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13-10-23高考三角函数复习专题


三角函数复习专题
★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 性 函 质 数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

值域

??1,1?
当 x ? 2 k? ?

??1,1?
? k ???
当 x ? 2k? ? k ??? 时,

R

?
2

时, ymax ? 1 ; 最值 当 x ? 2 k? ?

ymax ? 1 ;
当 x ? 2 k? ? ?

既无最大值也无最小 值

?
2

k ??? 时, ymin ? ?1. ? k ??? 时, ymin ? ?1. ?
周期性 奇偶性

2?
奇函数 在 ? 2k? ?

2?
偶函数

?
奇函数

? ?

?
2

, 2k? ?

??
2? ?
在 ?2k? ? ? , 2k? ? ? k ??? 上 是 增 函 数 ; 在 在 ? k? ?

? k ??? 上是增函数;在
单调性

? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2? ?

?2k? ,2k? ? ? ?
? k ??? 上是减函数.
对称中心

? ?

?
2

, k? ?

??
? 2?

? k ??? 上是增函数.

? k ??? 上是减函数.
对 称 中 心

对称中心

? k? ,0?? k ???
对称性 对称轴

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ???

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?
无对称轴

x ? k? ?

?
2

?k ? ??

1

★★2.正、余弦定理:在 ?ABC 中有: ①正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R ( R 为 ?ABC 外接圆半径) sin A sin B sin C

? a ? 2 R sin A ? ?b ? 2 R sin B ?c ? 2 R sin C ?

?

a ? ?s i nA ? 2 R ? b ? B? ?s i n 2R ? c ? C? ?s i n 2R ?

注意变形应用

②面积公式: S ?ABC ?

1 1 1 abs sin C ? ac sin B ? bc sin A 2 2 2

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 2 2 2 ③余弦定理: ?b ? a ? c ? 2ac cos B ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ?

?

? b2 ? c2 ? a 2 c o s A ? ? 2bc ? 2 a ? c 2? b 2 ? c o s B ? ? 2ac ? 2 ? a ? b 2? c 2 c o s C ? ? 2ab ?

二、方法总结: 1.三角函数恒等变形的基本策略。 (1)注意隐含条件的应用:1=cos2x+sin2x。 (2)角的配凑。α=(α+β)-β,β=

???
2



???
2

等。

(3)升幂与降幂。主要用 2 倍角的余弦。 (4)化弦(切)法,用正弦定理或余弦定理。 (5)引入辅助角。asinθ +bcosθ = a 2 ? b 2 sin(θ+ ? ),这里辅助角 ? 所在象限由 a、 b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? = 2.解答三角高考题的策略。 (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析” 。 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。

b 确定。 a

2

三、例题集锦: 考点一:三角函数的概念 1.(2011 年东城区示范校考试文 15)如图,设 A 是单位圆和 x 轴正半轴的交点, P、Q 是 单位圆上的两点, O 是坐标原点, ?AOP ? (1)若 Q ( , ) ,求 cos? ? ?

?
6

, ?AOQ ? ? , ? ? ?0, ? ? .

3 4 5 5

? ?

??

(2)设函数 f ?? ? ? OP ? OQ ,求 f ?? ? 的值域. ? 的值; 6?

2. (2011 年西城期末文 15)已知函数 f ( x) ? 3sin 2 x ? 2sin 2 x .(Ⅰ)若点 P(1, ? 3) 在角 ? 的终边上,求 f (? ) 的值; (Ⅱ)若 x ? [ ?

? ?

, ] ,求 f ( x) 的值域. 6 3

考点二:三角函数的图象和性质 3.(2011 年东城区期末文 15)函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? | ? ) 部分图象 如图所示. (Ⅰ) 求 f ( x ) 的最小正周期及解析式; (Ⅱ) 设 g ( x) ? f ( x) ? cos 2 x , 求函数 g ( x) 在区间 x ? [0, ] 上的最大值和最小值.

? 2

? 2

y
1
?? 3

o
?1

? 6

x

3

考点三、四、五:同角三角函数的关系、 诱导公式、三角恒等变换 4. (2010 年海淀期中文 16)已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? cos 2 x .(1)若 f (? ) ? 1 ,求

sin ? ? cos ? 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调增区间.(3)求函数的对称轴方程和对称中心

5.(2011 年丰台区期末文 15)已知函数 f ( x) ? 2sin ? x cos ? x ? 2cos2 ? x ( x ? R,? ? 0 ) ,相邻两条对称轴之间的距离等于

? ? . (Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)当 4 2

? ?? x ? ?0, ? 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值及相应的 x 值. ? 2?

6、 (2011 朝阳二模文 15)已知函数 f ( x) ? 2sin x ? sin(

? ? x) ? 2sin 2 x ? 1 ( x ? R) . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及函数 f ( x ) 的单调递增区间;

(Ⅱ)若 f (

π π x0 2 x0 ? ( ? , ) ,求 cos 2 x0 的值. )? , 4 4 2 3

4

7、 (2011 东城二模问 15) (本小题共 13 分)已知 sin( A ? (Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ?

π π π 7 2 , A?( , ) . )? 4 2 4 10

5 sin A sin x 的值域. 2

考点六:解三角形
8. (2011 年朝阳期末文 15)已知△ ABC 中, 2sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设向量 m ? (cos A, cos 2 A) , n ? (? 小值时, tan( A ?

?
4

12 , 1) ,求当 m ? n 取最 5

2

) 值.

0

0

7

0

3

1

6

9. (2011 年石景山期末文 15)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)若 x ? (0,

3 sin 2 x ? sin x cos x ?

3 ?x ? R ? . 2

?

?
2

4

) ,求 f ( x) 的最大值; (Ⅲ)在 ?ABC 中, 若A? B,

f ( A) ? f ( B ) ?

1 BC ,求 的值. 2 AB

10、 (2011 东城一模文 15)在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c 分,且满 足

2c ? b cos B ? . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 5 ,求△ ABC 面积的最大值. a cos A

5

11、 (2011 丰台一模文 15). 在△ ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边, 且 b2+c2-a2=bc. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设函数 f ( x) ? 值

x x x 3 sin cos ? cos 2 ,当 f ( B ) 取最大 2 2 2

3 时,判断△ ABC 的形状. 2

12 、 (2011 海淀一模文 15). 在 ?ABC 中,内角 A、B 、C 所对的边分别为 a, b, c ,已知

tan B ?

1 1 , tan C ? ,且 c ? 1 . 2 3
(Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

(Ⅰ)求 tan A ;

13、 (2011 石景山一模文 15) .

i n 在 ?ABC 中, 角 A ,B ,C 所对应的边分别为 a ,b ,c , 且 4s
(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值.

2

A? B c o ? s2 2

C?

7 . 2

6

例题集锦答案:
1.(2011 年东城区示范校考试理 15)如图,设 A 是单位圆和 x 轴正半轴的交点, P、Q 是 单位圆上的两点, O 是坐标原点, ?AOP ? (1)若 Q ( , ) ,求 cos? ? ? ★★单位圆中的三角函数定义

?
6

, ?AOQ ? ? , ? ? ?0, ? ? .

3 4 5 5

? ?

??

(2)设函数 f ?? ? ? OP ? OQ ,求 f ?? ? 的值域. ? 的值; 6?

3 4 解: (Ⅰ)由已知可得 cos ? ? , sin ? ? ?????2 分 5 5

Y Q P X O A

?? ? ? ? ? cos?? ? ? ? cos? cos ? sin ? sin ???3 分 6? 6 6 ?
3 3 4 1 ? ? ? 5 2 5 2 ????4 分 3 3?4 ? 10 ?
(Ⅱ) f

?? ? ? OP ? OQ

? ?? ? ? ? cos ,sin ? ? ? cos ? ,sin ? ? ???6 分 6 6? ?

?

3 1 cos? ? sin ? ??????7 分 2 2

?? ? ? sin ? ? ? ? ??????8 分 3? ?
? ?[0, ? ) ?? ?
?

?

? 4? ? [ , ) ???9 分 3 3 3

3 ?? ? ? sin ? ? ? ? ? 1????12 分 2 3? ?

? 3 ? ? ? f ?? ?的值域是 ? ? 2 ,1? ????????????13 分 ? ?
2. (2011 年西城期末理 15)已知函数 f ( x) ? 3sin 2 x ? 2sin 2 x .(Ⅰ)若点 P(1, ? 3) 在角 ? 的终边上,求 f (? ) 的值; (Ⅱ)若 x ? [ ? ★★三角函数一般定义 解: (Ⅰ)因为点 P(1, ? 3) 在角 ? 的终边上, 所以 sin ? ? ?

? ?

, ] ,求 f ( x) 的值域. 6 3

1 3 , cos ? ? , 2 2
7

??????2 分

所以 f (? ) ? 3sin 2? ? 2sin 2 ? ? 2 3sin ? cos ? ? 2sin 2 ?

??????4 分

? 2 3 ? (?

3 1 3 ) ? ? 2 ? (? ) 2 ? ?3 . 2 2 2

??????5 分

(Ⅱ) f ( x) ? 3sin 2 x ? 2sin 2 x ? 3sin2x ? cos 2 x ?1

??????6 分 ??????8 分

? 2sin(2 x ? ) ? 1 , 6
因为 x ? [ ? 所以 ?

?

? ?
,

1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 2 6

6 3

] ,所以 ?

?

6

? 2x ?

?
6

?

5? , 6

??????10 分 ??????11 分 ??????13 分

所以 f ( x ) 的值域是 [?2,1] .

3.(2011 年东城区期末理 15)函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? | ? ) 部分图象 如图所示. (Ⅰ) 求 f ( x ) 的最小正周期及解析式; (Ⅱ) 设 g ( x) ? f ( x) ? cos 2 x , 求函数 g ( x) 在区间 x ? [0, ] 上的最大值和最小值. 解: (Ⅰ)由图可得 A ? 1 , 所以 T ? ? . 所以 ? ? 2 . 当x?

? 2

? 2

y
1

T 2? ? ? ? ? ? , 2 3 6 2

?? 3

o
?1

??2 分

? 6

x

? ? 时, f ( x) ? 1 ,可得 sin(2 ? ? ? ) ? 1 , 6 6
? ? ,所以 ? ? . 2 6
? ). 6
??5 分

因为 | ? |?

所以 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? sin(2 x ? (Ⅱ) g ( x) ? f ( x) ? cos 2 x ? sin(2 x ?

???6 分

?
6

) ? cos 2 x ? sin 2 x cos
??10 分

? ? ? cos 2 x sin ? cos 2 x 6 6

?

? 3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) . 6 2 2 ? ? ? 5? ,所以 ? ? 2 x ? ? . 2 6 6 6

因为 0 ? x ? 当 2x ? 当 2x ?

? ? ? ? ,即 x ? 时, g ( x) 有最大值,最大值为1 ; 6 2 3 ? ? 1 ? ? ,即 x ? 0 时, g ( x) 有最小值,最小值为 ? .??13 分 6 6 2

8

T 2? 1 ? 相邻平衡点(最值点)横坐标的差等;| ? |? ; ? ? ? ymax ? ymin ? ;φ ----代点法 2 T 2
4. (2010 年海淀期中文 16)哦已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? cos 2 x .(1)若 f (? ) ? 1 ,

求 sin ? ? cos ? 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调增区间.(3)求函数的对称轴方程和对称中心 解: (1) f ( x) ? sin 2 x cos

?
6

? cos 2 x sin

?
6

?

1 ? cos 2 x ...3 分 (只写对一个公式给 2 分) 2

?

3 1 sin 2 x ? 2 2 3 3

....5 分

由 f (? ) ? 1 ,可得 sin 2? ?

......7 分

所以 sin ? ? cos ? ?

1 sin 2? 2

......8 分

?

3 6

.......9 分

(2)当 ?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
2

? 2k? , k ? Z ,换元法

..11

即 x ? [?

?
4

? k? ,

?
4

? k? ], k ? Z 时, f ( x) 单调递增.

所以,函数 f ( x) 的单调增区间是 [?

?
4

? k? ,

?
4

? k? ], k ? Z

... 13 分

5.(2011 年丰台区期末理 15)已知函数 f ( x) ? 2sin ? x cos ? x ? 2cos2 ? x ( x ? R,? ? 0 ) ,相邻两条对称轴之间的距离等于

? ? . (Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)当 4 2

? ?? x ? ?0, ? 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值及相应的 x 值. ? 2?
解: (Ⅰ) f ( x) ? sin 2? x ? cos 2? x ? 1 ? 因为

? 2 sin(2? x ? ) ? 1 . ? 意义 4

??4 分 ??6 分 ???7 分

T ? ? ,所以 T ? ? , ? ? 1 . 2 2 ? ? 所以 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 .所以 f ( ) ? 0 4 4 ? (Ⅱ) f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 4
当 x ? ?0, 所以 当 2 x ?

? ?

? ? 3? ?? 时, ? ? 2 x ? ? , ? 4 4 4 2?

无范围讨论扣分

? ? ?? ? ,即 x ? 时, f ( x)max ? 2 ?1 , ?10 分 4 2 8 ? ? 当 2 x ? ? ? ,即 x ? 0 时, f ( x)min ? ?2 . ???13 分 4 4
9

6、 (2011 朝阳二模理 15)已知函数 f ( x) ? 2sin x ? sin(

? ? x) ? 2sin 2 x ? 1 ( x ? R) . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及函数 f ( x ) 的单调递增区间;

(Ⅱ)若 f (

π π x0 2 x0 ? ( ? , ) ,求 cos 2 x0 的值. )? , 4 4 2 3
??????????????1 分 ??????????????2 分 和差角公式逆用 ??????3 分

解: f ( x) ? 2sin x ? cos x ? 2sin 2 x ?1

? sin 2 x ? cos 2 x

? 2 sin( x2 ?

π .) 4

(Ⅰ)函数 f ( x ) 的最小正周期 T ?

2π ? π. ??????????????5 分 2 π π π 令 2kπ ? ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? (k ? Z) , ??????????????6 分 2 4 2 3π π 3π π ≤ 2 x ≤ 2kπ ? . ≤ x ≤ kπ ? . 所以 2kπ ? 即 kπ ? 4 4 8 8 3π π , kπ ? ] (k ? Z) . ?????8 分 所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 [ kπ ? 8 8

(Ⅱ)解法一:由已知得 f ( 两边平方,得 1 ? sin 2 x0 ? 因为 x0 ? ( ?

x0 2 ) ? sin x0 ? cos x0 ? 2 3 ,
2 9
同角关系式

???????9 分

所以 sin 2 x0 ? ?

7 ????11 分 9

π π ? π , ) ,所以 2 x0 ? (? , ) . 4 4 2 2

所以 cos 2 x0 ? 1 ? (? ) ?
2

7 9

4 2 . 9

??????????????13 分

解法二:因为 x0 ? ( ?

π π π π , ) ,所以 x0 ? ? (0, ) . 4 4 4 2

??????????9 分

又因为 f (

x0 x π π 2 ) ? 2 sin(2 ? 0 ? ) ? 2 sin( x0 ? ) ? 2 2 4 4 3 ,
π 1 )? . 4 3
??????????????10 分

得 sin( x0 ?

所以 cos( x0 ? ) ? 1 ? ( ) ?
2

π 4

1 3

2 2 . 3

??????????????11 分

所以, cos 2 x0 ? sin(2 x0 ?

?

π π π ) ? sin[2( x0 ? )] ? 2sin( x0 ? ) cos( x0 ? ) 2 4 4 4
10

1 2 2 4 2 . ? 2? ? ? 3 3 9

诱导公式的运用

7、 (2011 东城二模理 15) (本小题共 13 分)已知 sin( A ? (Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ?

π π π 7 2 , A?( , ) . )? 4 2 4 10

5 sin A sin x 的值域. 2

解: (Ⅰ)因为

π π π 7 2 ? A ? ,且 sin( A ? ) ? , 4 2 4 10 π π 3π π 2 ? A? ? , cos( A ? ) ? ? . 2 4 4 4 10 π 4 π 4 π 4 π π π ? sin( A ? )sin 4 4 4
???6 分

所以

角的变换因为 cos A ? cos[( A ? ) ? ] ? cos( A ? ) cos

??

3 2 2 7 2 2 3 ? ? ? ? . 所以 cos A ? . 5 10 2 10 2 5
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin A ? 所以 f ( x) ? cos 2 x ?

4 . 5 5 sin A sin x 此结构转化为二次函数值域问题 2

1 3 ? 1 ? 2sin 2 x ? 2sin x ? ?2(sin x ? ) 2 ? , x ? R . 2 2
因为 sin x ?[?1,1] ,所以,当 sin x ?

1 3 时, f ( x ) 取最大值 ; 2 2

当 sin x ? ?1 时, f ( x ) 取最小值 ?3 . 所以函数 f ( x ) 的值域为 [ ?3, ] .

3 2

8. (2011 年朝阳期末理 15)已知△ ABC 中, 2sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设向量 m ? (cos A, cos 2 A) , n ? (? 小值时, tan( A ?

?
4

12 , 1) ,求当 m ? n 取最 5

2

) 值.

0

0

解: (Ⅰ)因为 2sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B , 和差角公式逆用
7

所以 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ? sin(? ? A) ? sin A . 因为 0 < A < p ,所以 sin A ? 0 .所以 cos B ? 因为 0 < B < p ,所以 B ?

0

??? 3 分 ??? 5 分

3

?
3

1 . 2

1

6

.

????7 分

11

(Ⅱ)因为 m ? n ? ?

12 cos A ? cos 2 A , ??????? 8 分 5 12 3 2 43 2 所以 m ? n ? ? cos A ? 2 cos A ? 1 ? 2(cos A ? ) ? . ?10 分 5 5 25 3 所以当 cos A ? 时, m ? n 取得最小值. 5
此时 sin A ?

4 4 (0< A< p ) ,于是 tan A ? . 同角关系或三角函数定义??12 分 5 3 )? tan A ? 1 1 ? . tan A ? 1 7
????? 13 分

所以 tan( A ?

?
4

9. (2011 年石景山期末理 15)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)若 x ? (0,

3 sin 2 x ? sin x cos x ?

3 ?x ? R ? . 2

?

?
2

4

) ,求 f ( x) 的最大值; (Ⅲ)在 ?ABC 中, 若A? B,

f ( A) ? f ( B ) ?

1 BC ,求 的值. 2 AB

解: (Ⅰ) f ( ) ?

?

4

3 sin 2

?
4

? sin

?
4

cos

?
4

?

3 1 ? . 2 2

4分

(Ⅱ) f ( x) ?

3 (1 ? cos2 x) 1 3 ? sin 2 x ? 2 2 2

?

? 1 3 sin 2 x ? cos 2 x ? sin( 2 x ? ) . 3 2 2

?6 分

?0 ? x ?

?
2



??

?
3

? 2x ?

?
3

?

2? . 3

?当 2 x ?

?
3

?

?
2

时,即 x ?

5? 时, f ( x) 的最大值为 1 .?8 分 12

(Ⅲ)? f ( x ) ? sin( 2 x ?

? ), 3 ? ? 5? ? 2x ? ? . 3 3 3

若 x 是三角形的内角,则 0 ? x ? ? ,∴ ? 令 f ( x) ?

1 ,得 2

? 1 ? ? ? 5? sin(2 x ? ) ? ? 2 x ? ? 或2 x ? ? ,此处两解 3 2 3 6 3 6
解得 x ?

? 7? 或x ? . 12 4

??10 分

由已知, A , B 是△ ABC 的内角, A ? B 且 f ( A) ? f ( B ) ?

1 , 2

12

? 7? ,B ? , 4 12 ? ∴C ? ? ? A ? B ? . 6
∴A?

?11 分

? 2 BC sin A 4 ? 2 ? 2. 又由正弦定理,得 ? ? 1 AB sin C sin ? 6 2 sin
10、 (2011 东城一模理 15) (本小题共 13 分)

??13 分

在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c 分,且满足 (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 5 ,求△ ABC 面积的最大值. 解: (Ⅰ)因为

2c ? b cos B ? . a cos A

2c ? b cos B ? , a cos A

所以 (2c ? b) ? cos A ? a ? cos B 由正弦定理,得 (2sin C ? sin B) ? cos A ? sin A ? cos B .边化角 整理得 2sin C ? cos A ? sin B ? cos A ? sin A ? cos B . 所以 2sin C ? cos A ? sin( A ? B) ? sin C . 在△ ABC 中, sin C ? 0 . 所以 cos A ? (Ⅱ)由余弦定理 cos A ?
2 2

1 ? , ?A ? . 2 3

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ,a ? 2 5 . 2bc 2
均值定理在三角中的应用 取等条件别忘

所以 b ? c ? 20 ? bc ? 2bc ? 20

所以 bc ? 20 ,当且仅当 b ? c 时取“=” . 所以三角形的面积 S ?

1 bc sin A ? 5 3 . 2
????????13 分

所以三角形面积的最大值为 5 3 .

11、 (2011 丰台一模理 15). 在△ ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边, 且 b2+c2-a2=bc. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设函数 f ( x) ? 值

x x x 3 sin cos ? cos 2 ,当 f ( B ) 取最大 2 2 2

3 时,判断△ ABC 的形状. 2 1 .(余弦定理或公式必须有一个,否则扣 1 分) ??3 分 2
????????4 分

解: (Ⅰ)在△ ABC 中,因为 b2+c2-a2=bc,由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA 可得 cosA=

∵ 0<A<π , (或写成 A 是三角形内角)

13

∴A?

? . 3

????????5 分

(Ⅱ) f ( x) ?

x x x 3 1 1 3 sin cos ? cos 2 ? sin x ? cos x ? 2 2 2 2 2 2

?7 分 ??9 分

? 1 ? sin( x ? ) ? , 6 2
∵A?

? 3

∴ B ? (0,

2? ) 3



? ? 5? ? B? ? 6 6 6

(没讨论,扣 1 分)?10 分

? ? ? 3 ? ,即 B ? 时, f ( B ) 有最大值是 . ?11 分 6 2 2 3 ? ? 又∵ A ? , ∴C ? ∴△ ABC 为等边三角形. ??13 分 3 3
∴当 B ? 12、(2011 海淀一模理 15). (本小题共 13 分) 在 ?ABC 中, 内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a, b, c , 已知 tan B ? (Ⅰ)求 tan A ; 解: (I)因为 tan B ? (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

1 1 tan C ? , , 且c ? 1. 2 3

1 1 tan B ? tan C , tan C ? , tan( B ? C ) ? , ???????1 分 1 ? tan B tan C 2 3

1 1 ? 2 3 ?1 . 代入得到, tan( B ? C ) ? 1 1 1? ? 2 3
因为 A ? 180 ? B ? C , ???????4 分

???????3 分

所以 tan A ? tan(180 ? ( B ? C)) ? ? tan( B ? C) ? ?1 .

角关系

???5 分

(II)因为 0 ? A ? 180 ,由(I)结论可得: A ? 135 . 因为 tan B ? 所以 sin B ?

???????7 分 ????8 分

1 1 ? tan C ? ? 0 ,所以 0 ? C ? B ? 90 . 2 3

10 5 . , sin C ? 10 5

????9 分



a c ? 得a ? 5 , sin A sin C
1 1 ac sin B ? . 2 2

???????11 分

所以 ?ABC 的面积为:

??????13 分

13、 (2011 石景山一模理 15) .

i n 在 ?ABC 中, 角 A ,B ,C 所对应的边分别为 a ,b ,c , 且 4s
(Ⅰ)求角 C 的大小;
14

2

A? B c o ? s2 2

C?

7 . 2

(Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值. 解: (Ⅰ)∵ A 、 B 、 C 为三角形的内角, ∴ A ? B ? C ? ? .



4sin 2

A? B 7 ? cos 2C ? 2 2 , 三角形中角的大小关系 ?
C 7 ? cos 2C ? . 2 2
????2 分

∴ 4 cos ∴ 4?

2

1 ? cos C 7 1 ? (2 cos 2 C ? 1) ? .即 2 cos 2 C ? 2 cos C ? ? 0 . ??4 分 2 2 2 1 ? ∴ cos C ? . 又∵ 0 ? C ? ? , ∴ C ? . ?7 分 2 3
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 A ? B ?

2? 2? ? A) 角度变换 .∴ sin A ? sin B ? sin A ? sin( 3 3

? sin A ? sin
∵ 0? A? ∴ 当 A?

2? 2? 3 3 ? ? cos A ? cos ? sin A ? sin A ? cos A ? 3 sin( A ? ) .?10 分 3 3 2 2 6

?
6

2? ? ? 5? ? A? ? ,∴ . 3 6 6 6 ?

?

2

,即 A ?

?

3

时, sin A ? sin B 取得最大值为 3 .????13 分

15


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