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湖北省武汉市部分重点学校2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)


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湖北省武汉市部分重点学校 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷 (理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题给出的四个选项中,只有一 项是正确的) . 1. (5 分)3 个班分别从 5 个风景点处选择一处游览,不同的选法种数是() 3 5 3 3 A. 5 B. 3 C. A 5 D. C5 2. (5 分)设随机变量 X 等可能地取值 1,2,3,?,10,则 P(X<6)的值为() A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.2

3. (5 分)F1、F2 分别是椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上一点,且

⊥ A. 1

,若△PF1F2 的面积为 16,则 b=() B. 2
10 2

C. 3
10

D. 4

4. (5 分)已知(x+1) =a1+a2x+a3x +?+a11x .若数列 a1,a2,a3,?,ak(1≤k≤11,k∈Z) 是一个单调递增数列,则 k 的最大值是() A. 6 B. 7 C. 8 D. 5 5. (5 分)已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1) ,且 P(2≤X≤4)=0.68,则 p(X>4)= () A. 0.32 B. 0.16 C. 0.5 D. 0.18

6. (5 分)M、N 分别是椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右顶点,椭圆上异于 M、N 于点 P 满

足 kPM?kPN=﹣ ,则椭圆的离心率为() A. B. C. D.

7. (5 分)已知抛物线 C:y =2px 的焦点为 F,过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 M、N 两 点,若线段 MN 中点纵坐标为 4,则该抛物线准线方程为() A. x=1 B. x=﹣1 C. x=2 D. x=﹣2

2

8. (5 分)某人射击一次命中目标的概率为 ,则此人射击 7 次,3 次命中且恰有 2 次连续命 中的概率为()

-1-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. C ( )
7

B. A ( )

7

C. C ( )

7

D. A ( )

7

9. (5 分)设 F1、F2 分别为双曲线

的左、右焦点.若在双曲线右

支上存在点 P,满足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的 渐近线方程为() A. 3x±4y=0 B. 3x±5y=0 C. 4x±3y=0 D. 5x±4y=0 10. (5 分)用数字 0,1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百 位上的数字之和为偶数的四位数共有()个. A. 324 B. 216 C. 180 D. 384

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) . 11. (5 分)设 X 是一个离散型随机变量,其分布列如表格所示,则 E(X)=. X 2 0 4 P 0.5 1﹣3q q 12. (5 分)平面内有两组平行线,一组 6 条,另一组 4 条,这两组平行线相交,可以构成的 平行四边形个数是(用数字作答)

13. (5 分)已知双曲线

(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x +y ﹣6x+5=0 相

2

2

切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为. 14. (5 分)抛掷两个骰子,至少有一个 3 点或 6 点出现时,就说这次试验成功,则在 81 次试 验中,成功次数 ξ 的方差是. 15. (5 分)在平面直角坐标系中,定义 P(x1,y1) 、Q(x2,y2)之间的“直角距离”为 d(P, Q)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|,则 ①动点 C(x,y)到坐标原点的“直角距离”等于 1,则动点 C 的轨迹关于 x 轴、y 轴、原点 对称. ②设 A(﹣1,9) 、B(1,0) ,满足到 A 的“直角距离”等于到 B 的“直角距离”的动点 C 的 轨迹是一条长度为 2 的线段; ③设 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,C(x,y)则{(x,y)|d(C,F1)+d(C,F2)=4}? {(x,y) | + ≤1}其中真命题有(填序号)

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. )

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 16. (12 分)安排 5 名歌手的演出顺序. (1)要求歌手甲乙的演出顺序必须相邻,有多少种不同的排法? (2)要求歌手甲不第一个出场,且歌手乙不最后一个出场,有多少种不同的排法? 17. (12 分)已知( ﹣ ) (n∈N )的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 10:
n *

1. (1)求展开式中各项系数的和; ﹣1 (2)求展开式中含 x 的项. 18. (12 分)某班从 6 名班干部(其中男生 4 人,女生 2 人)中,任选 3 人参加学校的义务劳 动. (1)设所选 3 人中女生人数为 X,求 X 的分布列; (2)求男生甲或女生乙被选中的概率; (3)设“男生甲被选中”为事件 A,“女生乙被选中”为事件 B,求 P(B|A) .
2 2

19. (12 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的点均在 C2: (x﹣1) +y = 外,且对 C1 上任意一 点 M,M 到直线 x=﹣ 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (1)求曲线 C1 的方程; (2)已知直线 l 过定点 P(﹣2,1) ,斜率为 k,当 k 为何值时,直线 l 与曲线 C1 只有一个公 共点点;有两个公共点? 20. (13 分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 800 元,此作物的市场价格和这块 地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表: 作物产量(kg) 300 500 概率 0.5 0.5 作物市场价格(元/kg) 6 10 概率 0.2 0.8 (Ⅰ)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的分布列; (Ⅱ)若在这块地上连续 3 季种植此作物,求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概 率.

21. (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,长

轴长为 6. (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过原点的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点(A,B 不是椭圆 C 的顶点) .点 D 在椭圆 C 上, 且 AD⊥AB,直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M,N 两点. (i)设直线 BD,AM 的斜率分别为 k1,k2,证明存在常数 λ 使得 k1=λ k2,并求出 λ 的值; (ii)求△OMN 面积的最大值.

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湖北省武汉市部分重点学校 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题给出的四个选项中,只有一 项是正确的) . 1. (5 分)3 个班分别从 5 个风景点处选择一处游览,不同的选法种数是() 3 5 3 3 A. 5 B. 3 C. A 5 D. C5 考点: 计数原理的应用. 专题: 排列组合. 分析: 每班从 5 个风景点中选择一处游览,每班都有 5 种选择,根据乘法原理,即可得到 结论 解答: 解:∵共 3 个班,每班从 5 个风景点中选择一处游览, ∴每班都有 5 种选择, 3 ∴不同的选法共有 5 , 故选:A. 点评: 本题考查计数原理的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 2. (5 分)设随机变量 X 等可能地取值 1,2,3,?,10,则 P(X<6)的值为() A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.2 考点: 离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: 由已知得 P(X<6)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) =0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1,由此能求出结果. 解答: 解:∵随机变量 X 等可能地取值 1,2,3,?,10, ∴P(X<6)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) =0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1 =0.5. 故选:B. 点评: 本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,在历年 2015 届高考中都是必 考题型之一.

3. (5 分)F1、F2 分别是椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上一点,且

⊥ A. 1

,若△PF1F2 的面积为 16,则 b=() B. 2 C. 3 D. 4

考点: 椭圆的简单性质.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设|PF1|=m,|PF2|=n,根据椭圆的定义和勾股定理建立关于 m、n 的方程组,平方相 2 减即可求出|PF1|?|PF2|=2b ,结合△PF1F2 的面积为 16,求得 b 的值. 解答: 解:如图, 设|PF1|=m,|PF2|=n, ∵
2 2


2

,∴PF1⊥PF2,得∠F1PF2=90°,
2

∴m +n =4(a ﹣b ) , 2 2 2 2 ∵m+n=2a,则有(m+n) =m +n +2mn,即 mn=2b , 2 ∴|PF1|?|PF2|=2b . ∴△PF1F2 的面积 S= |PF1|?|PF2|= ×2b =16,解得 b=4. 故选:D.
2

点评: 本题给出椭圆的焦点三角形为直角三角形,求它的面积,着重考查了勾股定理、椭 圆的定义和简单几何性质等知识. 4. (5 分)已知(x+1) =a1+a2x+a3x +?+a11x .若数列 a1,a2,a3,?,ak(1≤k≤11,k∈Z) 是一个单调递增数列,则 k 的最大值是() A. 6 B. 7 C. 8 D. 5 考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题;二项式定理. 分析: 写出各项的系数,可得 a1<a2<a3<a4<a5<a6>a7,结合数列 a1,a2,a3,?,ak 是 一个单调递增数列,可得结论. 解答: 解:由二项式定理,得 ai= (1≤i≤11,i∈Z) ,因为 a1<a2<a3<a4<a5<a6
10 2 10

>a7,且数列 a1,a2,a3,?,ak 是一个单调递增数列,所以 k 的最大值是 6. 故选:A. 点评: 本题考查二项式定理的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 5. (5 分)已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1) ,且 P(2≤X≤4)=0.68,则 p(X>4)= () A. 0.32 B. 0.16 C. 0.5 D. 0.18 考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 计算题;概率与统计.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 根据题目中:“正态分布 N(3,1)”,画出其正态密度曲线图:根据对称性,由 (2≤X≤4)的概率可求出 P(X>4) . 解答: 解:P(3≤X≤4)= P(2≤X≤4)=0.34, 观察上图得, ∴P(X>4)=0.5﹣P(3≤X≤4)=0.5﹣0.34=0.16. 故选 B.

点评: 本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,注意根据正态曲线的对称 性解决问题.

6. (5 分)M、N 分别是椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右顶点,椭圆上异于 M、N 于点 P 满

足 kPM?kPN=﹣ ,则椭圆的离心率为() A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 通过已知条件可得 、 ,计算即得结论.

解答: 解:∵P(x0,y0) (x0≠a)是椭圆:

+

=1(a>b>0)上一点,





∵M、N 分别是椭圆的左、右顶点,kPM?kPN=﹣ ,

∴ ∴a =4b ,c =3b ,
2 2 2 2



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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴e= = ,

故选:C. 点评: 本题考查椭圆离心率的求法,考查运算求解能力,解题时要认真审题,注意解题方 法的积累,属于中档题. 7. (5 分)已知抛物线 C:y =2px 的焦点为 F,过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 M、N 两 点,若线段 MN 中点纵坐标为 4,则该抛物线准线方程为() A. x=1 B. x=﹣1 C. x=2 D. x=﹣2 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先假设 M,N 的坐标,根据 M,N 满足抛物线方程将其代入得到两个关系式,再将两 个关系式相减,根据直线的斜率和线段 MN 的中点的纵坐标的值可求出 p 的值,进而得到准线 方程. 解答: 解:设 M(x1,y1) 、N(x2,y2) , 2 2 则有 y1 =2px1,y2 =2px2, 两式相减得: (y1﹣y2) (y1+y2)=2p(x1﹣x2) , 又因为直线的斜率为 1,所以 所以有 y1+y2=2p, 又线段 MN 的中点的纵坐标为 4, 即 y1+y2=8,所以 p=4, 所以抛物线的准线方程为 x=﹣ 即 x=﹣2. 故选:D. 点评: 本题考查抛物线的方程和性质,主要是抛物线的方程的运用,同时考查点差法解决 中点弦问题,属于中档题. =1,
2

8. (5 分)某人射击一次命中目标的概率为 ,则此人射击 7 次,3 次命中且恰有 2 次连续命 中的概率为() A. C ( )
7

B. A ( )

7

C. C ( )

7

D. A ( )

7

考点: 相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 概率与统计. 分析: 根据 n 次独立重复实验中恰好发生 k 次的概率,可得这名射手射击 3 次,再根据相 互独立事件的概率乘法公式运算求得结果.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:根据射手每次射击击中目标的概率是 ,且各次射击的结果互不影响,故此人射

击 7 次,3 次命中的概率为

( ) ,恰有两次连续击中目标的概率为

7



故此人射击 7 次,3 次命中且恰有 2 次连续命中的概率为

( )?

7

=A ( )

故选:B 点评: 本题主要考查 n 次独立重复实验中恰好发生 k 次的概率,属于中档题.

9. (5 分)设 F1、F2 分别为双曲线

的左、右焦点.若在双曲线右

支上存在点 P,满足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的 渐近线方程为() A. 3x±4y=0 B. 3x±5y=0 C. 4x±3y=0 D. 5x±4y=0 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系,得出 a 与 b 之间的等量关系, 可知答案选 C, 解答: 解:依题意|PF2|=|F1F2|,可知三角形 PF2F1 是一个等腰三角形,F2 在直线 PF1 的投影 是其中点,由勾股定理知 可知|PF1|=2 =4b
2 2 2 2

根据双曲定义可知 4b﹣2c=2a,整理得 c=2b﹣a,代入 c =a +b 整理得 3b ﹣4ab=0,求得 = ∴双曲线渐近线方程为 y=± x,即 4x±3y=0 故选 C 点评: 本题主要考查三角与双曲线的相关知识点,突出了对计算能力和综合运用知识能力 的考查,属中档题 10. (5 分)用数字 0,1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百 位上的数字之和为偶数的四位数共有()个. A. 324 B. 216 C. 180 D. 384 考点: 计数原理的应用. 专题: 排列组合. 分析: 由题意知本题需要分类来解,当个位、十位和百位上的数字为 3 个偶数,当个位、 十位和百位上的数字为 1 个偶数 2 个奇数,根据分类计数原理得到结果. 解答: 解:由题意知本题需要分类来解: 当个位、十位和百位上的数字为 3 个偶数的有: + =90 种;
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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 当个位、十位和百位上的数字为 1 个偶数 2 个奇数的有: + =234

种, 根据分类计数原理得到共有 90+234=324 个. 故选:A 点评: 本小题考查排列实际问题基础题.数字问题是计数中的一大类问题,条件变换多样, 把计数问题包含在数字问题中,解题的关键是看清题目的实质,很多题目要分类讨论,要做到 不重不漏. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) . 11. (5 分)设 X 是一个离散型随机变量,其分布列如表格所示,则 E(X)=2. X 2 0 4 P 0.5 1﹣3q q 考点: 离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: 利用离散型随机变量的分布列的性质求解. 解答: 解:由已知得 0.5+1﹣3q+q=1,解得 q=0.25,∴E(X)=2×0.5+0×0.25+4×0.25=2. 故答案为:2. 点评: 本题考查离散型随机变量的数学期望的求法,是基础题,解题时要认真审题. 12. (5 分)平面内有两组平行线,一组 6 条,另一组 4 条,这两组平行线相交,可以构成的 平行四边形个数是 90(用数字作答) 考点: 专题: 分析: 解答: 计数原理的应用. 排列组合. 从每一组种分别选 2 条,根据分步计数原理即可得到答案 解:从每一组种分别选 2 条,根据分步计数原理,故可以构成的平行四边形个数是 =90 故答案为:90. 点评: 本题考查了分步计数原理,属于基础题

13. (5 分)已知双曲线

(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x +y ﹣6x+5=0 相

2

2

切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为



考点: 双曲线的简单性质;直线与圆的位置关系;双曲线的标准方程. 专题: 计算题;综合题. 2 2 分析: 双曲线的两条渐近线均和圆 C:x +y ﹣6x+5=0 相切,说明点 C 到直线 bx±ay=0 的距 离等于半径.根据圆 C 方程,不难得到圆心 C 坐标为(3,0) ,半径 r=2,用点到直线的距离

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建立关于 a、b 的方程,再结合 c=

=3,联解可得 a、b 的值,从而得到该双曲线的方

程. 2 2 2 2 解答: 解:将圆 C:x +y ﹣6x+5=0 化为标准方程,得(x﹣3) +y =4 ∴圆心为 C(3,0) ,半径 r=2 ∵双曲线的右焦点为圆 C 的圆心, 2 2 ∴c=3,可得 a +b =9?① 又∵双曲线 的两条渐近线均和圆 C 相切

∴点 C(3,0)到直线 bx±ay=0 的距离等于半径,即 联解①②,得 a= ,b=2 .

?②

∴该双曲线的方程为

故答案为: 点评: 本题给出双曲线的右焦点与圆 C 的圆心重合,且渐近线与圆 C 相切,求双曲线的方 程,着重考查了直线与圆的位置关系和双曲线的标准方程等知识,属于中档题. 14. (5 分)抛掷两个骰子,至少有一个 3 点或 6 点出现时,就说这次试验成功,则在 81 次试 验中,成功次数 ξ 的方差是 20. 考点: 极差、方差与标准差. 专题: 概率与统计. 分析: 求出一次实验中,事件 A 表示“试验成功”,A 的对立事件是“两个骰子中都不是 3 点或 6 点”,求出对立事件的概率,得出 A 的概率; 再计算 81 次试验中,成功次数 ξ 的方差. 解答: 解:一次实验中,设事件 A 表示“试验成功”, 则 P( )= × = ,P(A)=1﹣P( )=1﹣ = ; 且 ξ ~(81, ) , ∴Dξ =81× ×(1﹣ )=20. 故答案为:20. 点评: 本题考查了 n 次独立试验中恰有 k 次发生的概率的应用问题与方差的计算问题,是 基础题目. 15. (5 分)在平面直角坐标系中,定义 P(x1,y1) 、Q(x2,y2)之间的“直角距离”为 d(P, Q)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|,则

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ①动点 C(x,y)到坐标原点的“直角距离”等于 1,则动点 C 的轨迹关于 x 轴、y 轴、原点 对称. ②设 A(﹣1,9) 、B(1,0) ,满足到 A 的“直角距离”等于到 B 的“直角距离”的动点 C 的 轨迹是一条长度为 2 的线段; ③设 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,C(x,y)则{(x,y)|d(C,F1)+d(C,F2)=4}? {(x,y) | + ≤1}其中真命题有①③(填序号)

考点: 专题: 分析: 解答:

命题的真假判断与应用. 简易逻辑. 结合新定义逐一求出三个命题中的轨迹,然后分类求出所有情况加以判断. 解:对于①,由动点 C(x,y)到坐标原点的“直角距离”等于 1,得|x|+|y|=1,

则动点 C 的轨迹为

,图象如图,

∴动点 C 的轨迹关于 x 轴、y 轴、原点对称,命题①正确; 对于②,A(﹣1,9) 、B(1,0) ,满足到 A 的“直角距离”等于到 B 的“直角距离”的动点 C 的轨迹为 |x+1|+|y﹣9|=|x﹣1|+|y|, 当 x≤﹣1,y≤0 时,化为﹣x﹣1﹣y+9=﹣x+1﹣y,即 7=0,矛盾; 当 x≤﹣1,0<y<9 时,化为﹣x﹣1﹣y+9=﹣x+1+y,即 , ;

当 x≤﹣1,y≥9 时,化为﹣x﹣1+y﹣9=﹣x+1+y,即 11=0,矛盾; 同理分析另外六种情况. 由当 x≤﹣1,0<y<9 时, 即可判断②错误;

对于③,F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,C(x,y) , 则{(x,y)|d(C,F1)+d(C,F2)=4}={(x,y)||x+1|+|y|+|x﹣1|+|y|=4}. 当 y≥0,x≤﹣1 时,轨迹为{(x,y)|﹣x+y=2,y≥0,x≤﹣1}; 当 y≥0,﹣1<x<1 时,轨迹为{(x,y)|y=1,y≥0,﹣1<x<1}; 当 y≥0,x≥1 时,轨迹为{(x,y)|x+y=2,y≥0,x≥1};

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 由对称性可知其它三种情况. ∴{(x,y)|d(C,F1)+d(C,F2)=4}? {(x,y)| + ≤1}.命题③正确.

故答案为:①③. 点评: 本题是新概念题,考查了命题的真假判断与应用,考查了数形结合的解题思想方法, 关键是对题意的理解,是中档题. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 16. (12 分)安排 5 名歌手的演出顺序. (1)要求歌手甲乙的演出顺序必须相邻,有多少种不同的排法? (2)要求歌手甲不第一个出场,且歌手乙不最后一个出场,有多少种不同的排法? 考点: 计数原理的应用. 专题: 排列组合. 分析: (1)把甲乙捆绑在一起看作一个复合元素,和另外的 3 人全排列即可 (2) ,先排有约束条件的元素,因为要求歌手甲不第一个出场,且歌手乙不最后一个出场,分 两类,根据分类计数原理得到结果. 2 4 解答: 解: (1)把甲乙捆绑在一起看作一个复合元素,和另外的 3 人全排列,故有 A2 A4 =48 种排法 4 (2)分两类:第一类甲最后一个出场,有 A4 种排法 1 1 3 第二类,甲不最后一个出场,有 A3 A3 A3 种排法 4 1 1 3 根据分类计数原理共有 A4 +A3 A3 A3 =78 种不同的排法 点评: 本题考查排列与组合问题,若题目要求元素的顺序则是排列问题,排列问题要做到 不重不漏,有些题目带有一定的约束条件,解题时要先考虑有限制条件的元素. 17. (12 分)已知( ﹣ ) (n∈N )的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 10:
n *

1. (1)求展开式中各项系数的和; ﹣1 (2)求展开式中含 x 的项. 考点: 二项式定理. 专题: 概率与统计. 分析: (1)由于展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 10:1.利用通项公式可得 = ,解得 n=8.令 x=1,可得展开式中各项系数的和=(1﹣2) ;
8

(2)由通项公式可得 Tr+1= ﹣1,解得 r 即可得出.

=

,令

=

- 12 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解: (1)T5= = ∵展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 10:1. ∴ = , = . ,


2

=



化为 n ﹣5n﹣24=0, 解得 n=8. 8 令 x=1,可得展开式中各项系数的和=(1﹣2) =1; (2)由通项公式可得 Tr+1= = ,

令 ∴T3=

=﹣1,解得 r=2.

=112x . 点评: 本题考查了二项式定理及其展开式的性质、通项公式,考查了计算能力,属于基础 题. 18. (12 分)某班从 6 名班干部(其中男生 4 人,女生 2 人)中,任选 3 人参加学校的义务劳 动. (1)设所选 3 人中女生人数为 X,求 X 的分布列; (2)求男生甲或女生乙被选中的概率; (3)设“男生甲被选中”为事件 A,“女生乙被选中”为事件 B,求 P(B|A) . 考点: 条件概率与独立事件;离散型随机变量及其分布列. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (1)由题设知,X 的可有取值为 0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出 X 的 分布列; (2)利用对立事件的概率公式求解即可; (3)求出男生甲被选中的概率、男生甲、女生乙都被选中的概率,即可得出结论. 解答: 解: (1)X=0、1、2、3?(1 分) , P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,P(X=2)= = .

﹣1

∴ξ 的分布列为: X 0 P

1

2

- 13 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ?(4 分) (2)P=1﹣ =1﹣ = ?(8 分)

(3)P(A)=

= ,P(AB)=

= ,P(B|A)= ?(12 分)

点评: 本题考查离散型随机变量的分布列,查了随机事件的概率和条件概率公式等知识, 考查学生的计算能力,属于中档题.
2 2

19. (12 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的点均在 C2: (x﹣1) +y = 外,且对 C1 上任意一 点 M,M 到直线 x=﹣ 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (1)求曲线 C1 的方程; (2)已知直线 l 过定点 P(﹣2,1) ,斜率为 k,当 k 为何值时,直线 l 与曲线 C1 只有一个公 共点点;有两个公共点? 考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)设 M 的坐标为(x,y) ,根据 M 到直线 x=﹣ 的距离等于该点与圆 C2 上点的距 离的最小值,可得 而可得曲线 C1 的方程; (II)由题意可设直线 l 的方程为 y﹣1=k(x+2) ,联立 ﹣4)x+(2k+1) =0,转化为方程有一个根或两个根,求解 k 的范围即可 解答: 解: (I)由已知可得, 曲线 C1 的点均在 C2: (x﹣1) +y = 外, M 在直线 x=﹣ 的右侧,即 x>﹣ , 化简可得曲线 C1 的方程为 y =4x; (II)由题意可设直线 l 的方程为 y﹣1=k(x+2) , 联立 可得,k x +(4k +2k﹣4)x+(2k+1) =0; (1)
2 2 2 2 2 2 2 2

=|x

|,结合已知可知,在直线 x=﹣ 的右侧,从

可得,k x +(4k +2k

2 2

2

=|x

|,

当 k=0 或



- 14 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解可得,k=0 或 k=﹣2 或 k=﹣1 或 k= ; 当 k=0 或 k=﹣2 或 k=﹣1 或 k= 时,直线与曲线 C1 只有一个公共点;





整理可得,



解可得,﹣1 当1

且 k≠0

且 k≠0 时,直线 l 与曲线 C1 个有两个公共点.

点评: 本题考查轨迹方程的求解,考查方程思想的运用,解题的关键是直线与抛物线联立, 属于中档题. 20. (13 分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 800 元,此作物的市场价格和这块 地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表: 作物产量(kg) 300 500 概率 0.5 0.5 作物市场价格(元/kg) 6 10 概率 0.2 0.8 (Ⅰ)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的分布列; (Ⅱ)若在这块地上连续 3 季种植此作物,求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概 率. 考点: 离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)X 的所有值为:500×10﹣800=4200, 500×6﹣800=2200, 300×10﹣800=2200, 300×6﹣800=100,分别求出对应的概率,即可求 X 的分布列; (Ⅱ) 分别求出 3 季中有 2 季的利润不少于 2000 元的概率和 3 季中利润不少于 2000 元的概率, 利用概率相加即可得到结论. 解答: 解: (Ⅰ)设 A 表示事件“作物产量为 300kg”,B 表示事件“作物市场价格为 6 元 /kg”, 则 P(A)=0.5,P(B)=0.2, ∵利润=产量×市场价格﹣成本, ∴X 的所有值为:500×10﹣800=4200,500×6﹣800=2200, 300×10﹣800=2200,300×6﹣800=100, 则 P(X=4200)=P( )P( )=(1﹣0.5)×(1﹣0.2)=0.4, P(X=2200)=P( )P(B)+P(A)P( )=(1﹣0.5)×0.2+0.5(1﹣0.2)=0.5, P(X=1000)=P(A)P(B)=0.5×0.2=0.1, 则 X 的分布列为:

- 15 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com X 4200 2200 1000 P 0.4 0.5 0.1 (Ⅱ)设 Ci 表示事件“第 i 季利润不少于 2000 元”(i=1,2,3) , 则 C1,C2,C3 相互独立, 由(Ⅰ)知,P(Ci)=P(X=4200)+P(X=2200)=0.4+0.5=0.9(i=1,2,3) , 3 3 季的利润均不少于 2000 的概率为 P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.9 =0.729, 3 季的利润有 2 季不少于 2000 的概率为 P(
2

)+P(

)+P(



=3×0.9 ×0.1=0.243, 综上:这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率为:0.729+0.243=0.972. 点评: 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题, 解题时要认真审题,在历年 2015 届高考中都是必考题型之一.

21. (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,长

轴长为 6. (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过原点的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点(A,B 不是椭圆 C 的顶点) .点 D 在椭圆 C 上, 且 AD⊥AB,直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M,N 两点. (i)设直线 BD,AM 的斜率分别为 k1,k2,证明存在常数 λ 使得 k1=λ k2,并求出 λ 的值; (ii)求△OMN 面积的最大值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)通过 2a=6、 = ,计算即得结论;

(Ⅱ) (i)通过设 A(x1,y1) (x1y1≠0) ,D(x2,y2) ,将 k1、k2 用此两点坐标表示,寻求这两 点坐标间的关系即可; (ii)利用 S△OMN= |OM|?|ON|及基本不等式计算即得结论. 解答: 解: (I)由题可知:2a=6,即 a=3, 又∵e= = = ,∴b=1,

∴椭圆 C 的方程为:



(Ⅱ) (i)设 A(x1,y1) (x1y1≠0) ,D(x2,y2) ,则 B(﹣x1,﹣y1) , ∵kAB= ,AD⊥AB,∴直线 AD 的斜率 k=﹣ ,

设直线 AD 的方程为 y=kx+m(k、m≠0) ,

- 16 -

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联立

,消去 y 整理得: (1+9k )x +18mkx+9m ﹣9=0,

2

2

2

由韦达定理可知:x1+x2=﹣ ∴y1+y2=k(x1+x2)+2m= ,



由题可知:x1≠﹣x2,∴k1=

=﹣

=



∴直线 BD 的方程为:y+y1=

(x+x1) ,

令 y=0,得 x=8x1,即 M(8x1,0) , ∴k2=﹣ ,∴k1=﹣ k2,

即存在常数 λ =﹣ 使得 k1=λ k2;

(ii)直线 BD 的方程为:y+y1=

(x+x1) ,

令 x=0 可得:y=﹣ y1,即 M(0,﹣ y1) , ∴S△OMN= ?8|x1|? |y1|= |x1|?|y1|,

∵ |x1|?|y1|≤

+

=1,

当且仅当

=|y1|=

时等号成立,此时 S△OMN 取得最大值 .



∴△OMN 面积的最大值为

点评: 点评:本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查运算求解能力,注意解题方法的 积累,属于中档题.

- 17 -


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