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高中数学苏教版必修4学案:第3章 章末分层突破含解析


章末分层突破 [自我校对] ①C(α+β) ②C2α ③S(α+β) ④S2α ⑤T(α-β) ⑥T2α 求值问题 三角函数求值主要有三种类型,即 (1)“给角求值”,一般给出的角都是非特殊角,观察发现题中的角与特殊 角都有着一定的关系,如和或差为特殊角,必要时运用诱导公式. (2)“给值求值”,即给出某些角的三角函数式的值,求另外一些三角函数 的值,这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角,合理拆、配角,要注意角 的范围. (3)“给值求角”,本质上还是“给值求值”,只不过往往求出的是特殊角 的值,在求出角之前还需结合函数的单调性确定角,必要时还要讨论角的范围. 已知 tan α=4 3,cos(α+β)=- 值. 【精彩点拨】 11 ,α,β 均为锐角,求 cos β 的 14 由 tan α 求 sin α,由 cos(α+β)求 sin(α+β),再利用 cos β=cos[(α+β)-α]展开求解. 【规范解答】 因为 α,β 均为锐角, 11 , 14 所以 0<α+β<π,又 cos(α+β)=- π 所以 <α+β<π, 2 且 sin(α+β)= 所以 sin α= 5 3 .因为 tan α=4 3, 14 4 3 1 ,cos α= . 7 7 所以 cos β=cos[(α+β)-α] 1 =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α= . 2 [再练一题] sin 4α ?π ? ?π ? 1 ?π ? 1.已知 sin?4+α?sin?4-α?= ,α∈?2,π?,求 的值. 1+cos2α ? ? ? ? 6 ? ? 【解】 ?π ? ?π ? 1 ∵sin?4+α?sin?4-α?= , ? ? ? ? 6 ?π ? ?π ? 1 ∴sin?4+α?cos?4+α?= , ? ? ? ? 6 1 ?π ? 1 sin?2+2α?= ,即 cos 2α= . 3 ? ? 3 ?π ? 又 α∈?2,π?,2α∈(π,2π), ? ? ∴sin 2α=- 1-cos22α =- ∴ 2 2 ?1? 1-? ?2=- . 3 ?3? sin 4α 2sin 2α·cos 2α = 1+cos2α 1+cos 2α 1+ 2 ? 2 2? 1 ?× 2×?- 3 ? 3 4 2 ? = =- . 1 15 1+ 3 1+ 2 化简与证明 三角函数式的化简与证明要遵循“三看”原则 (1)一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而 正确使用公式. (2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常 见的有“切化弦”. (3)三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向. 求证: 【精彩点拨】 余弦、正切公式. 【规范解答】 证明原不等式成立,即证明 1+sin 4θ-cos 4θ 1+sin 4θ+cos 4θ = . 2tan θ 1-tan2θ 先对原式进行等价变形,同时注意应用“二倍角”的正弦、 1+sin 4θ-cos 4θ=tan 2θ(1+sin 4θ+cos 4θ)成立. ∵tan 2θ(1+sin 4θ+cos 4θ) = sin 2θ (2cos22θ+2sin 2θcos 2θ) cos 2θ =2sin 2θ(cos 2θ+sin 2θ) =2sin 2θcos 2θ+2sin22θ =sin 4θ+1-cos 4θ. ∴ 1+sin 4θ-cos 4θ 1+sin 4θ+cos 4θ = . 2tan θ 1-tan2

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