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高二数学 (理)答案定稿


2014—2015 学年度第一学期期末抽测

高二数学(理)试题参考答案
一、填空题: 1. 60 ? 2. ?x ? R , x 2 ? 1 ? 0 3.

3 3 3 3

4. y 2 ? ?8 x

5. y ? ? x

3 2

6. ?1

7.3

8.1

9.1 10. (7,1)

11.

12. 1 或

3 4

13. ?

9 4

14.

5? 7 3

二、解答题: 15.⑴因为 E , F 分别是 A1 B, A1C 的中点,所以 EF 因为 EF ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC , 所以 EF

BC ,……………………………2 分
平面 ABC .…………………7 分

⑵因为三棱柱 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,所以 BB1 ? 平面 A1 B1C1 , 因为 A1 D ? 平面 A1 B1C1 ,所以 BB1 ? A1D .……………………………………………10 分 又因为 A1 D ? B1C , BB1

B1C ? B1 , BB1 , B1C ? 平面 BB1C1C ,所以 A1 D ? 平面 BB1C1C .

因为 A1 D ? 平面 A1CD ,所以平面 ACD ? 平面 BB1C1C .……………………………14 分 1 16.⑴因为 A(1,0) , B(1, 4) , C (3, 2) ,所以 k AC ? 1 , kBC ? ?1 , 所以 CA ? CB ,又 CA ? CB ? 2 2 ,所以 △ ABC 是等腰直角三角形, ………………3 分 ⑵由⑴可知, M 的圆心是 AB 的中点,所以 M (1, 2) ,半径为 2 , 所以 M 的方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 .………………………………………………6 分 ⑶因为圆的半径为 2 ,当直线截圆的弦长为 2 3 时, 圆心到直线的距离为 22 ?

? 3?

2

? 1 .……………………………………………………8 分

①当直线 l 与 x 轴垂直时, l 方程为 x ? 0 ,与圆心 M (1, 2) 的距离为 1 ,满足条件; 10 分 ②当直线 l 的斜率存在时,设 l : y ? kx ? 4 , 因为圆心到直线 y ? kx ? 4 的距离为

k?2
2

3 ? 1 ,解得 k ? ? , 4 k ?1

此时直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 16 ? 0 . 综上可知,直线 l 的方程为 x ? 0 或 3x ? 4 y ? 16 ? 0 .…………………………………14 分 17.以 DA, DC, DD1 为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐 标系 D ? xyz ,设 DE ? t ,
1 高二数学(理)试题参考答案 第 1 页(共 4 页)

D1 A1 E

z

C1 B1

D A x M
(第 17 题图)

C y B

则 A(1,0,0) , B(1,1,0) , E (0,0, t ) , D(0,0,1) .…………………………………………2 分 ⑴当 E 点为 DD1 中点时,t ? 所以 cos ? AE , BD ??

1 1 5 ,AE ? (?1,0, ) ,BD ? (?1,?1,1) , AE ? , BD ? 3 , 2 2 2

15 15 ,所以异面直线 AE 与 BD1 所成角余弦为 .…………8 分 5 5

⑵取 AC 中点 M ,由题意知 EM ? AC , B1M ? AC ,所以 ?B1ME 是二面角 B1 ? AC ? E 的 平面角,因为 MB1 ? ( , ,1) , ME ? (? , ? , t ) , MB1 ?

1 1 2 2

1 2

1 2

3 1 2 ? t ,10 分 , ME ? 2 2

1 ? ?t 1 4 ? 10 2 2 ? 所以 ,两边平方整理得 6t ? 8t ? 1 ? 0 ,所以 t ? . 6 6 3 1 ? 2t 2 2 2
因为 E 在棱 DD1 上, 0 ≤ t ≤ 1 ,所以 t ?

4 ? 10 4 ? 10 , 所以 DE 的长为 .…14 分 6 6

18.⑴连结 OB ,因为 AB ? x ,所以 OA ? 9 ? x2 ,设圆柱底面半径为 r ,则 9 ? x2 ? 2?r , 即 4?2 r 2 ? 9 ? x 2 ,所以 V ? ?r 2 x ? ? ? ⑵由 V ? ?

9 ? x2 9 x ? x3 ?x? ,其中 0 ? x ? 3 .……………6 分 2 4? 4?

9 ? 3x 2 ? 0 及 0 ? x ? 3 ,得 x ? 3 ,……………………………………………8 分 4?

列表如下:

x
V?
V

? 0, 3 ?
+

3
0

?

3,3

?
…………………………………………12 分

?
3 3 ??

极大值

所以当 x ? 3 时, V 有极大值,也是最大值为

3 3 . ?? 3 3 3 m .……………16 分 ??

答:当 x 为 3 m 时,做出的圆柱形罐子体积最大,最大体积是

2 高二数学(理)试题参考答案 第 2 页(共 4 页)

? a2 4 3 , ? ? 3 ?c x2 ?a ? 2, ? 19.⑴由 ? 2c ? 2 3, 得 ? 所以椭圆 C 的方程为 ? y 2 ? 1 .…………………2 分 4 ?b ? 1. ? 2 2 2 a ? b ? c ? ? ?
⑵①因为 A1 ? ?2,0 ? ,A2 ? 2,0? ,M ? 4,2? , 所以 MA1 的方程为 y ? ( x ? 2) , 代入 x2 ? 4 y 2 ? 4 ,

1 3

4 1 x2 ? 4 + 4[ ( x ? 2)]2 ? 0 ,即 ( x + 2)[( x ? 2) + ( x + 2)] ? 0 , 9 3 10 10 12 12 因为 xA1 ? ?2 ,所以 xP ? ,则 yP ? ,所以点 P 的坐标为 ( , ) .……………6 分 13 13 13 13 6 4 同理可得点 Q 的坐标为 ( , ? ) .…………………………………………………………8 分 5 5
②设点 M ? x0 , y0 ? ,由题意, x0 ? ?2 .因为 A1 ? ?2, 0? , A2 ? 2,0? , 所以直线 MA1 的方程为

y?

y0 y ( x ? 2) ,代入 x2 ? 4 y 2 ? 4 ,得 x 2 ? 4 + 4[ 0 ( x ? 2)]2 ? 0 , x0 ? 2 x0 ? 2
2 4 y0 ( x + 2)] ? 0 ,因为 xA1 ? ?2 , ( x0 ? 2)2

即 ( x + 2)[( x ? 2) +

2 8 y0 4( x0 ? 2) y0 ( x0 ? 2) 2 4( x0 + 2) 2 所 以 xP ? ,故点 P 的坐标为 ? ? 2 , 则 yP ? 2 2 2 ( x0 ? 2) 2 ? 4 y0 2 4 y0 ( x0 + 2) + 4 y0 1+ ( x0 ? 2) 2

2?

(

4 (x0 + 22) 4 x( 2 y0) 0? .…………………………………………………… 10 分 ?2, ) 2 2 2 2 ( x0 + 2 ) + 4 y0 x ( 0? 2? ) y 4 0

同理可得点 Q 的坐标为 (

?4( x0 - 2)2 ?4( x0 ? 2) y0 ?2, ) .………………………12 分 2 2 ( x0 - 2) + 4 y0 ( x0 ? 2) 2 ? 4 y0 2
yQ yP . ? xP ? 1 xQ ? 1

因为 P , Q , B 三点共线,所以 kPB ? kQB ,
4( x0 ? 2) y0 ( x0 ? 2)2 ? 4 y0 2

?4( x0 ? 2) y0 2 2 ( x0 ? 2) y0 ?( x0 ? 2) y0 ( x 0 ? 2) ? 4 y0 所以 ,即 , ? ? 2 2 2 2 ( x ? 2) ? 12 y ? 3( x0 ? 2)2 ? 4 y0 2 ?4( x0 ? 2) 0 0 4 ? x0 + 2 ? ? 2 ?1 ? 2 ?1 2 ( x0 ? 2) 2 ? 4 y0 2 ? x0 + 2 ? + 4 y02
3 高二数学(理)试题参考答案 第 3 页(共 4 页)

由题意, y0 ? 0 ,所以

x0 ? 2 x0 ? 2 . ? 2 2 ( x0 ? 2) ? 12 y0 3( x0 ? 2) 2 ? 4 y0 2

即 3( x0 ? 2)( x0 ? 2)2 ? 4( x0 ? 2) y02 ? ( x0 ? 2)( x0 ? 2)2 ? 12( x0 ? 2) y0 2 . 所以 ( x0 ? 4)(

x0 2 x2 x2 ? y0 2 ? 1) ? 0 ,则 x0 ? 4 ? 0 或 0 ? y0 2 ? 1 .若 0 ? y0 2 ? 1 ,则点 M 在椭圆 4 4 4

上, P , Q , M 为同一点,不合题意.故 x0 ? 4 ,即点 M 始终在定直线 x ? 4 上.…16 分 20.⑴ a ? 1 时, y ? x ln x , y? ? ln x ? 1 ,令 y ? ? 0 ,得 ln x ? ?1 ,解得 x ?

1 . e

所以函数 y ? x ln x 的单调增区间为 ( , ??) .…………………………………………………2 分 ⑵由题意 a ln x ≥ ? x2 ? (a ? 2) x 对 1 ≤ x ≤ e 恒成立,因为 1 ≤ x ≤ e 时, x ? ln x ? 0 , 所以

1 e

a≤

( x ? 1) ? x ? 2(1 ? ln x)? x2 ? 2x x2 ? 2x 对 1 ≤ x ≤ e 恒成立.记 h( x) ? ,因为 h?( x) ? ≥0 对 x ? ln x x ? ln x ( x ? ln x)2

1 ≤ x ≤ e 恒成立,当且仅当 x ? 1 时 h? ? x ? ? 0 ,所以 h( x) 在 ?1,e? 上是增函数,
所以 ?h( x)?min ? h(1) ? ?1 ,因此 a ≤ ?1 .……………………………………………………6 分 ⑶ 因为 f ?( x) ? e x ? ( x ?1)e x ? 2 kx ? x(e x ? 2 k) ,由 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ln 2 k 或 x ? 0 (舍) . 可证 ln x ≤ x ? 1 对任意 x ? 0 恒成立,所以 ln 2k ≤ 2k ? 1 , 因为 k ≤ 1 ,所以 2k ? 1 ≤ k ,由于等号不能同时成立,所以 ln 2 k ? k ,于是 0 ? ln 2k ? k . 当 0 ? x ? ln 2k 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (0,ln 2k ) 上是单调减函数; 当 ln(2k ) ? x ? k 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (ln 2k , k ) 上是单调增函数. 所以 ? f ( x)?max ? max ? f (0), f (k )? ? max ?1,(k ? 1)ek ? k 3 ,………………………………8 分 记 p( x) ? ( x ? 1)e ? x ? 1, 0 ≤ x ≤ 1 ,以下证明当 0 ≤ x ≤ 1 时, p( x) ≥ 0 .
x 3

?

?

p?( x) ? xe x ? 3x2 ? x(e x ? 3x) ,记 r ( x) ? e x ? 3x , r ?( x) ? e x ? 3 ? 0 对 0 ? x ? 1 恒成立,
r (1) ? ?2 ? 0 , r (0) ? 1 ? 0 , 3 x0 0 ? , 所以 r ( x) 在 ?0,1? 上单调减函数, 所以 ?x0 ? (0,1) , 使 e x0 ?

当 0 ? x ? x0 时,p?( x) ? 0 ,p( x) 在 (0, x0 ) 上是单调增函数; 当 x0 ? x ? 1 时,p?( x) ? 0 ,p( x)
在 ( x0 ,1) 上是单调减函数.又 p(0) ? p(1) ? 0 ,所以 p( x) ≥ 0 对 0 ? x ≤ 1 恒成立, 即 ( x ? 1)e x ? x3 ≥ ?1 对 0 ? x ≤ 1 恒成立,所以 ? f ( x)?max ? (k ? 1)ek ? k 3 .………………16 分
4 高二数学(理)试题参考答案 第 4 页(共 4 页)


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