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2013版高三(理)一轮复习


(45 分钟 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分)

100 分)

1.已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点, 且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切, 则圆 C 的方程为(
2 2

) (B)(x-1) +y =2 (D)(x-1) +y =4
2 2 2 2 2 2

(A)(x+1) +y =2 (C)(x+1) +y =4
2 2

2.若直线 y=x-b 与圆(x-2) +y =1 有两个不同的公共点, 则实数 b 的取值范围为( (A)(2- 2,1) (B)[2- 2,2+ 2] (C)(-∞,2- 2)∪(2+ 2,+∞) (D)(2- 2,2+ 2) 3.(2012?梅州模拟)方程(x +y ) -(1+4x)(x +y )+4x=0 所确定的图形 为( ) (B)两个内切的圆 (D)两个相离的圆
2 2 2 2 2

)

(A)两个外切的圆 (C)两个相交的圆

4.(2012?广州模拟)把直线 x-2y+λ =0 向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位后,所 得直线正好与圆 x +y +2x-4y=0 相切,则实数 λ 的值为( (A)3 或 13 (C)3 或-13 (B)-3 或 13 (D)-3 或-13
2 2 2 2

)

5.(易错题)设直线 kx-y+1=0 被圆 O:x +y =4 所截弦的中点的轨迹为 C,则曲线 C 与直 线 x+y-1=0 的位置关系为( (A)相离 (B)相切
2

) (D)不确定

(C)相交
2

6.过点 P(2,3)向圆 x +y =1 作两条切线 PA、PB,则弦 AB 所在直线的方程 为( ) (B)2x+3y-1=0 (D)3x-2y-1=0

(A)2x-3y-1=0 (C)3x+2y-1=0

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.(2012?大连模拟)过点 P(2,1)作圆 C:x +y -ax+2ay+2a+1=0 的切线有两条,则 a 的取值范围是 .
2 2 2 2

8.与直线 l:x+y-2=0 和曲线 x +y -12x-12y+54=0 都相切的半径最小的圆的标准方
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程是

.
2 2 2 2

9.已知圆 C1:x +y -6x-7=0 与圆 C2:x +y -6y-25=0 相交于 A、B 两点,且点 C(m,0) 在直线 AB 的左上方,则 m 的取值范围为 三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.(2012?如皋模拟)已知圆 C:x +(y-1) =5,直线 l:mx-y+1-m=0. (1)求证:对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同交点 A、B; (2)求弦 AB 中点 M 的轨迹方程,并说明其轨迹是什么曲线? (3)若定点 P(1,1)分弦 AB 为 PB =2 AP ,求直线 l 的方程. 4 1 11.(预测题)已知圆 M 的圆心 M 在 x 轴上,半径为 1,直线 l:y= x- 被圆 M 所截的弦长为 3 2 3,且圆心 M 在直线 l 的下方. (1)求圆 M 的方程; (2)设 A(0,t),B(0,t+6)(-5≤t≤-2),若圆 M 是△ABC 的内切圆,求△ABC 的面积 S 的最大值和最小值. 【探究创新】 (16 分)已知过点 A(-1,0)的动直线 l 与圆 C:x +(y-3) =4 相交于 P,Q 两点,M 是 PQ 中 点,l 与直线 m:x+3y+6=0 相交于 N.
2 2 2 2

.

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??? ?

(1)求证:当 l 与 m 垂直时,l 必过圆心 C; (2)当 PQ=2 3时,求直线 l 的方程; (3)探索 AM ? AN 是否与直线 l 的倾斜角有关?若无关,请求出其值;若有关,请说明理 由.

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答案解析 1.【解析】选 A.直线 x-y+1=0,令 y=0 得 x=-1,所以直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点 为(-1,0),因为直线 x+y+3=0 与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即 r= |-1+0+3| 2 2 = 2,所以圆 C 的方程为(x+1) +y =2. 2 |2-b| 2. 【解析】 选 D.因为直线与圆有两个不同的交点, 所以圆心到直线的距离小于半径, 即 2 <1, 解得 2- 2<b<2+ 2. 3. 【解析】选 C.由原方程可得(x +y -1)(x +y -4x)=0. 1 15 2 2 2 2 而圆 x +y =1 与 x +y -4x=0 相交于点( ,± ).故选 C. 4 4 4.【解析】选 A.平移后的直线方程为 x+1-2(y+2)+λ =0,即 x-2y+λ -3=0. 圆的标准方程为(x+1) +(y-2) =5. |-1-4-3+λ | 由直线与圆相切的几何性质,得 = 5. 5 ∴|λ -8|=5,∴λ =3 或 13. 5. 【解析】选 C.直线 kx-y+1=0 恒过定点 A(0,1),设弦的中点为 P,则 OP⊥AP,则轨迹 1 2 1 1 2 C 是以线段 OA 为直径的圆,其方程为 x +(y- ) = ,圆心(0, )到直线 x+y-1=0 的距 2 4 2 1 | -1| 2 2 1 离 d= = < , 4 2 2 ∴直线 x+y-1=0 与曲线 C 相交. 6.【解题指南】先求以 PO 为直径的圆的方程,再求两圆的公共弦方程即得.
2 2 2 2 2 2

? 3?2 13 2 2 2 【解析】选 B.以 PO 为直径的圆(x-1) +?y- ? = 与圆 x +y =1 的公共弦即为所求,直 ? 2? 4
线方程为 2x+3y-1=0,故选 B. 7.【解析】依题意可知:点 P 在圆 C 外, a 1 2 2 2 而圆 C:x +y -ax+2ay+2a+1=0 的圆心坐标( ,-a),半径 r= 5a -8a-4, 2 2 a 2 2 5a -8a-4 则(2- ) +(1+a) > >0, 2 4
2

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2 解上式得:-3<a<- 或 a>2. 5 2 答案:-3<a<- 或 a>2 5 8.【解题指南】最小圆的圆心一定在过 x +y -12x-12y+54=0 的圆心到直线 x+y-2=0 所作的垂线段上. 【解析】∵圆 A:(x-6) +(y-6) =18, ∴A(6,6),半径 r1=3 2,且 OA⊥l,A 到 l 的距离为 5 2,显然所求 圆 B 的直径 2r2=2 2,即 r2= 2,又 OB=OA-r1-r2=2 2,由 OA 与 x 轴正半轴成 45°角, ∴B(2,2),∴方程为(x-2) +(y-2) =2. 答案:(x-2) +(y-2) =2 9.【解析】因为圆 C1:x +y -6x-7=0 与圆 C2:x +y -6y-25=0 相交,所以其相交弦 方程为:x +y -6x-7-(x +y -6y-25)=0, 即 x-y-3=0, 又因为点 C(m,0)在直线 AB 的左上方,所以 m-0-3<0,解得 m<3. 答案:m<3 【方法技巧】求解相交弦问题的技巧 把两个圆的方程进行相减得:x +y +D1x+E1y+F1-(x +y +D2x+E2y+F2)=0 即(D1-D2)x +(E1-E2)y+(F1-F2)=0 我们把直线方程①称为两圆 C1、C2 的根轴, 当两圆 C1、C2 相交时,方程①表示两圆公共弦所在的直线方程; 当两圆 C1、C2 相切时,方程①表示过圆 C1,C2 切点的公切线方程. 10.【解析】(1)圆心 C(0,1),半径 r= 5,则圆心到直线 l 的距离 d= |-m| 1+m
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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<1,

∴d<r,∴对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点(或此直线恒过一个定点,且这个定 点在圆内). (2)设中点 M(x,y),因为 l:m(x-1)-(y-1)=0 恒过定点 P(1,1),∴ CM ? MP =0, ∴(x,y-1)?(1-x,1-y)=0, 整理得:x +y -x-2y+1=0,
2 2

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1 2 1 1 1 2 即:(x- ) +(y-1) = ,表示圆心坐标是( ,1),半径是 的圆. 2 4 2 2 (3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),
?mx-y+1-m=0 ? 解方程组? 2 2 ?x +(y-1) =5 ?

得(1+m )x -2m x+m -5=0, 2m ∴x1+x2= 2 1+m 又 PB =2 AP , ∴(x2-1,y2-1)=2(1-x1,1-y1), 即:2x1+x2=3 3+ m (m+1) 联立①②解得 x1= 2,则 y1= 2 , 1+ m 1+m 3+m (m+1) 即 A( 2, 2 ). 1+m 1+m 将 A 点的坐标代入圆的方程得:m=±1, ∴直线 l 的方程为 x-y=0,x+y-2=0. 11.【解题指南】(1)因为已知圆的半径,求圆的方程,所以只需想办法求出圆心坐标即可; (2)由已知可求出|AB|的值,想办法再求出点 C 到 AB 的距离即可求出△ABC 的面积 S 的解析 式,进而求面积 S 的最值. 【解析】(1)设圆心 M(a,0),由已知得 M 到 l:8x-6y-3=0 的距离为
2 2 2 2 2 2

2

2

2

2



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1 -( ∴

3 2 1 )= , 2 2

1 = , 8 +(-6) 2
2 2

|8a-3|

又∵M 在 l 的下方,∴8a-3>0,∴8a-3=5,a=1. 故圆的方程为(x-1) +y =1. (2)由题设 AC 的斜率为 k1,BC 的斜率为 k2,则直线 AC 的方程为 y=k1x+t,直线 BC 的方程 为 y=k2x+t+6.
? ?y=k1x+t 由方程组? ?y=k2x+t+6 ?
2 2

6 ,得 C 点的横坐标为 xc= . k1-k2

∵|AB|=t+6-t=6,

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1 6 18 ∴S= | |?6= , 2 k1-k2 k1-k2 由于圆 M 与 AC 相切,所以 1= 1-t ∴k1= ; 2t 1-(t+6) 同理,k2= , 2(t+6) 3(t +6t+1) ∴k1-k2= , 2 t +6t 6(t +6t) 1 ∴S= 2 =6(1- 2 ),∵-5≤t≤-2. t +6t+1 t +6t+1 ∴-2≤t+3≤1,∴-8≤t +6t+1≤-4, 1 15 1 27 ∴Smax=6?(1+ )= ,Smin=6?(1+ )= , 4 2 8 4 15 27 ∴△ABC 的面积 S 的最大值为 ,最小值为 . 2 4 【变式备选】(2012?大庆模拟)已知圆 O:x +y =1,圆 C:(x-2) +(y-4) =1,由两圆 外一点 P(a,b)引两圆切线 PA、PB,切点分别为 A、B,如图,满足|PA|=|PB|.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

| k1 ? t | 1 ? k12



(1)求实数 a、b 间满足的等量关系; (2)求切线长|PA|的最小值; (3)是否存在以 P 为圆心的圆,使它与圆 O 相内切并且与圆 C 相外切?若存在,求出圆 P 的 方程;若不存在,说明理由. 【解析】(1)连接 PO、PC,∵|PA|=|PB|,|OA|=|CB|=1, ∴|PO| =|PC| ,从而 a +b =(a-2) +(b-4) , 化简得实数 a、b 间满足的等量关系为:a+2b-5=0. (2)由 a+2b-5=0,得 a=-2b+5,
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|PA|= |PO| -|OA| = a +b -1 = (-2b+5) +b -1 = 5b -20b+24= 5(b-2) +4. ∴当 b=2 时,|PA|min=2. (3)不存在.∵圆 O 和圆 C 的半径均为 1,若存在半径为 R 的圆 P,与圆 O 相内切并且与圆 C 相外切,则有|PO|=R-1 且|PC|=R+1. 于是有:|PC|-|PO|=2,即|PC|=|PO|+2, 从而得 (a-2) +(b-4) = a +b +2, 两边平方,整理得 a +b =4-(a+2b), 将 a+2b=5 代入上式得: a +b =-1<0, 故满足条件的实数 a、b 不存在,∴不存在符合题设条件的圆 P. 【探究创新】 1 【解析】(1)∵l 与 m 垂直,且 km=- ,∴kl=3,故直线 l 的方程为 y=3(x+1),即 3x-y 3 +3=0. ∵圆心坐标(0,3)满足直线 l 的方程, ∴当 l 与 m 垂直时,l 必过圆心 C. (2)①当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x=-1 符合题意. ②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1),即 kx-y+k=0, ∵PQ=2 3,∴CM= 4-3=1, |-3+k| 4 则由 CM= ,得 k= , 2 3 k +1 ∴直线 l:4x-3y+4=0. 故直线 l 的方程为 x=-1 或 4x-3y+4=0. (3)∵CM⊥MN,∴ AM ? AN =( AC + CM )? AN = AC ? AN + CM ? AN = AC ? AN . 5 ①当 l 与 x 轴垂直时,易得 N(-1,- ), 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

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???? 5 则 AN =(0,- ), 3
又 AC =(1,3),∴ AM ? AN = AC ? AN =-5.

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②当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1),
?y=k(x+1) ? 则由? ? ?x+3y+6=0

-3k-6 -5k ,得 N( , ), 1+3k 1+3k

???? -5 -5k 则 AN =( , ), 1+3k 1+3k
∴ AM ? AN = AC ? AN =

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????

-5 -15k + =-5. 1+3k 1+3k

综上所述, AM ? AN 与直线 l 的倾斜角无关,且 AM ? AN =-5.

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