f ( x2 ) (*) 证明:令 x1 ? x , x2 ? ?1 ,则(*)即 f (? x) ? f ( x) ? f (?1) 再令 x1 ? x2 ? ?1 ,由(*)得 f (1) ? f (?1) ? f (?1) ? 2 f (?1)
第 4 页 版权所有 不得复制

令 x1 ? x2 ? 1 ,由(*)可得 f (1) ? f (1) ? f (1) 即 f (1) ? 0 所以 f (?1) ? 0 ,故 f (? x) ? f ( x) 得证

[例 5] 对任意实数 x, y ,有 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f (1) ? 0 ,则函数 f ( x) ( A. 必是奇函数 C. 可以是奇函数也可以是偶函数 解:选 C 设 y ? ?1 ,则 f (? x) ? f ( x) ? f (?1) B. 必是偶函数 D. 不能判定奇偶性



令 x ? y ? 1,得 f (1) ? [ f (1)]2 ? f (1) ? 1 令 x ? y ? ?1 ,得 f (1) ? [ f (?1)]2 ? f (?1) ? ?1 故 f ( ? x ) ? f ( x ) 或 f ( ? x) ? ? f ( x) [例 6] 对任意实数 x, y ,有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,则函数 f ( x) ( )

A. 必是奇函数 B. 必是偶函数 C. 可以是奇函数也可以是偶函数 D. 不能判定奇偶性 解:选 A 因 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 对任意实数 x, y 都成立,特别地对 x ? R ,取 y ? ? x ,得

f (0) ? f ( x) ? f (? x) ,若取 x ? 0 ,则 f (0) ? 2 f (0) ∴ f (0) ? 0 ∴ f ( x) ? f (? x) ? 0 ,即 f 为奇函数
4. 函数奇偶性的应用 [例 7] 已知函数 y ? f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,如果 y ? f ( x) 在 (0,??) 上是增函数, 则 f ( x) 在 (??,0) 上也是增函数。 证明:设 x1 ? x2 ? 0 ,则 ? x1 ? ? x2 ? 0 由 y ? f ( x) 在 (0,??) 上单增,有 f (? x1 ) ? f (? x2 ) 所以 ? f ( x1 ) ? ? f ( x2 ) 又由 y ? f ( x) 为奇函数 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,故函数 y ? f ( x) 在 (??,0) 上是增函数

[例 8] 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ?

1 2 x ? 2x ? 1 。 (1)求 2

f ( x) 在 R 上的解析式; (2)讨论函数 f ( x) 的单调性。 解: (1)若 x ? 0 ,则 ? x ? 0 1 1 f ( x) ? ? f (? x) ? ?[ (? x) 2 ? 2(? x) ? 1] ? ? x 2 ? 2 x ? 1 2 2 x ? 0 若 ,则由 ? (? x) ? ?? ( x) ,有 f (0) ? ? f (0)

?1 2 ? 2 x ? 2 x ? 1, x ? 0 ? 即 f (0) ? 0 ,所以 f ( x) 在 R 上的解析式为 f ( x) ? ?0, x ? 0 ? 1 ?? x 2 ? 2 x ? 1, x ? 0 ? 2

第 5 页 版权所有

不得复制

?1 2 ? 2 ( x ? 2) ? 1, x ? 0 ? (2) f ( x) ? ?0, x ? 0 其图象如下 ? 1 ?? ( x ? 2) 2 ? 1, x ? 0 ? 2

由二次函数性质可知在区间 (??,?2) 与 (2,??) 上 f ( x) 是增函数,在区间 (?2,0) 与

(0,2) 上 f ( x) 是减函数。
[例 9] 解方程 3 x ? 2 ? 3 2x ? 1 ? 3x ? 1 ? 0 解:令 x ? 2 ? t ,则原方程可化为 3 t ? 3 2t ? 5 ? 3t ? 5 ? 0 即 3 2t ? 5 ? 2t ? 5 ? ?(3 t ? t ) (*) 设 f (t ) ? 3 t ? t ,则 f (t ) 为奇函数,从而(*)化为 f (2t ? 5) ? ? f (t ) 即 f (2t ? 5) ? f (?t ) 又由 f (t ) 在 R 上为增函数,所以 2t ? 5 ? ?t ,即 t ? ? 又由 x ? 2 ? ? 解法二: 令 s ? 3 x ? 2 , t ? 3 2 x ? 1 ? x ? s ? 2 , 2 x ? t ? 1 ? 3x ? s ? t ? 1
3 3 3 3

5 3

5 1 1 ? x ? ,所以原方程的解为 x ? 3 3 3

(s ? t )(s 2 ? t 2 ? st ? 1) ? 0 s 2 ? t 2 ? 2 | st | 1 x? s ? ?t ? x ? 2 ? ?(2 x ? 1) 3 2 [例 10] 已知函数 y ? f ( x) 是偶函数,且在 [0,??) 上是增函数,试求函数 y ? f (2 ? x ) 的
3 3

原方程 s ? t ? s ? t ? 0

单调区间。
2 解:令 t ? 2 ? x , y ? f (t ) ,则 f (2 ? x ) ? f [t ( x)] 由 y ? f (t ) 是偶函数且在 [0,??) 上单增,则在 (??,0) 上单减
2

又由 t ? 2 ? x 在 (??,0) 上单增, 在 (0,??) 上单减, 以及 t ? 0 ? 2 ? x ? 0 ? ? 2
2

2

? x ? 2 ,t ? 0 ? x ? 2 或 x ? ? 2
列表如下

第 6 页 版权所有

不得复制

区间 单调性 函数

(??,? 2 )
+ - -

(? 2 ,0)
+ + +
2

(0, 2 )
- + -

( 2 ,??)
- - +

t ( x) f (t ) f [t ( x)]

所以由复合函数单调性结论知 y ? f (2 ? x ) 在 (??,? 2 ) 与 (0, 2 ) 上是减函数,在

(? 2 ,0) 与 ( 2 ,??) 上是增函数。 注: f ( x) 是偶函数,如在 [0,??) 上增,则必在 (??,0) 上减 略证任取 x1 ? x2 ? 0 ? ? x1 ? ? x2 ? 0 ? f (? x1 ) ? f (? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 故 f ( x) 在 (??,0) 上单减
[例 11] 已知 f ( x) 是定义在 [?6,6] 上的奇函数,且 f ( x) 在 [0,3] 上是 x 的一次函数在 [3,6] 上是 x 的二次函数。当 3 ? x ? 6 时, f ( x) ? f (5) ? 3 , f (6) ? 2 ,试求 f ( x) 的解析式。 分析:由于在 [?6,6] 上 f ( x) 是奇函数,故可以把定义域分为两个区间 [?6,0] ,[0,6] 进 行讨论,又由在 [0,6] 上是分段定义的,即分为 [0,3] , [3,6] ,故又要把 [0,6] 分为两个区间 讨论, 再由奇函数概念, 对 [?6,0] 也得分 [?6,?3] , 因此对已知区间 [?6,6] [?3,0] 两段讨论, 应划分为四个区间讨论,考虑到函数分段定义,我们对划分的四个区间,都用闭区间讨论。 当 3 ? x ? 6 时,因 f ( x) 在 [3,6] 上是 x 的二次函数且 f ( x) ? f (5) ? 3 ∴(5,3)是该二次函数图象的顶点坐标,设此二次式为 f ( x) ? a( x ? 5) ? 3
2

又由 f (6) ? 2
2

∴ 2 ? a(6 ? 5) ? 3 ? a ? ?1
2

故 f ( x) ? ?( x ? 5) ? 3

(3 ? x ? 6) 由此可求得 f (3) ? ?1 当 0 ? x ? 3 时 ∵ f ( x) 在 [?6,6] 上为奇函数,故 f (0) ? 0 又∵ f (3) ? ?1 及 f ( x) 在 [0,3] 上为 x 的一次式 1 0? x?3 ∴ f ( x) ? ? x 3 1 1 再由奇函数定义知, x ? [?3,0] 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ?[? (? x)] ? ? x 3 3 2 2 x ? [?6,?3] 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ?[?(? x ? 5) ? 3] ? ( x ? 5) ? 3

?? ( x ? 5) 2 ? 3, x ? [3,6] ? ? x 综上, f ( x) ? ?? , x ? [?3,3) ? 3 2 ? ?( x ? 5) ? 3, x ? [?6,?3)

【模拟试题】 (答题时间:30 分钟)
1. 构造一个满足下面三个条件的函数实例, ①函数在 (??,?1) 上递减;②函数具有奇偶性;③函数有最小值为 0;
x



2. 函数 F(x)=(1+2/(2 ?1) )f(x) (x≠0)是偶函数,且 f(x)不恒等于零,则 f (x) ( ) A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 既是奇函数,又是偶函数 D. 非奇非偶函数

第 7 页 版权所有

不得复制

3. 已知函数 f(x)=x2+lg(x+ x 2 ? 1 ) ,若 fA. =M,则 f(?a)等于( A. 2a ?M
2



1 ? f ( x) 4. 若对正常数 m 和任意实数 x,等式 f ( x ? m) ? 成立,则下列说法正确的是 1 ? f ( x)
A. B. C. D. ) 函数 函数 函数 函数

B. M?2a

2

C. 2M?a

2

D. a ?2M

2



f ( x) 是周期函数,最小正周期为 2m f ( x) 是奇函数,但不是周期函数 f ( x) 是周期函数,最小正周期为 4 m f ( x) 是偶函数,但不是周期函数

5. 已知 f(x) 是奇函数,且当 x?(0,1)时,f(x)=ln(1/(1+x) ) ,那么当 x?(?1, 0)时,f(x)= . 6. 判断下列函数的奇偶性
3 ①y?x ?

1 ; x

②y?

2x ? 1 ? 1 ? 2x ;

? x 2 ? 2( x ? 0) ? ③ y ? x4 ? x ; ④ y ? ?0( x ? 0) . ?? x 2 ? 2( x ? 0) ? b 2005 ? ax 3 ? ? 8 , f (?2) ? 10 ,求 f (2) . 7. 已知 f ( x) ? x x

第 8 页 版权所有

不得复制

【试题答案】
1. y ? x 2 , x ? R 2. A 3. A 4. C 5. f ( x ) ? ln(1 ? x ) 6. 解:①定义域 (??,0) ? (0,??) 关于原点对称,且 f (? x) ? ? f ( x) ,奇函数. ②定义域为 { } 不关于原点对称。该函数不具有奇偶性. ③ 定 义 域 为 R , 关 于 原 点 对 称 , 且 f (? x) ? x 4 ? x ? x 4 ? x ? f ( x) ,

1 2

f (? x) ? x 4 ? x ? ?( x 4 ? x) ? ? f ( x) ,故其不具有奇偶性.
④定义域为 R,关于原点对称, 当 x ? 0 时, f (? x) ? ?(? x) 2 ? 2 ? ?( x 2 ? 2) ? ? f ( x) ; 当 x ? 0 时, f (? x) ? (? x) 2 ? 2 ? ?(? x 2 ? 2) ? ? f ( x) ; 当 x ? 0 时, f (0) ? 0 ;故该函数为奇函数. 7. 解 : 已 知 f ( x) 中 x 2005 ? ax 3 ?

g (? x) ? ? g ( x) , 也 即 g (?2) ? ? g (2) , f (?2) ? g (?2) ? 8 ? ? g (2) ? 8 ? 10 , 得 g (2) ? ?18 , f (2) ? g (2) ? 8 ? ?26 .

b b 为 奇 函 数 , 即 g ( x) = x 2005 ? ax 3 ? 中 x x

第 9 页 版权所有

不得复制


相关文章:
高考第一轮复习——函数的奇偶性、单调性、周期性(理)
高考第一轮复习——函数的奇偶性、单调性、周期性(理)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。年 级 高三 刘震 学 科 数学(理) 版 本 人教版(理) 内容标题 ...
高考一轮复习之函数的奇偶性
高考一轮复习函数的奇偶性 - 课时 5 函数的奇偶性 复习目标: 1、理解函数奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法; 2、掌握奇偶函数图象的对称性,...
高考一轮复习函数单调性奇偶性(学生版)
高考一轮复习函数单调性奇偶性(学生版)_数学_高中教育_教育专区。高考一轮复习 第二章 A组 函数 第一节 对函数的进一步认识 -x2-3x+4 的定义域为___. x...
高考数学第一轮复习:函数的奇偶性与周期性
高考数学第一轮复习:函数的奇偶性与周期性 - 2.3 函数的奇偶性与周期性 一、选择题 1.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 4) ? ? f...
2018年高考数学一轮总复习专题23函数奇偶性和周期性练...
2018年高考数学一轮总复习专题23函数奇偶性和周期性练习文! - 专题 2.3 函数奇偶性和周期性 真题回放 1.【2017 高考新课标 2 文 14】已知函数 f ? x ? ...
江苏高考一轮复习函数的奇偶性 精品
江苏高考一轮复习函数的奇偶性 精品 - 函数的奇偶性 教学目标:掌握函数的奇偶性的定义及图象特征,并能判断和证明函数的奇偶性,能利 用函数的奇偶性解决问题. ...
江苏高考一轮复习函数的奇偶性 精品
江苏高考一轮复习函数的奇偶性 精品 - 函数的奇偶性 教学目标:掌握函数的奇偶性的定义及图象特征,并能判断和证明函数的奇偶性,能利 用函数的奇偶性解决问题. ...
江苏高考一轮复习函数的奇偶性 精品推荐
江苏高考一轮复习函数的奇偶性 精品推荐 - 函数的奇偶性 教学目标:掌握函数的奇偶性的定义及图象特征,并能判断和证明函数的奇偶性,能利 用函数的奇偶性解决问题....
江苏高考一轮复习函数的奇偶性 推荐
江苏高考一轮复习函数的奇偶性 推荐 - 函数的奇偶性 教学目标:掌握函数的奇偶性的定义及图象特征,并能判断和证明函数的奇偶性,能利 用函数的奇偶性解决问题. ...
高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性
高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性 - 第三节 [考纲传真] 函数的奇偶性与周期性 (教师用书独具)1.了解函数奇偶性的含义 .2.会运用基本初等函数的 图象分析...
更多相关标签: