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高二同步学讲义 直线、圆、圆锥曲线


一.直线与方程
一、知识框架与总结 【1】本章节我们学习了 5 种直线方程,列表说明如下: 形 式 点斜式 斜截式 方程 y-y1=k(x-x1) y=kx+b 局限 除 x=x0 外 除 x=x0 外 各常数的几何意义 (x1,y1) 是 直 线 上 一 个 定 点,k 是斜率 k 是斜率,b 是 y 轴上的截距 (x1,y1)、(x2,y2)是直线上两 个定点 a

是 x 轴上的非零截距,b 是 y 轴上的非零截距 当 B≠0 时,一般式 Ax+By+C=0 无

两点式

y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x 2 ? x1

除 x=x0 和 y=y0 外

截距式

x y ? =1 a b

除 x=x0、y=y0 及 y=kx 外

A 是斜率,B

C 是 y 轴上的截距 B

小结: 1. 特殊形式必能化成一般式;一般式不一定可以化为其他形式(如特殊位置的直线) ; 2. 由于取点的任意性,一般式化成点斜式、两点式的形式各异,故一般式化斜截式和截距式较常见; 3. 特殊形式的互化常以一般式为桥梁,但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式. 4. 各种形式互化的实质是方程的同解变形(如图 1).

图1 【2】如图 1,已知点 P(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0(A、B≠0).,点 P 到直线 l 的距离: d=

| Ax0 ? By 0 ? C | A2 ? B 2

.

图1

1

【3】两条平行线 l1:Ax+By+C1=0 与 l2:Ax+By+C2=0 的距离 d=

| C1 ? C 2 | A2 ? B 2

.

证明:设 P0(x0,y0)是直线 Ax+By+C2=0 上任一点,则点 P0 到直线 Ax+By+C1=0 的距离为 d=

| Ax0 ? By0 ? C1 | A2 ? B 2

..

又 Ax0+By0+C2=0,即 Ax0+By0=-C2,∴d=

| C1 ? C 2 | A2 ? B 2

.

二、例题讲解 【例 1】 已知直线经过点 A(6,-4),斜率为解:

4 ,求直线的点斜式和一般式方程. 3

【例 2】已知直线 Ax+By+C=0, (1)系数为什么值时,方程表示通过原点的直线? (2)系数满足什么关系时,与坐标轴都相交? (3)系数满足什么条件时,只与 x 轴相交? (4)系数满足什么条件时,是 x 轴? (5)设 P(x0,y0)为直线 Ax+By+C=0 上一点,证明这条直线的方程可以写成 A(x-x0)+B(y-y0)=0.

【例 3】若直线 l1:2x+my+1=0 与 l2:y=3x-1 平行,则 m=____________.

【例 4】把直线 l 的方程 x-2y+6=0 化成斜截式,求出直线 l 的斜率和它在 x 轴与 y 轴上的截距,并作图. 解:

【例 5】直线 l 过点 P(-6,3),且它在 x 轴上的截距是它在 y 轴上的截距的 3 倍,求直线 l 的方程. 解:

2

【例 6】求证:不论 m 取何实数,直线(2m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0 恒过一个定点,并求出此定点的 坐标. 解:

【例 7】求点 P0(-1,2)到下列直线的距离: (1)2x+y-10=0; (2)3x=2. 解:

【例 8】点 A(a,6)到直线 3x-4y=2 的距离等于 4,求 a 的值. 解:

【例 9】已知点 A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求△ABC 的面积. 解:

【例 10】求过点 A(-1,2),且与原点的距离等于 解:

2 的直线方程. 2

. 【例 11】已知直线 l:2x-y+1=0 和点 O(0,0)、M(0,3),试在 l 上找一点 P,使得||PO|-|PM||的值最大, 并求出这个最大值. 解:

3

强化提升练习 一、选择题 1. 已知点 A(1,2)、B(3,1) ,线段 AB 的垂直平分线的方程是 (A). 4 x ? 2 y ? 5 (B). 4 x ? 2 y ? 5 (C). x ? 2 y ? 5 (D). x ? 2 y ? 5 2. 已知点(a,2)(a>0)到直线 l:x-y+3=0 的距离为 1,则 a 等于 (A). 2 (B). 2 ? 2 (C). 2 ? 1 (D). 1+ 2

3. 直线 3 ? 2 x ? y ? 3 和直线 x ? ( 2 ? 3 ) y ? 2 的位置关系是 (A).相交但不垂直 (B).垂直 (C). 平行 (D).重合 4. 直线 y ? 1 与直线 y ? 3x ? 3 的夹角为 (A). 30? (B). 60? (C). 90?

?

?

(D). 45?

5.过点 M(2, 1)的直线与 x 轴、y 轴分别交于 P、Q 两点,若 M 为线段 PQ 的中点,则这条 直线的方程为 (A)2x–y–3=0 (B)2x+y–5=0 (C)x+2y–4=0 (D)x–2y+3=0 6.点 P(a+b, ab)在第二象限内,则 bx+ay–ab=0 直线不经过的象限是 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 1 7. 被两条直线 x–y=1, y=–x–3 截得的线段的中点是 P(0, 3)的直线 l 的方程 2 8.直线 l1:3x+4y–12=0 与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,过 P(1,0)点作直线 l 平分△AOB 的面积,则直线 l 的方程是 . 二、填空题 1.过点 M(1, 2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程是 . 2.在直线 3x–y+1=0 上有一点 A,它到点 B(1,–1)和点 C(2, 0)等距离,则 A 点坐标 为 . 3.一条直线 l 被两条直线 4x+y+6=0 和 3x–5y–6=0 截得的线段的中点恰好是坐标原点, 则直线 l 的方程为 (A)6x+y=0 (B)6x–y=0 (C)x+6y=0 (D)x–6y=0 4.若直线(2t–3)x+y+6=0 不经过第二象限,则 t 的取值范围是 3 3 3 3 (A)( , +∞) (B)(–∞, ) (C)[ , +∞] (D)(–∞, ) 2 2 2 2 5.设 A(0, 3), B(3, 3), C(2, 0),直线 x=m 将△ABC 面积两等分,则 m 的值是 (A) 3 +1 (B) 3 –1 (C)2 3 (D) 3 6.已知点 P(a, b)与点 Q(b+1, a–1)关于直线 l 对称,则直线 l 的方程是 (A)y=x–1 (B)y=x+1 (C)y=–x+1 (D)y=–x–1

.

4

7.过( 2 , 6 )且在 x, y 轴截距相等的直线方程为

三、解答题 1.已知定点 A(2,?5) ,动点 B 在直线 2 x ? y ? 3 ? 0 上运动,当线段 AB 最短时,求 B 的坐 标.

X

例 2.已知直线 l 过点 P(3, 2),且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点, (1)求△ABO 的面积的最小值及其这时的直线 l 的方程; (2)求直线 l 在两坐标轴上截距之和的最小值。

例 3. 为了绿化城市, 准备在如图所示的区域内修建一个矩形 PQRC 的草坪, PQ∥BC,RQ 且 ⊥BC,另外△AEF 的内部有一文物保护区不能占用,经测量 AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m. y (1)求直线 EF 的方程(4 分 ). P (2)应如何设计才能使草坪的占地面积最大?. D C
F A Q E R B x

5

二、圆与方程
一、本章主要知识点
【1】圆的标准方程的形式 在平面直角坐标系中,设定点 A(a,b) 为某一定圆的圆心坐标,以 r 为半径。 (其中 a、b、r 都是 常数,r>0)设 M(x,y)为这个圆上任意一点的坐标,因此,动点 M 到定点 A 的距离不变,即点 M 满足的 条件 P={M||MA|=r}, MA 为长度恒定的线段。 根据两点间的距离公式,可知: 化简得:

( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r

① ②

( x ? a)2 ? ( y ? b) 2 ? r 2

方程②就是圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程。 【例 1】 已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1) 和 B(2, ?2) ,且圆心在 l : x ? y ? 1 ? 0 上,求圆心为 C 的圆的标 准方程. 解:

【2】圆的一般方程
2 2 2

我们知道,圆的标准方程为:(x-a) +(y-b) =r ,圆心(a,b),半径 r. 把圆的标准方程展开,并整理:x +y -2ax-2by+a +b -r =0. 取 D ? ?2a, E ? ?2b, F ? a ? b ? r 得
2 2 2
2 2 2 2 2

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
这个方程就是圆的一般方程的形式.



【例 2】如果任意给出一个形如 x +y +Dx+Ey+F=0 的方程,它表示的曲线一定是圆吗? 解:把 x +y +Dx+Ey+F=0 配方得
2 2

2

2

D 2 E 2 D 2 ? E 2 ? 4F (x ? ) ? ( y ? ) ? 2 2 4



6

由于

D2 ? E 2 ? 4F ? r 2 ? 0 ,所以做如下讨论: 4
2 2

(1)当 D +E -4F>0 时,方程②表示以(-

D E 1 ,- )为圆心, D 2 ? E 2 ? 4F 为半径的圆; 2 2 2

D E (2)当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程只有实数解 x ? ? D , y ? ? E ,即只表示一个点(- ,- ); 2 2 2 2

(3)当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形 综上所述,方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示的曲线不一定是圆
2 2
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王新敞
学案

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只有当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,它表示的曲线才是圆, 我们把形如 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 )的方程称为圆的一般方程。
2 2
2 【例 3】已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆 ? x ? 1? ? y ? 4 上运动,求线段 AB 的中 2

点 M 的轨迹方程。

课后练习 1. 求经过点 A(5,2),B(3,2),圆心在直线 2x-y-3=0 上的圆的方程;

2.

求以 O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形 OAB 外接圆的方程

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3.

设A (-c, 、(c, (c>0) 0) B 0) 为两定点, 动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距离的比为定值 a a>0) ( , 求 P 点的轨迹
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【3】直线与圆的位置关系
2 2 【例 4】知过点 M(-3,-3)的直线 l 被圆 x ? y ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为 4 5 ,求直线 l 的方程

【例 5】 已知圆的方程是 x ? y ? r , 求经过圆上一点 M x0 , y0 ) ( 的切线的方程。 答案:x0 x ? y0 y ? r 2
2 2 2

【例 6】当 k 为何值时,直线 y=kx+10 与圆 x ? y ? 25
2 2

(1)相离;

(2)相切;

(3)相交

【例 7】圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 上到直线 l :x+y+1=0 的距离为 2 的点有几个?
2 2

答案:3 个

【例 8】若直线 y ? x ? k 与曲线 y ? 1 ? x 恰好有一个公共点,则 k 的取值范围是
2

【例 9】已知圆 C: x ? y ? 2 x ? 4 y ? 20 ? 0 与直线 l : (2m ? 1) x ? (m ? 1) y ? 7m ? 4 ? 0 。
2 2

证明:不论 m 取何值时直线 l 与圆 C 总有两个交点。

【例 10】已知点 A( ? 2,0) ,B(0,2) ,圆 x ? y ? 2 x ? 0 上一点 C,则△ABC 面积的最小值为
2 2

8

【4】圆与圆的位置关系 【例 11】求圆心为(2,1),且与已知圆 x ? y ? 3x ? 0 的公共弦所在直线过点(5, ? 2)的圆的方程.
2 2

【例 12】 两圆 ? y ? 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 与 x ? y ? 2 x ? 13 ? 0 相交于 PQ 两点,则公共弦 PQ 的长为多少?
2 2 2 2

9

三、 圆锥曲线与方程
一、椭圆的定义 把平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹叫做椭圆(eLLipse) .其 中这两个定点叫做椭圆的焦点,两定点间的距离叫做椭圆的焦距.即当动点设为 M 时,椭圆即为点集 P ?

?M | MF

1

? MF2 ? 2a? .

二、椭圆的标准方程(焦点在 x 轴)

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2
(焦点在 y 轴上时,中心在原点的椭圆的标准方程

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? . ) a 2 b2
?5 3? , ? ? ,求它的标准方程. ?2 2?

【例 1】 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ? ?2, 0 ? , ? 2, 0 ? ,并且经过点 ?

【例 2】 如图,在圆 x ? y ? 4 上任取一点 P ,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD , D 为垂足.当点 P 在圆上
2 2

运动时,线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么?

【例 3】 设定点 A ? 6, 2 ? , P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上动点,求线段 AP 中点 M 的轨迹方程. 25 9

10

三、椭圆的简单几何性质 ①范围:由椭圆的标准方程可得,

y2 x2 ? 1 ? 2 ? 0 ,进一步得: ?a ? x ? a ,同理可得: ?b ? y ? b , b2 a

即椭圆位于直线 x ? ?a 和 y ? ?b 所围成的矩形框图里; ②对称性:由以 ?x 代 x ,以 ? y 代 y 和 ?x 代 x ,且以 ? y 代 y 这三个方面来研究椭圆的标准方程的变化, 从而得知椭圆是以 x 轴和 y 轴为对称轴,原点为对称中心; ③顶点: (圆锥曲线的顶点的统一定义)圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点.椭圆有 四个顶点,由于椭圆的对称轴有长短之分,较长的对称轴叫做长轴,较短的叫做短轴; ④ 离 心 率 : 椭 圆 的 焦 距 与 长 轴 长 的 比 e?

c 叫 做 椭 圆 的 离 心 率 ( 0 ? e ? 1 ), a

?当e ? 1时,c ? a,,b ? 0 ; ? 椭圆图形越扁 ?
2 2

?当e ? 0时,c ? 0,b ? a . ? 椭圆越接近于圆 ?

【例 4】求椭圆 16 x ? 25 y ? 400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.

【例 5】如图所示, “神舟”截人飞船发射升空,进入预定轨道开始巡天飞行,其轨道是以地球的中心 F2 为一个焦点的椭圆,近地点 A 距地面 200km ,远地点 B 距地面 350km ,已知地球的半径 R ? 6371km .建 立适当的直角坐标系,求出椭圆的轨迹方程.

11

四、椭圆的第二定义 当点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e ?

c 这个点的轨迹是椭 (0 ? e ? 1) 时, a

圆.定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数 e 是椭圆的离心率. 椭圆的离心率是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比,这就是离心率的几何意义. 【例 6】点 P 与定点 A(2,0)的距离和它到定直线 x ? 8 的距离的比是 1:2,求点 P 的轨迹;

x2 y2 5 【例 7】 已知点 M 为椭圆 且 F F ? ? 1 的上任意一点, 1 、 2 分别为左右焦点; A(1,2) 求 | MA | ? | MF1 | 25 16 3
的最小值.

M D A F
1

五、双曲线的概念 我们把平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1 F2 )的点的轨迹叫做双曲线 (hyperboLa) .其中这两个定点叫做双曲线的焦点,两定点间的距离叫做双曲线的焦距. 即当动点设为 M 时,双曲线即为点集 P ? M MF1 ? MF2 ? 2a . 【例 8】 已知双曲线两个焦点分别为 F1 ? ?5, 0 ? , F2 ? 5, 0 ? ,双曲线上一点 P 到 F1 , F2 距离差的绝对值等 于 6 ,求双曲线的标准方程.

?

?

12

六、双曲线的简单几何性质 ①范围:由双曲线的标准方程得,

y 2 x2 ? ? 1 ? 0 ,进一步得: x ? ?a ,或 x ? a .这说明双曲线在 b2 a 2

不等式 x ? ?a ,或 x ? a 所表示的区域; ②对称性:由以 ?x 代 x ,以 ? y 代 y 和 ?x 代 x ,且以 ? y 代 y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发 生变化没有,从而得到双曲线是以 x 轴和 y 轴为对称轴,原点为对称中心; ③顶点:圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点.因 此双曲线有两个顶点,由于双曲线的对称轴有实虚之分,焦点所在的对称轴叫做实轴,焦点不在的对称轴叫 做虚轴; ④渐近线:直线 y ? ?

x2 y 2 b 叫做双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线; x a a b
c 叫做双曲线的离心率( e ? 1) . a

⑤离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比 e ?

【例 9】求与双曲线 解:

x2 y 2 ? ? 1 共渐近线,且经过 A 2 3, ?3 点的双曲线的标准方及离心率. 16 9

?

?

七、双曲线第二定义 当动点 M(x,y) 到一定点 F(c,0)的距离和它到一定直线 l : x ?

a2 c 的距离之比是常数 e ? ? 1 时,这个 c a a2 叫双曲线的一条准线, c

动点 M(x,y)的轨迹是双曲线。 其中定点 F(c,0)是双曲线的一个焦点, 定直线 l : x ?

常数 e 是双曲线的离心率。双曲线上任一点到焦点的线段称为焦半径。例如 PF 是双曲线的焦半径。 焦点在 x 轴上的双曲线的有关性质: (1)焦点:F1(-c,0),F2(c,0); (2) 渐近线: y ? ?

b c x ;(3)离心率: e ? >1 a a

【例 10】如图,设 M ? x, y ? 与定点 F ? 5, 0 ? 的距离和它到直线 l : x ? 轨迹方程. 解:

16 5 的距离的比是常数 ,求点 M 的 5 4

13

八、抛物线的标准方程

y2=2px(p>0).
标准方程中的系数 p 有明确的几何意义:一次项系数 p 是焦点到准线距离的 2 倍. 由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况,抛物线的标准方程有四种情形(列表如下):

注:四种情形中 P>0;并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆.即:当对称轴为 x 轴时, 2 2 方程等号右端为±2px, 相应地左端为 y ; 当对称轴为 y 轴时, 方程等号的右端为±2py, 相应地左端为 x . 同 时注意:当焦点在正半轴上时,取正号;当焦点在负半轴上时,取负号. 【例 11】 2 (1)已知抛物线的标准方程是 y =6x,求它的焦点坐标和准线方程 (2)已知抛物线的焦点是 F(0,-2),求它的标准方程

【例 12】过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的一条直线与这抛物线相交于 A、B 两点,且 A(x1,y1)、B(x2, y2)(图 2-34).

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九、总结:圆锥曲线

15

一、几种常见求轨迹方程的方法 1.直接法 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式,再用坐标代替这等 式,化简得曲线的方程,这种方法叫直接法. 【例 1】 (1)求和定圆 x2+y2=k2 的圆心的距离等于 4k 的动点 P 的轨迹方程; (2)过点 A(a,0)作圆 O∶x2+y2=R2(a>R>0)的割线,求割线被圆 O 截得弦的中点的轨迹.

2.定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程, 这种方法叫做定义法. 这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件, 或利用平 面几何知识分析得出这些条件.

【例 2】设 Q 是圆 x2+y2=4 上的动点,另有点 A( 3 ,0) ,线段 AQ 的垂直平分线 L 交半径 OQ 于点 P(见 图 2-45),当 Q 点在圆周上运动时,求点 P 的轨迹方程.

3.代换法 若动点 P(x,y)随曲线上的已知点 Q(x0, y0)的变动而变动,且 x0、y0 可用 x、y 表示,则将已知点 Q 的 坐标表达式代入已知曲线方程,即得点 P 的轨迹方程.这种方法称为代换法 (或相关点法,相关点为 Q). 【例 3】已知抛物线 y2=x+1,定点 A(3,1)、B 为抛物线上任意一点,点 P 在线段 AB 上,且有 BP∶PA=1∶ 2,当 B 点在抛物线上变动时,求点 P 的轨迹方程. 分析: P 点运动的原因是 B 点在抛物线上运动,因此 B 可作为相关点,应先找出点 P 与点 B 的联系. 解:

16

4.待定系数法 已知轨迹为圆、椭圆、双曲线以及抛物线等常见曲线形式时,常用待定系数法求其曲线方程.方程式中 的 a、b、p 等参数为求解对象。 【例 4】 已知抛物线 y2=4x 和以坐标轴为对称轴、实轴在 y 轴上的双曲线仅有两个公共点,直线 y=2x 被双曲线截得 线段长为 2 5 ,求此双曲线方程. (弦长公式: L ?

k 2 ? 1 ? x1 ? x2 ? k 2 ? 1 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 )

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课堂练习 1.△ABC 一边的两个端点是 B(0,6)和 C(0,-6),另两边斜率的积是

4 ,求顶点 A 的轨迹。 9

2.点 P 与一定点 F(2,0)的距离和它到一定直线 x=8 的距离的比是 1∶2,求点 P 的轨迹方程,并说明轨迹 是什么图形?

3.求抛物线 y2=2px(p>0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程.

课后作业 1. 两定点的距离为 6,点 M 到这两个定点的距离的平方和为 26,求点 M 的轨迹方程.

2. 动点 P 到点 F1(1,0)的距离比它到 F2(3,0)的距离少 2,求 P 点的轨迹.

3.已知圆 x2+y2=4 上有定点 A(2,0),过定点 A 作弦 AB,并延长到点 P,使 3|AB|=2|AB|,求动点 P 的轨 迹方程.

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