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高中数学联赛真题分类汇编—函数与方程


高中数学联赛

真题分类汇编

于洪伟

高中数学联赛真题汇编——函数与方程

(1981T6)在坐标平面上有两个区域 M 和 N,M 是由 y≥0,y≤x 和 y≤2-x 这三个不等式 确定,N 是随 t 变化的区域,它由不等式 t≤x≤t+1 确定,t 的取值范围是 0≤t≤1 , 设 M 和 N 的公共面积是函数 f(t),则 f(t)为

A.-t2+t+ B.-2t2+2tC.1- t2D. (t-2)2
解:⊿OAB 的面积=1。
2

1 2

1 2

1 2

y y=x

1 2 直角边长为 t 的等腰直角三角形面积 = t . 直角边长为 2 - 2 1 2 (1+t)=1-t 的等腰直角三角形面积= (1-t) . 2

A
1

O t
1

B t+1 2 y=2-x

x

l1

l2

1 1 1 1 f(t)=1- t2- (1-t)2=1-t2+t- = +t-t2( 0≤t≤1 ).选 A. 2 2 2 2

(1981T7)对方程 x|x|+px+q=0 进行讨论,下面结论中,哪一个是错误的?

A.至多有三个实根 C.仅当 p2-4q≥0 时才有实根

B.至少有一个实根 D.当 p<0 和 q>0 时,有三个实根

解:画出 y=x|x|及 y=-px-q 的图象:知 A、B 正确,C、D 错误.选 C、D.

(1982T4)由方程|x-1|+|y-1|=1 确定的曲线所围成的图形的面积是 A.1 B.2 C.πD.4 解:此曲线的图形是一个正方形,顶点为(0,1),(1,0),(2,1),(1,2);其面积为 2.选

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B.

(1984T4)方程 sinx=lgx 的实根个数是( ) A.1B.2C.3D.大于 3 解:作 y=sinx 及 y=lgx 的图象,当 x>10 时,lgx>1.故二者只在(0,10)内可能有交 点.经作图可知,二者在(0,π)内有一交点,在(2π,3π)内有一交点.选 C.

1 (1986T8)已知 f(x)=|1-2x|,x∈[0,1],那么方程 f(f(f(x)))= x 的解的个数是. 2

? ? 解:f(f(x))=|1-2|1-2x||=? ? ?

1 1-4x,(0≤x≤ ) 4 1 1 4x-1,( ≤x≤ ) 4 2 1 3 3-4x,( ≤x≤ ) 2 4 3 4x-3,( ≤x≤1) 4

同样 f(f(f(x)))的图象为 8 条线段,其斜率分别为±8,夹在 y=0 与 y=1,x=0,x=1 之 1 内.它们各与线段 y= x (0≤x≤1)有 1 个交点.故本题共计 8 解. 2

(1991T4)设函数 y=f(x)对于一切实数 x 满足 f(3+x)=f(3-x) 且方程 f(x)=0 恰有 6 个不同的实数根,则这 6 个实根的和为( )A A.18B.12C.9D.0 解:该函数图象关于 x=3 对称.故 6 个根的和=3×2×3=18.选 A.
(1995T4)已知方程|x-2n|=k x(n∈N*)在区间(2n-1,2n+1]上有两个不相等的实根, 则 k 的取值范围是( ) 1 (A)k>0 (B)0<k≤ 2n+1 (C) 1 1 <k≤ 2n+1 2n+1 (D)以上都不是

解:由|x-2n|≥0,故 k≥0,若 k=0,可知在所给区间上只有 1 解.故 k>0. 1 由图象可得,x=2n+1 时,k x≤1.即 k≤ .故选 B. 2n+1 又解:y=(x-2n)2 与线段 y=k2x(2n-1<x≤2n+1)有两个公共点.x2-(4n+k2)x+4n2=0 有(2n -1,2n+1]上有两个根.故△=(4n+k2)2-16n2>0.且(2n-1)2-(4n+k2)(2n-1)+4n2>0,

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1 1 (2n+1)2-(4n+k2)(2n+1)+4n2≥0,2n-1<2n+ k2<2n+1.?k≤ . 2 2n+1

(1995T9)用[x]表示不大于实数 x 的最大整数,方程 lg2x-[lgx]-2=0 的实根个数是. 解:令 lgx=t,则得 t2-2=[t].作图象,知 t=-1,t=2,及 1<t<2 内有一解. 1 当 1<t<2 时,[t]=1,t= 3.故得:x= ,x=100,x=10 3,即共有 3 个实根. 10

?(x-1)3+1997(x-1)=-1, (1997T7)设 x,y 为实数,且满足? 则 x+y?. 3 ?(y-1) +1997(y-1)=1.

解:原方程组即?

?(x-1)3+1997(x-1)+1=0, ?(1-y) +1997(1-y)+1=0.
3

取 f(t)=t3+1997t+1,f?(t)=3t2+1987>0.故 f(t)单调增,现 x-1=1-y,x+y=2.

(2002 二试 2)实数 a,b,c 和正数?使得 f(x)=x3+ax2+bx+c 有三个实根 x1,x2,x3,且满足 ① x2?x1=?, ② x3>

1 (x1+x2) 2

求证:

2a 3 ? 27c ? 9ab

?

3

?

3 3 2

解:∵ f(x)=f(x)?f(x3)=(x?x3)[x2+(a+x3)x+x32+ax3+b] ∴ x1,x2 是方程 x2+(a+x3)x+x32+ax3+b 的两个根 ∵ x2?x1=? ∴ (a+x)2?4(x32+ax3+b)=???? ?3x32+2ax3+?2+4b?a2=0

1 (x1+x2) 2 1 2 2 ∴ x3 ? [? a ? 4a ? 12b ? 3? ] 3
∵x3> 且 4a2?12b-3?2≥0 ∵ f(x)=x3+ax2+bx+c = (x ? ∵ f(x3)=0

(Ⅰ) (Ⅱ) …………10 分

a 3 a2 a 2 1 ) ? ( ? b)(x ? ) ? a 3 ? c ? ab …………20 分 3 3 3 27 3

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1 2 3 a 3 a2 a a ? c ? ? ( x3 ? ) ? ( ? b)(x3 ? ) ∴ ab ? 3 27 3 3 3
由(Ⅰ)得 x3 ?

(Ⅲ)

a 1 2 3 a2 ?2 2 2 ? 4a ? 12b ? 3? ] ? ?b? 3 3 3 3 4

记 p=

a2 ?2 ? b ,由(Ⅱ)和(Ⅲ)可知 p≥ 且 4 3

1 2 2 3 ab ? a 3 ? c? ? 3 27 9
令 y=

p?

?2
4

( p ? ?2 )

p?

?2
4

,则 y≥0 且

1 2 2 3 3 ab ? a 3 ? c? ? y( y 2 ? ?2 ) ……30 分 3 27 9 4

∵y ?
3

3?2 ?2 3?2 ? 3?2 ? 3 y? y ? ( )3 ? ? =y ? 4 4 4 2 4 2
=(y ?

?
2

) 2 ( y ? ? ) ≥0



2a 3 ? 27c ? 9ab 3 3 1 2 3 3 ? …………40 分 ab ? a 3 ? c ? ? ? ? 2 3 27 18 ?3

∴取 a=2 3 ,b=2,c=0,?=2,则 f(x)=x3+ax2+bx+c 有根 ? 3 ? 1 , ? 3 ? 1 ,0 显然假设条件成立,且

2a 3 ? 27c ? 9ab

?

3

1 3 3 ? (48 3 ? 36 3 ) ? 8 2
的最大值是

综上所述

2a 3 ? 27c ? 9ab

?

3

3 3 …………50 分 2

(2006T11)方程 ( x 11.【解】 ( x
2006

2006

? 1)(1 ? x2 ? x4 ? ? ? x2004 ) ? 2006x2005 的实数解的个数为.

? 1)(1 ? x 2 ? x 4 ? ? ? x 2004 ) ? 2006x 2005

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? (x ?

1 x
2005

)(1 ? x 2 ? x 4 ? ? ? x 2004 ) ? 2006 1 x
2005

? x ? x3 ? x5 ? ? ? x 2005 ? ? 2006 ? x ?

?

1 x
2003

?

1
2001

1 1 ? x3 ? 3 ? ? ? x 2005 ? 2005 ? 2? 1003 ? 2006 x x x 1 3 1 1 2005 ? 2005 ,即 x ? ?1 。 要使等号成立,必须 x ? , x ? 3 ,? , x x x x 但是 x ? 0 时,不满足原方程。所以 x ? 1 是原方程的全部解。因此原方程的实数解
个数为 1 。 (2009T6)若方程 lg kx ? 2lg ? x ? 1? 仅有一个实根,那么 k 的取值范围是.

x 1

???

1 ? 2006 x

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