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浙江大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:三角函数 Word版含答案


浙江大学附中 2013 届高三数学一轮复习单元训练:三角函数 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.如图,在一幢 20 m 高的楼顶测得对面一塔吊顶部的仰角为 60°,塔基的俯角为 45°,那么 该塔吊的高是( ) 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

? 3? A.20 ?1 ? ?m ? 3 ? ? ?
【答案】B

B.20 1 ? 3 m

?

?

C.10

?

2? 6 m

?

D.20

?

2? 6 m

?

sin ? ? cos ? ?
2.已知

2 3 ,则 tan ? ? cot ? ? ( 5 B. 9
?

)

5 A. 9 ?
【答案】D 3.已知函数 y ? sin(6 x ?

18 C. 5

18 D. 5 ?
? 个单位, 8

4 得到的函数的一个对称中心是(
A. (

) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍,再向右平移
) C. ( ,0)

,0) 16 【答案】D 5 4. cos(? ? ) 的值是( 6 3 A. 2 【答案】C
5.将函数 y ? sin( x ? 图像向左平移

?

B. ( ,0)

?

?

9

4

D. ( ,0)

?

2

) B.

1 2

C. ?

3 2

D. ?

1 2

? ) 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将所得 3

? 个单位,则所得函数图像对应的解析式为( ) 3 1 1 ? 1 ? A. y ? sin( x ? ) B. y ? sin( x ? ) C. y ? sin x 2 6 2 3 2 ? D. y ? sin(2 x ? ) 6

【答案】A 6.若 tan ? =

5 7 【答案】C
A.

1 1 ,tan ? = ,则 tan( ? ? ? )=( ) 2 3 5 B. C.1 6

D.2

7.在 ?ABC 中,若 a cos B ? b cos A ,则 ?ABC 的形状一定是( A.锐角三角形 三角形 【答案】D 8.已知函数 示,则 B.钝角三角形

) C.直角三角形 D.等腰

? ? f ? x ? ? Asin ??x ? ? ? ( x ? R,A ? 0, ? 0, ?
)

?
2

)的图象(部分)如图所

f ?x ? 的解析式是(

A. f ? x ? ? 2sin ? ? x ? C. f ? x ? ? 2sin ? ? x ? ?

? ?

??
??

?? x ? R? 6?

B. f ? x ? ? 2sin ? 2? x ? ?

?? ??

? ?

?? x ? R? 6? ?? x ? R? 3?
)

?

?? x ? R? 3?

D. f ? x ? ? 2sin ? 2? x ? ?

【答案】A 9.要得到函数 y ? cos( 2 x ? A.向左平移

?
4

) 的图像,只需将函数 y ? cos 2 x 的图像(
B.向右平移

? 个长度单位 8 ? C.向左平移 个长度单位 4
【答案】B 10. ?AC 在 B 的面积为( A. ) B. 中, 已知向量 AB ? cos18 (

? 个长度单位 8
D. 向右平移

? 个长度单位 4

??? ?

?

??? ? , ,则 ,cos72?) BC ? 2cos63? , 2cos 27?) ?ABC (
C.

2 2

2 4

3 2

D.

2

【答案】A 11.为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩 A, B (如图) ,要测算 A, B 两
? ? 点的距离, 测量人员在岸边定出基线 BC , 测得 BC ? 50m ,?ABC ? 105 , ?BCA ? 45 ,

就可以计算出 A, B 两点的距离为(

)

A. 50 【答案】A

2m

B. 50

3m

C. 25

2m

D.

25 2 m 2
)
0

12.已知锐角 ? 的终边上一点 P( sin 40? , 1 ? cos 40? ) ,则 ? 等于( A. 10 【答案】C 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
0

B. 20

0

C. 70

0

D. 80

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13. tan 390 ?
0

【答案】

3 3

14.函数

f ( x) ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x 的最小正周期是

.

【答案】 ? 15.一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东 60 ,行驶 4 h 后,船 到达C处,看到这个灯塔在北偏东 15 ,这时船与灯塔距离为 【答案】 30
0 0

km.

2

16.已知扇形的圆心角为 2? (定值) ,半径为 R (定值) ,分别按图一、二作扇形的内接矩形, 若按图一作出的矩形面积的最大值为 R tan 为 .
2

?
2

,则按图二作出的矩形面积的最大值

2α 图一

2α 图二

【答案】

1 2 R tan ? 2

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知角 ? 的终边经过点 P(?3, 4) .

(1) 求 的值.

sin(? ? ? ) ? cos(?? ) 的值; tan(? ? ? )

(2) sin( 求

?
2

? ? ) ? (cos(

3? ? ? ) ? 2 cos(? ? ? )) 2

【答案】由角 ? 的终边过点 P(?3, 4) 知: sin ?

?

4 (?3) ? 4
2 2

?

4 , 5

cos ? ?

4 4 3 ?? , ? ? , tan ? ? ?3 3 5 (?3)2 ? 42

?3

(1)

sin(? ? ? ) ? cos(?? ) sin ? ? cos ? ? tan(? ? ? ) tan ?
=(

3? ? ? ) ? 2 cos( ? ? ? )) = cos? (sin? ? 2 cos? ) …11 分 2 2 4 3 3 2 6 = ? (? ) ? 2 ? (? ) ? 。 5 5 5 25 x x 2 x 18.已知函数 f ( x) ? 2 3 sin cos ? 2sin . 3 3 3
(2) sin(

?

4 3 4 3 ? ) /(? ) ? ? , 5 5 3 20

? ? ) ? (cos(

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的值域;
2 (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 f (C) ?1 ,且 b ? ac ,求 sin A 的

值 【答案】 (1) f ( x) ? ∵ x? R,

3 sin

2x 2x 2x ? ? cos ? 1 ? 2sin( ? ) ? 1 3 3 3 6

2x ? ? ) ?1 3 6 2x ? ? ) ?1 ? 1 ∴ ?3 ? 2sin( 3 6
∴ ?1 ? sin( ∴函数 f ( x ) 的值域为 [?3,1] (2) f (C ) ? 2sin( ∴ sin(

2C ? ? ? ) ? 1 ,而 C ? (0, ? ) , ∴ C ? . 3 6 2

2C ? ? ) ? 1 ? 1, 3 6

在 Rt ?ABC 中, b ? ac , c ? a ? b ,
2 2 2 2

∴ c ? a ? ac , 得 ( ) ?
2 2

a c

2

a ?1 ? 0 c

解得

a ?1 ? 5 ? c 2
∴ sin A ?

∵ 0 ? sin A ? 1 ,

a 5 ?1 . ? c 2

19.如图所示,甲船在 A 处,乙船在 A 处的南偏东 45°方向,距 A 有 9n mile 并以 20n mile/h 的速度沿南偏西 15°方向航行,若甲船以 28n mile/h 的速度航行,应沿什么方向,用多少 h 能尽快追上乙船?

【答案】设用 t 小时,甲船能追上乙船,且在 C 处相遇. 在△ABC 中,AC=28t,BC=20t,AB=9,∠ABC=120 , 根据余弦定理得,AC =AB +BC -2AB·Bccos∠ABC 即(28t) =(20t) +(20t) -2×9×20tcos120 , 整理得,128 t -60t-27=0,(4t-3)(32t+9)=0, 解得 t ?
2 2 2 2 0 2 2 2 0

3 9 或t ? ? (舍). 所以 AC=21,BC=15, 32 4
15 ? 3 2 ? 5 3 ? 0.6186 , 21 14

BC ? sin1200 在△ABC 中, sin ?BAC ? ? AC
0 0 0

所以∠BAC=38 ,所以甲船应沿南偏西 7 方向行驶. 答:甲船应沿南偏西 7 方向,用 0.75h 能尽快追上乙船. 20.已知向量 a ? (sin x, ?1), b ? ( 3 cos x, ? ) ,函数 (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期 T ; (Ⅱ)已知 a 、 b 、 c 分别为 ?ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边, 其中 A 为锐角, a ? 2 且 f ( A) ? 1,求 A, b 和 ?ABC 的面积 S . 【答案】(Ⅰ)

?

?

1 2

? ? ? f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 .

3, c ? 4 ,

? ? ? ?2 ? ? f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 ? a ? a ? b ? 2 1 ? sin 2 x ? 1 ? 3 sin x cos x ? ? 2 2

?

? 1 ? cos 2 x 3 1 3 1 ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 6 2 2 2 2 2
2? ?? 2

因为 ? ? 2 ,所以 T ?

21.化简:

sin3 ? ? ?)cos(- ? ) cos(? ? ? ) (
2 3 cos(- ? - ?)tan(? ? ?)

【答案】原式=

(? sin 3 ? ) ? cos? ? (? cos? ) sin 3 ? ? ? cos3 ? cos2 ? tan3 ? tan3 ?

22.已知函数

f ( x) ? 2sin x cos x ? 2 3 cos2 x ? 3, x ? R

(I)化简函数 f(x)的解析式,并求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)在锐角△ABC 中,若 【答案】(1) f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

??? ??? ? ? f ( A) ? 1, AB ? AC ? 2 ,求△AB C 的面积.
) T? 2? ?? 2

?
3

(2) s ?

2 2


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