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高中数学知识点---椭圆、双曲线、抛物线


高中数学专题四
《圆锥曲线》知识点小结

椭圆、双曲线、抛物线

一、椭圆: (1)椭圆的定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于常数(大于 | F1 F2 | ) 的点的轨迹。 其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意: 2a ?| F1 F2 | 表示椭圆; 2a ?| F1 F2 | 表示线段

F1 F2 ; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹; (2)椭圆的标准方程、图象及几何性质: 中心在原点,焦点在 x 轴上 标准方 程
x y ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
2 2

中心在原点,焦点在 y 轴上

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
B2 y F2 O F1 B1 A2 x





P A1 F1

y

B2 O F2 B1 A2

x

P A1





A1 ( ? a,0), A2 ( a,0) B1 (0,?b), B2 (0, b)

A1 ( ?b,0), A2 (b,0) B1 (0,? a ), B2 (0, a )

对称轴 焦 焦 点 距

x 轴, y 轴;短轴为 2b ,长轴为 2a

F1 (?c,0), F2 (c,0)

F1 (0,?c), F2 (0, c)

| F1F2 |? 2c(c ? 0) c 2 ? a 2 ? b 2
e? c (0 ? e ? 1) (离心率越大,椭圆越扁) a

离心率





2b 2 (过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段) a

2 2 3. 常用结论: (1) 椭圆 x 2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 , 过 F1 的直线交椭圆于 A, B a b

两点,则 ?ABF2 的周长=
2 2 (2)设椭圆 x 2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0) 左、右两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 且垂直于对称轴 a b

的直线交椭圆于 P, Q 两点,则 P, Q 的坐标分别是 | PQ |?

二、双曲线: (1) 双曲线的定义: 平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数 (小于 | F1 F2 | ) 的点的轨迹。 其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意: | PF 1 | ? | PF2 |? 2a 与 | PF2 | ? | PF 1 |? 2a ( 2a ?| F 1 F2 | )表示双曲线的一支。

2a ?| F1 F2 | 表示两条射线; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹;
(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质: 中心在原点,焦点在 x 轴上 标准方程
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

中心在原点,焦点在 y 轴上

y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2
P y F2 B2 x x





P F1 A1

y O A2 F2

O B1 F1





A1 (?a,0), A2 (a,0)

B1 (0,?a), B2 (0, a)

对称轴

x 轴, y 轴;虚轴为 2b ,实轴为 2a
F1 (?c,0), F2 (c,0)
2 2

焦 焦

点 距

F1 (0,?c), F2 (0, c)
2

| F1F2 |? 2c(c ? 0) c ? a ? b
e?

离心率 渐近线 通 径

c (e ? 1) (离心率越大,开口越大) a

y??

b x a
2b 2 a

y??

a x b

(3)双曲线的渐近线:
2 2 2 2 ①求双曲线 x ? y ? 1 的渐近线,可令其右边的 1 为 0 ,即得 x ? y ? 0 ,因式分解得到 2 2 2 2

a

b

a

b

x y ? ?0。 a b

②与双曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 共渐近线的双曲线系方程是 ? ??; a2 b2 a2 b2

2 2 2 (4)等轴双曲线为 x ? y ? t ,其离心率为 2

2 2 (4)常用结论: (1)双曲线 x ? y ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 的直线交双 a2 b2

曲线的同一支于 A, B 两点,则 ?ABF2 的周长=
2 2 (2)设双曲线 x ? y ? 1(a ? 0, b ? 0) 左、右两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 且垂直于对 a2 b2

称轴的直线交双曲线于 P, Q 两点,则 P, Q 的坐标分别是 | PQ |? 三、抛物线: (1)抛物线的定义:平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。 其中:定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线。 (2)抛物线的标准方程、图象及几何性质: p ? 0

焦点在 x 轴上, 开口向右 标准方 程

焦点在 x 轴上, 开口向左

焦点在 y 轴上, 开口向上

焦点在 y 轴上, 开口向下

y 2 ? 2 px

y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

l
图 形 O

y P x F

P F

y

l
x P

y F O x

l
P

O

y O F

x

l
顶 点 对称轴
p F ( ,0 ) 2

O(0,0)

x轴
F (? p ,0) 2
p F (0, ) 2

y轴
p F (0,? ) 2

焦 点

离心率 准 线 通 径 焦半径 焦点弦 焦准距
| PF |?| x 0 | ? p 2
x?? p 2
x? p 2

e ?1
y?? p 2
y? p 2

2p
| PF |?| y 0 | ? p 2

p

四、弦长公式:| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ?

? | A|

其中, A, ? 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y 后所得关于 x 的一元二次 方程的判别式和 x 2 的系数 五、弦的中点坐标的求法 法(一) : (1)求出或设出直线与圆锥曲线方程; (2)联立两方程,消去 y,得关于 x 的 一 元 二 次 方 程 Ax2 ? Bx ? C ? 0, 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 由 韦 达 定 理 求 出

x1 ? x 2 ? ?

x ? x2 B ; (3) 设中点 M ( x0 , y0 ) , 由中点坐标公式得 x 0 ? 1 ; 再把 x ? x0 代 A 2

入直线方程求出 y ? y0 。 法(二) :用点差法,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,中点 M ( x0 , y0 ) ,由点在曲线上, 线段的中点坐标公式,过 A、B 两点斜率公式,列出 5 个方程,通过相减,代入等变形, 求出 x0 , y0 。 六、求离心率的常用方法:法一,分别求出 a,c,再代入公式 法二、建立 a,b,c 满足的关系,消去 b,再化为关于 e 的方程,最后解方程求 e (求 e 时,要注意椭圆离心率取值范围是 0﹤e﹤1,而双曲线离心率取值范围是 e﹥1)

高考专题训练
一、选择题:

椭圆、双曲线、抛物线

1.(2011· 辽宁)已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是抛物线上的两点,|AF|+|BF| =3,则线段 AB 的中点 M 到 y 轴的距离为( 3 A.4 C. 5 4 ) B.1 D. 7 4

答案:C 2.(2011· 湖北)将两个顶点在抛物线 y2=2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的 正三角形个数记为 n,则( )

A.n=0 C.n=2

B.n=1 D.n≥3

答案:C 3.(2011· 全国Ⅱ)已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 y=2x-4 与 C 交于 A,B 两点,则 cos∠AFB=( A. 4 5 ) B. 3 5

3 C.-5 答案:D

4 D.-5

x2 y2 y2 2 4.(2011· 浙江)已知椭圆 C1:a2+b2=1(a>b>0)与双曲线 C2:x - 4 =1 有公共的焦 点,C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A,B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则( 13 A.a2= 2 1 C.b2=2 ) B.a2=13 D.b2=2

答案:C 5. (2011· 福建)设圆锥曲线的两个焦点分别为 F1, F2, 若曲线上存在点 P 满足|PF1|: |F1F2|:|PF2|=4:3:2,则曲线的离心率等于( 1 3 A.2或2 1 C.2或 2 答案:A x2 y2 6.(2011· 邹城一中 5 月模拟)设 F1,F2 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右两个 → → → 焦点,若双曲线右支上存在一点 P,使(OP+OF2)· F2P=0(O 为坐标原点),且|PF1|= 3 |PF2|,则双曲线的离心率为( A. C. 2+1 2 3+1 2 ) B. 2+1 D. 3+1 ) 2 B.3或 2 2 3 D.3或2

答案:D 二、填空题: 1 x2 y2 7.(2011· 江西)若椭圆a2+b2=1 的焦点在 x 轴上,过点?1,2?作圆 x2+y2=1 的切

?

?

线, 切点分别为 A, B, 直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点, 则椭圆方程是________. x2 y2 答案: 5 + 4 =1 8.(2011· 课标)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心在原点,焦点 F1,F2 在 x 2 轴上,离心率为 2 ,过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为________.

x2 y2 答案:16+ 8 =1 x2 9.(2011· 浙江)设 F1,F2 分别为椭圆 3 +y2=1 的左、右焦点,点 A,B 在椭圆上, → → 若F1A=5F2B,则点 A 的坐标是____________. 答案:(0,± 1) x2 y2 10.(2011· 全国)已知 F1、F2 分别为双曲线 C: - =1 的左、右焦点,点 A∈C, 9 27 点 M 的坐标为(2,0),AM 为∠F1AF2 的角平分线,则|AF2|=________.

答案:6 三、解答题: x2 y2 11.(12 分)(2011· 江西)P(x0,y0)(x0≠± a)是双曲线 E:a2-b2=1(a>0,b>0)上一点, 1 M、N 分别是双曲线 E 的左、右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为 . 5 (1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点, → → → C 为双曲线上一点,满足OC=λOA+OB,求 λ 的值.

c 30 解:(1)e=a= 5 . (2)λ=0 或 λ=-4.

12.(13 分)(2011· 辽宁)如图,已知椭圆 C1 的中心在原点 O,长轴左、右端点 M,N 在 x 轴上,椭圆 C2 的短轴为 MN,且 C1,C2 的离心率都为 e.直线 l⊥MN,l 与 C1 交于 两点,与 C2 交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为 A,B,C,D.

1 (1)设 e=2,求|BC|与|AD|的比值; (2)当 e 变化时,是否存在直线 l,使得 BO∥AN,并说明理由. 3 解:(1)|BC|:|AD|=4. (2)t=0 时的 l 不符合题意, t≠0 时, BO∥AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO 与 AN 的斜率 kAN 相等时成立

基础巩固题目

椭圆、双曲线、抛物线

(2) 双曲线 ? x? ? y ? ? ? 的实轴长是

(A)2 【解析】选 C.

(B) ? ?

(C) 4

(D) 4 ?

(5) 在极坐标系中,点 (?,

?
?

) 到圆 ? ? 2cos ? 的圆心的距离为

[来源:学#科#网]

(A) 2

(B)

4?

?2
9

(C)

1?

?2
9

(D)

3

【解析】选 D. (21) (本小题满分 13 分) 设 ? ? ? ,点 A 的坐标为(1,1) ,点 B 在抛物线 y ? x? 上运动,点 Q 满足 BQ ? ? QA , 经 过 Q 点与 M x 轴垂直的直线交抛物线于点 M ,点 P 满足

uuu r

uur

uuur uuu r QM ? ? MP ,求点 P 的轨迹方程。
解:点 P 的轨迹方程为 y ? 2 x ? 1.

(3) 双曲线 ? x ? y ? ? 的实轴长是

?

?

(A)2 【解析】选 C.

(B) ? ?

(C) 4

(D) 4 ?

(4) 若直线 ?x ? y ? a ? ? 过圆 x ? y ? ? x ? ? y ? ? 的圆心,则 a 的值为

?

?

? 【解析】 a ? 1 .

(A)

1

(B) 1

(C) 3

(D)

?

3

(17) (本小题满分 13 分) 设直线 l1 : y ? k1x+1 ,l2 : y=k 2 x ?1,其中实数k1 ? k 2满足k1k 2 +2 ? 0, (I)证明 l1 与 l2 相交; (II)证明 l1 与 l2 的交点在椭圆 2x +y =1上. 证明: (I)反证法
2 2

3.在极坐标系中,圆 ? ? ?2sin ? 的圆心的极坐标是 A. (1, ) 【解析】 : (1, ?

? 2

B. (1, ? )

?
2

? 2

C. (1, 0)

D. (1, ?)

) ,选 B。

19.已知椭圆 G:

x2 ? y 2 ? 1,过点(m,0)作圆 x 2 ? y 2 ? 1的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两 4

点。 (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将 | AB | 表示为 m 的函数,并求 | AB | 的最大值。 解: (Ⅰ) e ?

c 3 ? . a 2

(Ⅱ)当 m ? ? 3 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2.

8.已知点 A(0,2) ,B(2,0) .若点 C 在函数 y = x 的图像上,则使得 ΔABC 的面积为 2 的点 C 的个数为 A A.4 B.3 C.2 D.1

19. (本小题共 14 分) 已知椭圆 G :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点为( 2 2 ,0) ,斜率为 I 2 a b 3

的直线 l 与椭圆 G 交与 A、B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (I)求椭圆 G 的方程; (II)求 ?PAB 的面积. 解: (Ⅰ)椭圆 G 的方程为 (Ⅱ)△ PAB 的面积 S=

x2 y 2 ? ? 1. 12 4

1 9 | AB | ?d ? . 2 2

7. 设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1, F2, 若曲线 r 上存在点 P 满足 PF 1 : F 1F 2 : PF 2 =4:3:2, 则曲线 r 的离心率等于 A A. 或

1 2

3 2

B.

2 或2 3

C. 或 2

1 2

D. 或

2 3

3 2

17. (本小题满分 13 分) 已知直线 l:y=x+m,m∈R。 (I) 若以点 M (2,0) 为圆心的圆与直线 l 相切与点 P, 且点 P 在 y 轴上, 求该圆的方程; 2 (II)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ? ,问直线 l ? 与抛物线 C:x =4y 是否相切?说明 理由。 (I)圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 8.
2 2

(II)当 m=1 时,直线 l ' 与抛物线 C 相切;当 m ? 1 时,直线 l ' 与抛物线 C 不相切。

21.(2) (本小题满分 7 分)坐标系与参数方程 在直接坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为

? x ? 3cos? ? . (? 为参数) ? ? ? y ? sin?
(I)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4,

π ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2

(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 解: (I)点 P 在直线 l 上 (II)最小值为 2.

11.设圆锥曲线 G 的两个焦点分别为 F1、F2,若曲线 G 上存在点 P 满足|PF1|:|F1F2|:|PF2| =4:3:2,则曲线 G 的离心率等于 A 1 3 A.2或2 2 B.3或 2 1 C.2或 2 2 3 D.3或2

18.(本小题满分 12 分) 如图,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x2=4y 相切于点 A。 (Ⅰ)求实数 b 的值; (Ⅱ)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程。 解: (I)b=-1 (II)圆 A 的方程为 ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 4.
2 2

14.(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为

5 2 ? ? x ? 5 cos ? ?x ? t ? (0≤?<? ) 和 ? 4 (t ? R ) ,它们的交点坐标为 . ? ? ? y ? sin ? ? ?y ? t
19.(本小题满分 14 分)

[来源:Zxxk.Com]

2 2 设圆 C 与两圆 (x+ 5) ? y2 ? 4, (x ? 5) ? y2 ? 4 中 的一个内切,另一个外切.

(1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程. (2)已知点 M (

3 5 4 5 且 P 为 L 上动点,求 MP ? FP 的最大值及 , ),F ( 5,0), 5 5

此时点 P 的坐标. (1)解:L 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

(2)解:最大值 2。

21.(本小题满分 14分) 在平面直角坐标系 xOy上, 给定抛物线L : y ? 1 2 x .实数p, q满足p 2 ? 4q ? 0, x1 , x 2 是方程 4 x 2 ? px ? q ? 0的两根, 记? ( p, q ) ? max{| x1 |, | x 2 |}.

1 2 p 0 )( p 0 ? 0)作L的切线交y轴于点B.证明 : 对线段AB上的作一点Q( p, q), 4 |p | 有? ( p , q ) ? 0 ; 2 2 ( 2 )设 M (a, b) 是定点,其中 a , b 满足 a ? 4b>0,a≠0 . 过 M (a, b) 作 L 的两条切线 (1)过点A( p 0 ,

l1 , l2 ,切点分别为 E ( p1 ,

1 2 1 p1 ), E '( P2 , P2 2 ) ,l1 , l2 与 y 分别交于 F , F ' .线段 EF 上异于两 4 4 |P 1| ; 2

端点的点集记为 X .证明: M (a, b) ? X ? P 1 ? P 2 ? ? ( a, b) ?

? 1 5? (3)设D ? ?( x, y ) y ? x ? 1, y ? ( x ? 1) 2 ? ? , 当点(p, q)取遍D时,求 4 4? ? ? (p, q)的最小值(记为?min )和最大值(记为?max ).
解: (3)? ?max ?

x 5 ;?? min ?| 0 |min ? 1 . 4 2


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