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简单的三角恒等变换复习课教学案



三角恒等变换小结与复习
一、复习要点: 1.熟记以下公式:
sin (? ? ? ) ? co s(? ? ? ) ? sin (? ? ? ) ? co s(? ? ? ) ?

用??
tan (? ? ? ) ? tan (? ? ? ) ?

代? 令? ? ?
sin 2 ? ? co s 2 ? ? tan 2 ? ?

=

= 变形

s in ? ?
2

co s ? ?
2

2.三角恒等变换: 常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简、求值、证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与 角之间的和差、倍半、互补、互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问 题获解,对角的变换如: ① 2? 是
3? 是

的二倍; 4 ? 是 的二倍;
?
2 ?(

的二倍; ? 是 的二倍;
?
2 ? 2? 是

的二倍;

?
2



二倍;

?
3



的二倍.② ? ? (? ? ? ) ? ? ;
?
4 ??)?(



?
4

?? ?

?
4

? ? ) ;④ 2 ? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? (

?
4

? ? ) 等等

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦 是基础,通常切化弦,变异名为同名. (3)常数代换:在三角函数运算、求值、证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如 常数“1”的代换变形有: 1 ? sin ? ? co s ? ? sin 9 0 ? ? tan 4 5 ? .
2 2

(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理 的方法。常用降幂公式有: , .降幂并非绝对,有时
1

要升幂, 如对无理式 1 ? co s ? 常用升幂化为有理式, 常用升幂公式有: . (5) a sin ? ? b co s ? = (其中 sin ? = = ;c o s = ? ; .)



(6)三角函数式的化简运算通常从“角、名、形、幂”四方面入手:

基本规则:切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,和
积互化,特殊值与特殊角的三角函数互化. 二、应用: (一)求值: (I)两角和与差的正弦、余弦公式的应用: 1.已知 ? , ? 都是锐角, s in ? ?
4 5 , c o s (? ? ? ) ? 5 13

,求 s in ? 的值.

2.已知 c o s(

?
4

??) ?

3 5

, sin (

5? 4

??)? ?

12 13

,? ? (

?
4

,

3? 4

), ? ? (0 ,

?
4

) ,求 sin (? ? ? ) 的值.

(II)两角和与差的正弦、余弦公式及方程思想的应用: 3.已知 c o s(? ? ? ) ?
1 5 , c o s( ? ? ? ) ? 3 5

,求 tan ? tan ? 的值.

4.已知 c o s ? ? c o s ? ?

1 2

, sin ? ? sin ? ?

1 3

,求 co s(? ? ? ) 的值.

2

(III)两角和与差的正切公式的应用: 5.已知 ? , ? 都是锐角, ta n ? ?
1 7 , s in ? ? 10 10

,求 tan (? ? 2 ? ) 的值.

6.(1)若 ? ? ? ?

3? 4

,求 (1 ? tan ? )(1 ? tan ? ) 的值;

(2)求值:

ta n 2 0 ? ? ta n 4 0 ? ? ta n 1 2 0 ? ta n 2 0 ? ta n 4 0 ?

(3) tan 2 0 ? ? tan 4 0 ? ?

3 tan 2 0 ? tan 4 0 ? 的值是

.

(IV)二倍角公式的应用; 7.(1)已知 c o s ? ? ?
3 5 ,? ? ? ? 3? 2

,求 (s in

?
2

? cos

?
2

) 的值;

2

(2)已知 s in ? ? c o s ? ?
4 4

5 9

,求 sin 2? 的值.

3

(二)化简: 8.(1)
1 sin 1 0 ? ? 3 cos 10 ?

(2) tan 7 0 ? co s 1 0 ? ( 3 tan 2 0 ? ? 1)

(三)证明: 9.(1) co s 4 ? ? 4 co s 2 ? ? 3 ? 8 co s ?
4

(2)

1 ? s in 2 ? 2 c o s ? ? s in 2 ?
2

?

1 2

ta n ? ?

1 2

(3)

sin ( 2 ? ? ? ) sin ?

? 2 c o s(? ? ? ) ?

sin ? sin ?

4


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