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(用)对数函数与指数函数的关系


3.2.3指数函数与对数函数的关系

函 数

函数 函数
函数

问题1: 指数函数y=ax与对数函数y=loga x(a>0,a≠1) 有什么关系?
y=ax
指数换对数 交换x,y

x=loga y

y=loga x

对应法则互逆

称这两个函数互为反函数

指数函数y=ax是对数函数 y=log a x(a>0,a≠1)的反函数

指数函数y=a x (a>0,a≠1)
反 函 数

对数函数y=log a x(a>0,a≠1)

问题2: 观察在同一坐标系内函数y=log2x与函数y=2x的 图像,分析它们之间的关系. y y=2x 函数y=log 2x的图像与 函数y=2 x 的图像关于 y=x Q(a,b) 直 线 y = x 对 称 y=log2x P(b,a) (0,1) 函数y=f(x)的图像和 O x (1,0) 它的反函数的图像 关于直线y=x对称

? 1.当一个函数是一一映射时,可以把这个 函数的因变量作为一个新的函数的自变量, 而把这个函数的自变量作为新的函数的因变 量,我们称这两个函数互为反函数。 ? 2.对数函数y=loga x与指数函数y=ax 互为反 函数,图象关于直线y=x对称。 ? 3 .函数y=f(x)的反函数通常用y=f-1(x) 表 示。 注意:y=f-1(x) 读作:“f逆x” 表示反函数,不是-1次幂(倒数) 的意思

例1 写出下列对数函数的反函数:

(1)y =lgx; ?2?y ? log x. 1
3

解 (1)对数函数y=lgx,它的底数是 10 它的反函数是指数函数 y=10x
1 (2)对数函数 y ? log 1 x, 它的底数是 3 x 3

它的反函数是指数函数

?1? y?? ? . ?3?

例2 写出下列指数函数的反函数:
x (1)y=5

?2? ?2? y ? ? ? . ?3?

x

解(1)指数函数y=5x,它的底数是5 它的反函数是对数函数 y=log5x; (2)指数函数
? 2? y?? ? ? 3?
x

,它的底数是
3

它的反函数是对数函数 y ? log 2 x

2 3

,

例3 求函数y=3x-2(x∈R)反函数,并在同 一直角坐标系中作出函数及其反函数的图象。

y+2 解:由y=3x-2(x∈R )得 x= 3

所以y=2x-1(x∈R)的反函数是
x+2 y= 3

(x∈R )

y=3x-2

经过两点(0,-2), (2/3,0)

x+2 y= 经过两点(-2,0), (0 ,2/3 ) 3

y
y=x y=3x-2

x 0
x+2 y= 3

想一想:函数y=3x-2的图象和它的反函数

x+2 y= 的图象之间有什么关系? 3

求函数反函数的步骤: 1? 求原函数的值域 2? 反解 3? x与y互换 4? 写出反函数及它的定义域

y Q(a,b) (0,1) O

y=2x y=x P(b,a) (1,0)

y=log2x x

结论:
点(a,b)在函数y=f(x)的图像上
b=f(a)

点(b,a)在反函数y=f-1(x) 的图像上

a=f-1(b)

[例4]函数f(x)=loga (x-1)(a>0且a≠1)的反函数的图象
经过点(1, 4),求a的值. 解:依题意,得

1 ? log a (4 ? 1)

即 : log a 3 ? 1,? a ? 3.
点(a,b)在函数y=f(x)的图像上
b=f(a)

点(b,a)在反函数y=f-1(x) 的图像上

a=f-1(b)

例5:已知函数(x) x 2 ?(x ? ?2) f ? 1 求出f (4)的值。
?1

解:令 x ? 1 ? 4,解之得:x ? ? 5
2

又 ? x ? ?2, x ? ? 5. ?

点(a,b)在函数y=f(x)的图像上

b=f(a)

点(b,a)在反函数y=f-1(x) 的图像上

a=f-1(b)

理论迁移

例4 已知函数 f ( x) ? log 2 (1 ? 2 ) . (1)求函数f(x)的定义域和值域; (2)求证函数y=f(x)的图象关于直线 y=x对称.
x

小结 指数函数y=a x (a>0,a≠1)与 反函数的概念 对数函数y=log ax(a>0,a≠1) 互为反函数 定义域和值域互换 对应法则互逆 图像关于直线y=x对称


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