当前位置:首页 >> >>

2011高考数学单元复习训练48:抛物线


课时训练 48 抛物线 【说明】 本试卷满分 100 分,考试时间 90 分钟. 一、选择题(每小题 6 分,共 42 分) 1.(2010 江苏南通九校模拟,2)抛物线 y=ax2 的准线方程是 y=1,则 a 的值为( A.

) D.-4

1 4

B.-

1 4

C.4

答案: 答案:B

1 1 1 y,又准线方程为 y=1,故=1,a=- . a 4a 4 1 2 2.(2010 江苏苏州一模,5)抛物线 y= x 的焦点坐标是( ) 4 1 1 A.(0, ) B.( ,0) 16 16
解析: 解析:y=ax2 ? x2= C.(1,0) 答案: 答案:D 解析: 解析:y= D.(0,1)

1 2 x ? x2=4y,其焦点为(0,1). 4

3.(2010 中科大附中模拟,7)已知抛物线的顶点为原点,焦点在 y 轴上,抛物线上点(m,-2) 到焦点的距离为 4,则 m 的值为( ) A.4 B.-2 C.4 或-4 D.2 或-2 答案: 答案:C 解析 : 设抛物线方程为 x2=-2py,(p>0),则

p -(-2)=4,p=4,故抛物线方程为 x2=-8y,m2=-8× 2

(-2),m=±4. 4.(2010 湖北黄冈一模, 11)过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于 P(x1,y1)、 (x2,y2) Q ) 两点,若 x1+x2=3p,则|PQ|等于( A.4p B.5p C.6p D.8p 答案: 答案:A 解析:|PQ|=|PF|+|FQ|=x1+ 解析:

p p +x2+ =x1+x2+p.又 x1+x2=3p,故|PQ|=4p. 2 2

5.(2010 江苏南通九校模拟,9)已知点 P(m,3)是抛物线 y=x2+4x+n 上距点? A(-2,0)最 近一点,则 m+n 等于( ) A.1 B.3 C.5 D.7 答案: 答案:C 解析: ,故 3=(-2)2+4×(-2)+n,n=7,m+n=?-2+7=5. 解析:由已知得 P 为抛物线的顶点(-2,3) 6.(2010 浙江联考,7)一动圆圆心在抛物线 x2=4y 上,过点(0,1)且恒与定直线 l 相切,则 直线 l 的方程为( ) A.x=1 D.y=B.x=

1 16

C.y=-1

1 16

答案: 答案:C 解析: 解析:根据抛物线定义,圆心到焦点(0,1)的距离与到准线的距离相等,故 l 为准线 y=-1. 7.(2010 北京东城区一模,8)已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是 M,

点 A 的坐标是 A( A.

7 ,4) ,则|PA|+|PM|的最小值是( 2
B.4

) C.

11 2

9 2

D.5

答案: 答案:C 解析: 解析:|PA|+|PM|=|PA|+|PM|+

7 1 2 1 1 1 1 1 9 2 - =|PA|+|PF|- ≥|AF|- = ( ? ) + 4 - = . 2 2 2 2 2 2 2 2

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8.过点(0,2)与抛物线 y2=8x 只有一个公共点的直线有_____________条. 答案: 答案:3 解析: 解析:两条切线和一条平行于对称轴的直线,应填 3. 9.过抛物线 y2=4x 的焦点 F,作倾角为 答案: 答案:

π
3

的弦 AB,则 AB 的长是_____________.

16 3

解析: 解析:利用结论|AB|=

2p = sin 2 α

4 ( 3 2 ) 2

=

16 . 3

10.(2010 湖北十一校大联考,16)设 PQ 是抛物线 y2=2px(p>0)上过焦点 F 的一条弦,l 是抛物 线的准线,给定下列命题:①以 PF 为直径的圆与 y 轴相切;②以 QF 为直径的圆与 y 轴相 切;③以 PQ 为直径的圆与准线 l 相切;④以 PF 为直径的圆与 y 轴相离;⑤以 QF 为直径的 圆与 y 轴相交.则其中所有正确命题的序号是:________________________. 答案: 答案:①②③

x1 +
解析: P(x1,y1),PF 中点为 A 解析: 设 (

p p x1 + y1 2 , ) 到 y 轴的距离为 2 = 1 |PF|,故①正确; ,A 2 2 2 2
x1 + x 2 y1 + y 2 , )到准线的 距离为 2 2

同理②也正 确;又 |PQ|=x1+x2+p,PQ 的中点 B (

x1 + x 2 p + ,故③正确,④⑤错误. 2 2
三、解答题(11—13 题每小题 10 分,14 题 13 分,共 43 分) 11.已知抛物线 y2=2px(p>0),过焦点 F 的弦的倾斜角为θ(θ≠0),且与抛物线相交于 A、 两 B 点. (1)求证:|AB|=

2p ; sin 2 θ

(2)求|AB|的最小值. (1)证明:如右图,焦点 F 的坐标为 F( 证明: 证明

p ,0). 2

设过焦点、倾斜角为θ的直线方程为 y=tanθ· (x得 tan2θ·x2-(2p+ptan2θ)x+

p ),与抛物线方程联立,消去 y 并整理, 2

p 2 ? tan 2 θ =0. 4 2 p + p tan 2 θ . tan 2 θ

此方程的两根应为交点 A、B 的横坐标,根据韦达定理,有 x1+x2= 设 A、B 到抛 物线 的准线 x=-

p 的 距离 分别 为 |AQ|和 |BN|, 根 据 抛 物线 的定 义 ,有 2 2p |AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p= . sin 2 θ 2p (2)解析:因|AB|= 解析: 的定义域是 0<θ<π,又 sin2θ≤1, 解析 2 sin θ

所以,当θ=

π

2

时,|AB|有最小值 2p.

12.已知抛物线 y2=2px(p>0)的一条焦点弦 AB 被焦点 F 分成 m、n 两部分,求证: 定值,本题若推广到椭圆、双曲线,你能得到什么结论? 解析: (1)当 AB⊥x 轴时,m=n=p, 解析: ∴

1 1 + 为 m n

1 1 2 + = . m n p p ), 2

(2)当 AB 不垂直于 x 轴时,设 AB:y=k(xA(x1,y1),B(x2,y2),|AF|=m,|BF|=n, ∴m=

p p +x1,n= +x2. 2 2 k 2 p2 =0, 4

将 AB 方程代入抛物线方程,得 k2x2-(k2p+2p)x+

? k2 p + 2p x1 + x 2 = , ? ? k2 ∴? ? x ? x = p2 . ? 1 2 ? 4



1 1 m+n + = m n mn

=

x1 + x 2 + p 2 = . 2 p p p x1 x 2 + ( x1 + x 2 ) + 2 4 1 1 2 + = (e 是椭圆的离心率) ;若推广到双曲线,则要求弦 m n ep

本题若推广到椭圆,则有

AB 与双曲线交于同一支,此时,同样有

1 1 2 + = (e 为双曲线的离心率). m n ep

13.如右图,M 是抛物线 y2=x 上的一点,动弦 ME、MF 分别交 x 轴于 A、B 两点,且? |MA|=|MB|.

(1)若 M 为定点,证明:直线 EF 的斜率为定值; (2)若 M 为动点,且∠EMF=90°,求△EMF 的重心 G 的轨迹方程. (1)证明:设 M(y02,y0) 证明: ,直线 ME 的斜率为? k(k>0),则直线 MF 的斜率为-k, 证明 直线 ME 的方程为 y-y0=k(x-y02).

? y ? y 0 = k ( x ? y 0 2 ), ? 由? 得 ? y 2 = x. ?
ky2-y+y0(1-ky0)=0. 解得 y0·yE=

y 0 (1 ? ky 0 ) , k

∴yE=

1 ? ky 0 (1 ? ky 0 ) 2 ,∴xE= . k k2 1 + ky 0 (1 + ky 0 ) 2 ,∴xF= . k k2

同理可得 yF=

∴kEF=

yE ? yF 1 =? (定值). xE ? xF 2 y0

(2)解析:当∠EMF=90°时,∠MAB=45°,所以 k=1,由(1)得 E( 解析: (1-y0)2,(1-y0)) 解析 F( (1+y0)2,-(1+y0)). 设重心 G(x,y) ,则有

2 ? x + xE + xF 2 + 3 y0 x= M = , ? ? 3 3 ? ? y = yM + y E + y F = ? y0 . ? 3 3 ?

消去参数 y0,得 y2=

1 2 x? (x>0). 9 27

14.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 M(1,-3) 、N(5,1) ,若点 C 满足 OC = ? t OM +(1-t) ON (t∈R),点 C 的轨迹与抛物线 y2=4x 交于 A、B 两点. (1)求证: OA ⊥ OB ; (2)在 x 轴上是否存在一点 P(m,0) ,使得过点 P 任作抛物线的一条弦,并以该弦为直径的 圆都过原点.若存在,请求出 m 的值及圆心的轨迹方程;若不存在,请说明理由. (1)证明:由 OC =t OM +(1-t) ON (t∈R)知点 C 的轨迹是 M、N 两点所在的直线,故点 C 的轨迹方程是:y+3=

1 ? (?3) ·(x-1),即 y=x-4. 4

由?

? y = x ? 4, ? y = 4 x,
2

? (x-4)2=4x ? x2-12x+16=0.

∴x1x2=16,x1+x2=12, ∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16. ∴x1x2+y1y2=0.故 OA ⊥ OB . (2)解析:存在点 P(4,0) 解析: ,使得过点 P 任作抛物线的一条弦,以该弦为直径的圆都过原 解析 点. 由题意知:弦所在的直线的斜率不为零, 故设弦所在的直线方程为:x=ky+4,代入 y2=x,得 y2-4ky-16=0, ∴y1+y2=4k,y1y2=-16. kOA·kOB=

y1 y 2 y y 16 16 ? = 12 ? 22 = = =-1. x1 x 2 y1 y 2 ? 16 y1 y2 4 4

∴OA⊥OB,故以 AB 为直径的圆都过原点. 设弦 AB 的中点为 M(x,y), 则 x=

1 1 (x1+x2),y= (y1+y2). 2 2

x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=k·(4k)+8=4k2+8. ∴弦 AB 的中点 M 的轨迹方程为: ? 轻松阅读

? x = 2k 2 + 4, 消去 k,得 y2=2x-8. ? y = 2k ,

圆锥曲线的由来 圆锥曲线的由来 圆锥曲线是圆、椭圆、抛物线与双曲线的总称,它们都可以通过不经过圆锥顶点的平面 截圆锥面得到,圆锥曲线也因此而得名. 圆锥曲线是继直线、圆以后人类认识比较早的一类曲线.早在两千多年前,古希腊的数学 家就开始详细研究圆锥曲线.他们曾用三种不同的圆锥面导出圆锥曲线,即用垂直于圆锥母线 的平面截圆锥面,当圆锥的顶角为直角、锐角或钝角时,分别得到抛物线、椭圆和双曲线.公元 前 3 世纪,希腊数学家阿波罗尼奥斯(Apollonus)首次从一个对顶圆锥得到所有的圆锥曲线,并 创立了相当完美的圆锥曲线理论.


相关文章:
抛物线-2016年高考数学(理)一轮复习精品资料(原卷版)
抛物线-2016年高考数学(理)一轮复习精品资料(原卷版)_高三数学_数学_高中教育...第07章 测试题-2014年高... 暂无评价 4页 免费 专题05 函数及其表示-20....
高中数学抛物线_高考经典例题
高中数学抛物线_高考经典例题_数学_高中教育_教育专区。1 抛物线的定义:平面内与...在已知曲线的类型求曲线方程时,这种方法是最常规方法,需要 重点掌握. 例9 如图...
抛物线高考真题
抛物线高考真题_数学_高中教育_教育专区。2010~2014 ...D.48 ) p p 解析:设抛物线方程为 y2=2px,则...答案:C 13. (2011 辽宁,5 分)已知 F 是抛物线...
高考数学专项:抛物线测试题(含详细解析)
高考数学专项:抛物线测试题(含详细解析) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.抛物线 y ? 2 x 2 的焦点坐标是 () 1 A. (1,...
高考数学一轮复习第八章几何第讲抛物线习题创新
2017 高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第 7 讲 抛物线习题 A 组 基础巩固 一、选择题 1.(2015?山西大学附中第一学期 12 月月考)若抛物线 y=ax 的焦点...
高考总复习抛物线习题
高中数学高考总复习抛物线习题(附参考答案) 一、选择题 x2 y2 1.(2010· 湖北黄冈)若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 +=1 的右焦点重合,则 p 的值 6 2 ...
高考抛物线专题做题技巧与方法总结
高考抛物线专题做题技巧与方法总结_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高考抛物线专题做题技巧与方法总结知识点梳理: 1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ( p ? ...
2018年高考数学江苏专版二轮专题复习训练填空题专项强...
2018年高考数学江苏专版二轮专题复习训练填空题专项强化练(十三)双曲线和抛物线及答案_数学_高中教育_教育专区。14 个填空题专项强化练(十三) A 组——题型分类练...
高考数学总复习第九章解析几何课时规范练50抛物线理新...
高考数学总复习第九章解析几何课时规范练50抛物线理新人教A版_数学_高中教育_...课时规范练 50 2 抛物线 )到其焦点的距离是点 A 到 y 轴距离的 一、基础...
高考数学复习点拨 抛物线的参数方程及其应用
高考数学复习点拨 抛物线的参数方程及其应用_高考_高中教育_教育专区。高考数学复习点拨 抛物线的参数方程及其应用 抛物线的参数方程及其应用一、抛物线的参数方程 抛物线...
更多相关标签: