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古典概型讲课稿


数 学 ( 必 修3 )
第三章 概率

古典概型
濮阳市油田第一中学 任海港

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思考交流 形成概念

观察类比 推导公式

例题分析 推广应用

探究思考 巩固深化

总结概括 享受成功

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第一季:抛掷一枚质地均匀的硬币,分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的 次数,要求每个数学小组至少完成20次(最好是整十数),最后由第一季达人 汇总数据填入下表:
抛掷次数 出现正面的 频数 出现正面的 频率 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300

第二季:抛掷一枚质地均匀的骰子,分别记录“1点”、“2点”、“3点”、 “4点”、“5点”和“6点”的次数,要求每个数学小组至少完成20次(最 好是整十数)最后由第二季达人汇总数据填入下表:
抛掷次数 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 出现1点的频率 出现2点的频率 出现3点的频率 出现4点的频率 出现5点的频率 出现6点的频率

课前模拟 自主学习 试验成果:

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试验材料
试 验 一 试 验 二 硬币质地是 均匀的 骰子质地是 均匀的

试验结果
“正面朝上” “反面朝上” “1点”、“2点”、 “3点”、“4点”、 “5点”、“6点”

结果关系
两种随机事件的可能性相 等,即它们的概率都是
1 2

六种随机事件的可能性相

等,即它们的概率都是

1 6

我们把上述试验中的随机事件称为基本事件,它是试验的每一个可能结果。 问题(二) 1.掷硬币基本事件“正面”、“反面”朝上会同时出现吗? 掷骰子基本事件”1点“、”2点“、……”6点“会同时出现吗? 2.掷骰子试验中,随机事件“出现奇数点”是否可以表示成基本事件的和? 随机事件“出现偶数点”是否可以表示成基本事件的和?随机事件“小 于4的点”是否可以表示成基本事件的和? … … 基本事件有如下的特点: (1)任何两个基本事件是互斥的; (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。

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例1 从字母a,b,c,d中任意取出两个不同字母的试验中, 有哪些基本事件?
解:所求的基本事件共有6个: A ? {a, b} B ? {a, c} C ? {a, d } D ? {b, c} E ? {b, d } F ? {c, d }

树状图
b a c d b c d c d

列举法:
按照一定的规律列出 全部的 基本事件

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问题三 从这三个试验中的基本事件的个数和概率两个角度总结出 这类试验具有的共同特点?
试验 试验一 投币 试验二 掷骰 基本事件 情况 “正面朝上” 个数 2个 概率

相同

“反面朝上”

“1点”“2点”“3点” 6个 “4点”“5点”“6点”

例题1 取字母

?a, b? , ?a, c? , ?a, d ? 6个 ?b, c? , ?b, d ? , ?c, d ?

每个基本事件 1 概率都是 基本事件只有 2 有限个 每个基本事件 概率都是 1 6 每个基本事件出 每个基本事件 现的可能性相等 1 概率都是
6

判断某个试验是古典概型的条件是:
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(有限性)
(2)每个基本事件出现的可能性相等。(等可能性)

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概念辨析抢答题:
(1)向一个圆面内随机地投射一个点,如果 该点落在圆内任意一点都是等可能的,你认为这 是古典概型吗?为什么?

(2)如图,某专业选手向一靶心进行射击, 这一试验的结果只有有限个:命中10环、命中9 环……命中1环和不中环。你认为这是古典概型 吗?为什么?

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问题四 1.在掷骰子试验中,随机事件“出现偶数点”的 概率是多少?为什么?
由于每个基本事件都是等可能的,因此利用互斥事件加法公式可得:

P“ ( 出现偶数点” )=P“ ( 2点” )+P“ ( 4点” )+P“ ( 6点” )
? 1 1 1 1 1 ? ? ? 3 ? ? 6 6 6 6 2
1 试验基本事件的总数

=出现偶数点所包含的基本事件个数 ?
=

出现偶数点所包含的基本事件个数 试验基本事件的总数

2.根据上述求解随机事件的具体案例,你能类比猜想出古典概型计 算任何事件的概率计算公式?

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猜想:对于古典概型试验中,任何事件 A的概率为: 对于古典概型试验中,任何事件 A的概率为:
A所包含的基本事件的个数(m个) m (A)= = P 基本事件的总数(n个) n

小试牛刀: 掷硬币试验中,随机事件“出现正面向上”的概率是多少?

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例2

单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从A,B,C,D四个选项

中选择一个正确答案。如果考生掌握了考察的内容,他可以选择唯一正确

的答案。假设考生不会做,他随机的选择一个答案,问他答对的概率是多
少?
解:该试验的可能结果只有4个:选择A、选择B、选择C、选择D,即基本事件共有 4个,考生随机地选择一个答案是选择A,B,C,D的可能性是相等的。因此这是一 个古典概型,从而由古典概型的概率计算公式得:

“答对”所包含的基本事件的个数 1 P (“答对”)= = =0.25 基本事件的总数 4

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在标准化考试中既有单选题又有多选题,多选 题(至少两个)是从A,B,C,D四个选项中选出 所有正确的答案,同学们可能有一种感觉,如果不

例2 变式 探究

知道正确答案,多选题更难猜对,请用数据说明这
是为什么?

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例3 同时掷两个骰子,计算: (1)一共有多少种不同的结果? (2)向上的点数之和是5的概率是多少? 解:(1) 2号骰子 1 2 3 41,2以便区分,由于 5 6 1号骰 1号骰子 解:(1)掷一个骰子的结果有 6种,我们把两个骰子标上记号 12号骰子的任意一个结果配对,我们用一个“有序实数对”来表示组 子的结果都可以与 列表法 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 2 成同时掷两个骰子的一个结果,其中第一个数表示 1 号骰子的结果,第二个数表示 2号骰 一般适 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3 ,5 ) ( 3 ,6 ) 3 子的结果,同时掷两个骰子的结果共有 36 种。 用于分 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4 ,5 ) ( 4 ,6 ) 4 两步完 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5 ,5 ) ( 5 ,6 ) 5 成的结 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6 ,5 ) ( 6 ,6 ) 6 果的列 从表中可以看出同时掷两个骰子的结果共有36种。 举。 (2)在上面的结果中,向上的点数之和为5的结果有4种,分别为: (1,4),(2,3),(3,2),(4,1) 由于所有36种结果是等可能的,其中向上点数之和为5的结果(记为事件 A) 有4种,因此,由古典概型的概率计算公式可得 A所包含的基本事件的个数 4 1 P (A)= = = 基本事件的总数 36 9
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1 ,5 ) ( 1 ,6 )

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例三探究

如果不标上记号,类似于(1,2)和(2,1)的结果将没有区 别。这时,所有可能的结果将是: 非等 可能

(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,2)(2,3)(2,4) (2,5)(2,6)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,4)(4,5)(4,6), (5,5)(5,6)(6,6)共有21种,和是5的结果有2个,它们是(1,4)(2,3) 所求的概率为

P (A)=

A所包含的基本事件的个数 2 = 基本事件的总数 21

错 误

总结经验: 在使用古典概型公式前需先判断试验是否是古典概型即基本事件 是否满足有限性和等可能性,特别是等可能性。

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问题五 根据例2、例3总结利用古典概型公式解题步骤:
1、判断试验是否为古典概型
2、如果是古典概型,利用有规律列举,准确求出基本事件总 个 数n,以及求出要求的事件A包含的基本事件个数m
A所包含的基本事件的个数 m 3、P (A)= = 基本事件的总数 n

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课堂小结

1.你今天学到的知识点:
基本事件特点: ①任何两个基本事件是互斥的 ②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和 ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 ②每个基本事件出现的可能性相等
P (A)= A所包含的基本事件的个数 基本事件的总数

古典概型条件:

古典概率公式:

2.本节课哪个问题或者哪个环节让你感受最深?为什么?

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作业布置: (必做)课本130页练习第1,2题

(选做) (1)网上查阅历史上投掷硬币达人(数学家),了解有关“古典概型” 的历史。 (2)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球,现 从甲、乙两个盒子中各取出1个球,每个小 球被取出的可能性相等。求取 出的两个球上标号为相邻整数的概率。


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