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高中数学竞赛讲座 07面积问题和面积方法


竞赛讲座 07 --面积问题和面积方法
基础知识 1.面积公式 由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形, 故在面积公式中最基本的是三角形的 面积公式.它形式多样,应在不同场合下选择最佳形式使用. 设△ ABC , a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, ha 为 a 的高, R 、 r 分别为△ ABC 外接 圆、内切圆的半径, p ? (1) S ?A

BC ? (2) S ?ABC

1 (a ? b ? c) .则△ ABC 的面积有如下公式: 2

1 ah a ; 2 1 ? bc sin A 2

(3) S ?ABC ? (4) S ?ABC ? (5) S ?ABC

p( p ? a)( p ? b)( p ? c)

1 r (a ? b ? c) ? pr 2 abc ? 4R

(6) S ?ABC ? 2R 2 sin Asin B sin C (7) S ?ABC ? (8) S ?ABC ? (9) S ?ABC

a 2 sin B sin C 2 sin(B ? C )

1 ra (b ? c ? a ) 2 1 ? R 2 (sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2C ) 2

2.面积定理 (1)一个图形的面积等于它的各部分面积这和; (2)两个全等形的面积相等; (3)等底等高的三角形、平行四边形、梯形(梯形等底应理解为两底和相等)的面积相等; (4)等底(或等高)的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高(或底) 的比; (5)两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方; (6)共边比例定理:若△ PAB 和△ QAB 的公共边 AB 所在直线与直线 PQ 交于 M ,则

S ?PAB : S ?QAB ? PM : QM ;
( 7 )共角比例定理:在△ ABC 和△ A?B ?C ? 中,若 ?A ? ?A? 或 ?A ? ?A? ? 180 ? ,则

S ?ABC AB ? AC . ? S ?A?B?C? A?B ? ? A?C ?
3.张角定理:如图,由 P 点出发的三条射线 PA, PB, PC ,设 ?APC ? ? , ?CPB ? ? ,

?APB ? ? ? ? ? 180? ,则 A, B, C 三点共线的充要条件是:
sin ? sin ? sin(? ? ? ) ? ? . PB PA PC
例题分析 例 1.梯形 ABCD 的对角线 AC, BD 相交于 O ,且 S ?AOB ? m , S ?COD ? n ,求 S ABCD 例 2.在凸五边形 ABCDE 中,设 S ?ABC ? S ?BCD ? S ?CDE ? S ?DEA ? S ?EAB ? 1,求此五边 形的面积. 例 3. G 是△ ABC 内一点,连结 AG, BG, CG 并延长与 BC, CA, AB 分别交于 D, E, F , △ AGF 、△ BGF 、△ BGD 的面积分别为 40,30,35,求△ ABC 的面积. 例 4. P, Q, R 分别是△ ABC 的边 AB, BC 和 CA 上的点,且 BP ? PQ ? QR ? RC ? 1 , 求△ ABC 的面积的最大值. 例 5 . 过 △ ABC 内 一 点 引 三 边 的 平 行 线 DE ∥ BC , FG ∥ CA , HI ∥ AB , 点

D, E, F , G, H , I 都在△ ABC 的边上, S1 表示六边形 DGHEFI 的面积, S 2 表示
△ ABC 的面积.求证: S1 ?

2 S2 . 3

例 6.在直角△ ABC 中, AD 是斜边 BC 上的高,过△ ABD 的内心与△ ACD 的内心的直 线分别交边 AB 和 AC 于 K 和 L ,△ ABC 和△ AKL 的面积分别记为 S 和 T .求证: S ? 2T . 例 7.锐角三角形 ABC 中,角 A 等分线与三角形的外接圆交于一点 A1 ,点 B1 、 C1 与此类 似,直线 AA 1 与 B 、 C 两角的外角平分线将于一点 A0 ,点 B0 、 C 0 与此类似.求证: (1)三角形 A0 B0 C0 的面积是六边形 AC1 BA 1CB1 的面积的二倍; (2)三角形 A0 B0 C0 的面积至少是三角形 ABC 的四倍. 例 8.在△ ABC 中, P, Q, R 将其周长三等分,且 P, Q 在边 AB 上,求证:

S ?PQR S ?ABC

?

2 . 9

例 9.在锐角△ ABC 的边 BC 边上有两点 E 、 F ,满足 ?BAE ? ?CAF ,作 FM ? AB ,

FM ? AC ( M , N 是垂足) , 延长 AE 交△ ABC 的外接圆于点 D , 证明四边形 AMDN 与
△ ABC 的面积相等.

三.面积的等积变换 等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一, 它的特点是利用间面积相等而进行相互转换 证(解)题. 例 10 . 凸 六 边 形 ABCDEF 内 接 于 ⊙ O , 且 AB ? BC ? DC ? 3 ? 1 ,

DE ? EF ? FA ? 1 ,求此六边形的面积. 例 11 .已知 ?ABC 的三边 a ? b ? c ,现在 AC 上取 AB ? ? AB ,在 BA 延长线上截取

BC ? ? BC ,在 CB 上截取 CA? ? CA ,求证: S ?ABC ? S ?A?B?C? . ?A?B ?C ? 在 ?ABC 内, 例 12. 且 ?ABC ∽ ?A?B ?C ? , 求征: S ?A?BC ? S ?B?CA ? S ?C?AB ? S ?ABC
例 13 .在 ?ABC 的三边 BC, CA, AB 上分别取点 D, E, F ,使 BD ? 3DC, CE ? 3EA ,

AF ? 3FB ,连 AD, BE, CF 相交得三角形 PQR ,已知三角形 ABC 的面积为 13,求三角
形 PQR 的面积. 例 14 . E 为圆内接四边形 ABCD 的 AB 边的中点, EF ?AD 于 F , EH ?BC 于 H , EG ?CD 于 G ,求证: EF 平分 FH . 例 15.已知边长为 a, b, c, 的 ?ABC ,过其内心 I 任作一直线分别交 AB, AC 于 M , N 点, 求证:

MI a ? c ? . IN b

例 16.正△ PQR ? 正△ P ?Q ?R ? , AB ? a1 , BC ? b1 , CD ? a2 , DE ? b2 ,

EF ? a3 , FA ? b3 .求证: a1 ? a2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3 .
例 17. 在正 ?ABC 内任取一点 O , 设 O 点关于三边 BC, CA, AB 的对称点分别为 A?, B ?, C ? , 则 AA?, BB?, CC ? 相交于一点 P . 例 18.已知 AC, CE 是正六边形 ABCDEF 的两条对角线,点 M , N 分别内分 ACCE ,且

2

2

2

2

2

2

AM CN ? ? k ,如果 B, M , N 三点共线,试求 k 的值. AC CE 例 19. 设在凸四边形 ABCD 中, 直线 CD 以 AB 为直径的圆相切, 求证: 当且仅当 BC ∥ AD 时,直线 AB 与以 CD 为直径的圆相切.
使 训练题
2 1 . 设 ?A B C的 面 积 为 10 cm , D, E, F 分 别 是 AB, BC, CA 边 上 的 点 , 且

AD ? 2cm, DB ? 3cm, 若 S ?ABE ? S DBEF ,求 ?ABE 的面积.
2.过 ?ABC 内一点作三条平行于三边的直线,这三条直线将 ?ABC 分成六部份,其中,三 部份为三角形,其面积为 S1 , S 2 , S 3 ,求三角形 ?ABC 的面积.

3.在 ?ABC 的三边 AB, BC, CA 上分别取不与端点重合的三点 M , K , L ,求证: ?AML ,

?BKM , ?CLK 中至少有一个的面积不大于 ?ABC 的面积的

1 . 4

4.锐角 ?ABC 的顶角 A 的平分线交 BC 边于 L ,又交三角形的外接圆于 N ,过 L 作 AB 和

AC 边的垂线 LK 和 LM ,垂足是 K , M , 求证: 四边形 AKNM 的面积等于 ?ABC 的 面积.
5.在等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上取一点 D ,使 DC ?

1 BC ,作 BE ?AD 交 AC 于 3

E ,求证: AE ? EC .
6.三条直线 l , m, n 互相平行, l , n 在 m 的两侧,且 l , m 间的距离为 2 , m, n 间的距离为 1, 若正 ?ABC 的三个顶点分别在 l , m, n 上,求正 ?ABC 的边长. 7 .已知 ?P ,证明:在 1P 2P 3 及其内任一点 P ,直线 P i P 分别交对边于 Qi ( i ? 1,2,3 )

P1 P P2 P P3 P 这三个值中,至少有一个不大于 2,并且至少有一个不小于 2. , , PQ1 PQ2 PQ3
8. 点 D 和 E 分别在 ?ABC 的边 AB 和 BC 上, 点 K 和 M 将线段 DE 分为三等分, 直线 BK 和 BM 分别与边 AC 相交于点 T 和 P ,证明: TP ?

1 AC . 3

9.已知 P 是 ?ABC 内一点,延长 AP, BP, CP 分别交对边于 A?, B ?, C ? ,其中 AP ? x ,

BP ? y, CP ? z, PA? ? PB? ? PC ? ? w ,且 x ? y ? z ? 23, w ? 3 ,求 xyz 之值.
10.过点 P 作四条射线与直线 l , l ? 分别交于 A, B, C , D 和 A?, B ?, C ?, D ? ,求证:

AB ? CD A?B ? ? C ?D ? ? . AD ? BC A?D ? ? B ?C ?
11.四边形 ABCD 的两对对边的延长线分别交 K , L ,过 K , L 作直线与对角线 AC, BD 的 延长线分别 G, F ,求证:

LF LG ? . KF KG

12. G 为 ?ABC 的重心,过 G 作直线交 AB, AC 于 E , F ,求证: EG ? 2GF .


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