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高中数学竞赛讲座 09圆


竞赛讲座 09 -圆
基础知识 如果没有圆,平面几何将黯然失色. 圆是一种特殊的几何图形,应当掌握圆的基本性质,垂线定理,直线与圆的位置关系, 和圆有关的角,切线长定理,圆幂定理,圆和圆的位置关系,多边形与圆的位置关系. 圆的几何问题不是独立的,它与直线形结合起来,将构成许多丰富多彩的、漂亮的几何 问题, “三角形的心” , “几何著名的几何定理” , “共圆、共线、共

点” , “直线形” 将构成圆 的综合问题的基础. 本部分着重研究下面几个问题: 1.角的相等及其和、差、倍、分; 2.线段的相等及其和、差、倍、分; 3.二直线的平行、垂直; 4.线段的比例式或等积式; 5.直线与圆相切; 6.竞赛数学中几何命题的等价性. 命题分析 例 1.已知 A 为平面上两个半径不等的⊙ O1 和⊙ O2 的一个交点,两圆的外公切线分别 为P 1P 2 , Q1Q2 , M 1 、 M 2 分别为 P 1Q1 、 P2 Q2 的中点,求证: ?O1 AO2 ? ?M 1 AM 2 . 例 2.证明:唯一存在三边长为连续整数且有一个角为另一个角的两倍的三角形. 例 3.延长 AB 至 D ,以 AD 为直径作半圆,圆心为 H , G 是半圆上一点, ?ABG 为 锐角. E 在线段 BH 上, Z 在半圆上, EZ ∥ BG ,且 EH ? ED ? EZ , BT ∥ HZ .求
2

证: ?TBG ?

1 ?ABG . 3

例 4.求证:若一个圆外切四边形有两条对边相等,则圆心到另外两边的距离相等. 例 5.设 ? A 是△ ABC 中最小的内角,点 B 和 C 将这个三角形的外接圆分成两段弧, U 是落在不含 A 的那段弧上且不等于 B 与 C 的一个点,线段 AB 和 AC 的垂直平分线分别 交线段 AU 于 V 和 W ,直线 BV 和 CW 相交于 T .证明: AU ? TB ? TC . 例 6. 菱形 ABCD 的内切圆 O 与各边分别切于 E , F , G, H , 在 EF 与 GH 上分别作⊙ O 切线交 AB 于 M ,交 BC 于 N ,交 CD 于 P ,交 DA 于 Q ,求证: MQ ∥ NP . 例 7 .⊙ O1 和⊙ O2 与△ ABC 的三边所在直线都相切, E , F , G, H 为切点,并且



EG, FH 的延长线交于点 P .求证:直线 PA 与 BC 垂直.
例 8.在圆中,两条弦 AB, CD 相交于 E 点,M 为弦 AB 上严格在 E 、B 之间的点.过

D, E, M 的圆在 E 点的切线分别交直线 BC 、 AC 于 F , G .已知

AM CE ? t ,求 (用 t 表 AB EF

示) . 例 9. 设点 D 和 E 是△ ABC 的边 BC 上的两点, 使得 ?BAD ? ?CAE . 又设 M 和 N

1 1 1 1 ? ? ? . MB MD NC NE 例 10.设△ ABC 满足 ?A ? 90? , ?B ? ?C ,过 A 作△ ABC 外接圆 W 的切线,交 直线 BC 于 D ,设 A 关于直线 BC 的对称点为 E ,由 A 到 BE 所作垂线的垂足为 X , AX 的中点为 Y , BY 交 W 于 Z 点,证明直线 BD 为△ ADZ 外接圆的切线.
分别是△ ABD 、△ ACE 的内切圆与 BC 的切点.求证: 例 11. 两个圆 ?1 和 ?2 被包含在圆 ? 内, 且分别现圆 ? 相切于两个不同的点 M 和 N . ?1 经过 ?2 的圆心. 经过 ?1 和 ?2 的两个交点的直线与 ? 相交于点 A 和 B , 直线 MA 和直线 MB 分别与 ?1 相交于点 C 和 D .求证: CD 与 ?2 相切. 例 12.已知两个半径不相等的⊙ O1 和⊙ O2 相交于 M 、 N 两点,且⊙ O1 、⊙ O2 分别 与⊙ O 内切于 S 、 T 两点.求证: OM ? MN 的充要条件是 S 、 N 、 T 三点共线. 例 13.在凸四边形 ABCD 中, AB 与 CD 不平行,⊙ O1 过 A 、 B 且与边 CD 相切于 点 P ,⊙ O2 过 C 、 D 且与边 AB 相切于点 Q .⊙ O1 和⊙ O2 相交于 E 、 F ,求证: EF 平 分线段 PQ 的充要条件是 BC ∥ AD . 例 14.设凸四边形 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 互相垂直,且两对边 AB 与 CD 不 平行. 点 P 为线段 AB 与 CD 的垂直平分线的交点, 且在四边形的内部. 求证:A 、B 、C 、

D 四点共圆的充要条件为 S ?PAB ? S ?PCD .
训练题 1.△ ABC 内接于⊙ O ,?BAC ? 90? ,过 B 、C 两点⊙ O 的切线交于 P ,M 为 BC AM ? cos ?BAC ; 的中点,求证: (1) (2) ?BAM ? ?PAC . AP

CA, AB 的中点, 2 .已知 A?, B ?, C ? 分别是△ ABC 外接圆上不包含 A, B, C 的弧 BC,
BC 分别和 C ?A? 、 A?B ? 相交于 M 、 N 两点,CA 分别和 A?B ? 、 B ?C ? 相交于 P 、Q 两点,
AB 分别和 B ?C ? 、C ?A? 相交于 R 、S 两点.求证:MN ? PQ ? RS 的充要条件是△ ABC
为等边三角形. 3.以△ ABC 的边 BC 为直径作半圆,与 AB 、CA 分别 交于点 D 和 E ,过 D 、E 作 BC 的垂线,垂足分别为 F 、 G .线段 DG 、 EF 交于点 M .求证: AM ? BC . 4.在△ ABC 中,已知 ? B 内的旁切圆与 CA 相切于 D , ?C 内的旁切圆与 AB 相切 于 E ,过 DE 和 BC 的中点 M 和 N 作一直线,求证:直线 MN 平分△ ABC 的周长,且与 ? A 的平分线平行.







5.在△ ABC 中,已知,过该三角形的内心 I 作直线平行于 AC 交 AB 于 F .在 BC 边 上取点 P 使得 3BP ? BC .求证: ?BFP ?

1 ?B . 2

6 . 半 圆 圆 心 为 O , 直 径 为 AB , 一 直 线 交 半 圆 于 C , D , 交 AB 于 M ( MB ? MA, MC ? MD ) .设 K 是△ AOC 与△ DOB 的外接圆除点 O 外之另一交点.求 证: ?MKO 为直角 . 7 . 已 知 , AD 是 锐 角 △ ABC 的 角 平 分 线 , ?BAC ? ? , ?ADC ? ? , 且
2 co? s ?cos ? .求证: AD2 ? BD ? DC .

8. M 为△ ABC 的边 AB 上任一点, r1 , r2 , r 分别为△ AMC 、△ BMC 、△ ABC 的 内切圆半径; ?1 , ? 2 , ? 分别为这三个三角形的旁切圆半径(在 ?ACB 内部) . 求证:

r1

?1 ? 2

?

r2

?

r

?



9.设 D 是△ ABC 的边 BC 上的一个内点, AD 交△ ABC 外接圆于 X , P 、 Q 是 X 分 别 到 AB 和 AC 的 垂 足 , O 是 直 径 为 XD 的 圆 . 证 明 : PQ 与 ⊙ O 相 切 当 且 仅 当

AB ? AC .
10.若 AB 是圆的弦, M 是 AB 的中点,过 M 任意作弦 CD 和 EF ,连 CD, DE 分别 交 AB 于 X , Y ,则 MX ? MY . 11.设 H 为△ ABC 的垂心, P 为该三角形外接圆上的一点, E 是高 BH 的垂足,并 设 PAQB 与 PARC 都是平行四边形, AQ 与 BR 交于 X .证明: EX ∥ AP . 12.在△ ABC 中, ?C 的平分线分别交 AB 及三角形的外接圆于 D 和 K , I 是内切 圆圆心.证明: (1)

1 1 1 CI ID ? ? ? ? 1. ; (2) ID IK CI ID IK


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