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云南省玉溪一中2016届高三上学期第四次月考数学试卷(理科)


2015-2016 学年云南省玉溪一中高三(上)第四次月考数学试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 2 1.已知集合 A={x|﹣1<x<1},B={x|x ≤2x},则?R(A∩B)等于( ) A.[0,+∞)B.[﹣1,1) C. (﹣∞,0)∪[1,+∞) D.[0,1) 2.由幂函数 y= A. B. 和幂函数 y=x 图象围成的封闭图形的面积为( C. D.
3



3.若复数 z 满足(3﹣4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为( A.﹣4 B.﹣ C. D.4



4.如图,若 Ω 是长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1 后得到的 几何体,其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点,F 为线段 BB1 上异于 B1 的点,且 EH∥A1D1, 则下列结论中不正确的是( )

A.EH∥FG B.四边形 EFGH 是矩形 C.Ω 是棱柱 D.四边形 EFGH 可能为梯形 5.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为 2,则输入的正整数 a 的可能取值的集合是 ( )

A.{1,2,3,4,5} B.{1,2,3,4,5,6}

C.{2,3,4,5} D.{2,3,4,5,6} )

6.已知在等差数列{an}中,a1=120,d=﹣4,若 Sn≤an(n≥2) ,则 n 的最小值为( A.60 B.62 C.70 D.72

7.若向量 , 满足| |=1,| |= A. B. C. D.

,且 ⊥

,则 与 的夹角为(



8.若函数 f(x)=sin(2x+φ) (|φ|< 区间是( A.[2kπ﹣ C.[kπ﹣ ) ,2kπ+ ,kπ+ ](k∈Z)

) 满足 f(x)≤f(

) ,则函数 f(x)的单调递增

B.[2kπ+

,2kπ+

](k∈Z)

](k∈Z) D.[kπ+
2 2

,kπ+

](k∈Z)
2 2

9.已知圆 C1: (x﹣2) +(y﹣3) =1,圆 C2: (x﹣3) +(y﹣4) =9,M,N 分别是圆 C1,C2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( ) A.5 ﹣4 B. 1 C.6﹣2 D.

10.已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,若 cosB= ,a=10,△ABC 的面 积为 42,则 b+ A. B. 的值等于( C. ) D.16

11.过抛物线:y =2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线 l,若直线 l 与抛物线在第一 象限的交点为 A,并且点 A 也在双曲线: 曲线的离心率为( A. B. C. ) D. ﹣ =1(a>0,b>0)的一条渐近线上,则双

2

12.已知函数

,把函数 g(x)=f(x)﹣x+1 的零点按 )

从小到大的顺序排列成一个数列,该数列的前 n 项的和 Sn,则 S10=( 10 9 A.45 B.55 C.2 ﹣1 D.2 ﹣1

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填写在题中的横线上. 13.在( 14. ﹣1) 的展开式中,x 的系数为 ﹣ = .
4



15.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是正三角形,则几何体的外接球的表面积





16.如图,在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=2,AD=DC=1,P 是线段 BC 上一动点, Q 是线段 DC 上一动点, =λ , = (1﹣λ) , 则 ? 的取值范围是 .

三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. )

17.已知等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前 n 项和为 Sn,{bn}是等比数列,b1=1,且 b2S2=64,b3S3=960. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)求证: 都成立.

18.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加,现有来自甲 协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名,乙协会的运动员 5 名,其中种子选手 3 名,从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛. (Ⅰ)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手,且这 2 名种子选手来自同一个协会”, 求事件 A 发生的概率; (Ⅱ)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 19.如图,已知长方形 ABCD 中,AB=2,AD=1,M 为 DC 的中点.将△ADM 沿 AM 折起, 使得平面 ADM⊥平面 ABCM. (1)求证:AD⊥BM; (2) 若点 E 是线段 DB 上的一动点, 问点 E 在何位置时, 二面角 E﹣AM﹣D 的余弦值为 .

20.已知直线 l1:x+y﹣1=0 与椭圆 上的一点, =﹣

+

=1(a>b>0)相交于 A,B 两点,M 是线段 AB

,且点 M 在直线 l2:y= x 上.

(I)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设椭圆左焦点为 F1,若∠AF1B 为钝角,求椭圆长轴长的取值范围. 21.已知函数 f(x)=ax +1n(x+1) . (Ⅰ)当时 a=﹣ 时,求函数 f(x)的单调区间;
2

(Ⅱ)当 x∈[0,+∞)时,函数 y=f(x)的图象上的点都在 求实数口的取值范围.

所表示的平面区域内,

四.请考生在(22) 、 (23)两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做, 则按所做第一个题目计分,作答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

22.在极坐标系中,已知射线 C1:θ=

(ρ≥0) ,动圆 C2:ρ ﹣2x0ρcosθ+x0 ﹣4=0(x0∈R) .

2

2

(1)求 C1,C2 的直角坐标方程; (2)若射线 C1 与动圆 C2 相交于 M 与 N 两个不同点,求 x0 的取值范围. 23. (2014?开封一模)已知函数 f(x)=|2x﹣1|+|x﹣2a|. (Ⅰ)当 a=1 时,求 f(x)≤3 的解集; (Ⅱ)当 x∈[1,2]时,f(x)≤3 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2015-2016 学年云南省玉溪一中高三(上)第四次月考数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 2 1.已知集合 A={x|﹣1<x<1},B={x|x ≤2x},则?R(A∩B)等于( ) A.[0,+∞)B.[﹣1,1) C. (﹣∞,0)∪[1,+∞) D.[0,1) 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题;集合思想;定义法;集合. 【分析】由 A 与 B,求出两集合的交集,根据全集 R,求出交集的补集即可. 2 【解答】解:∵集合 A={x|﹣1<x<1}=(﹣1,1) ,B={x|x ≤2x}=[0,2], ∴A∩B=[0,1) 则?R(A∩B)=(﹣∞,0)∪[1,+∞) 故选:C. 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2.由幂函数 y= A. B. 和幂函数 y=x 图象围成的封闭图形的面积为( C. D.
3



【考点】定积分在求面积中的应用;幂函数的性质. 【专题】计算题;方程思想;综合法;函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】 联立两个解析式得到两曲线的交点坐标, 然后对函数解析式求定积分即可得到结论. 【解答】解:两幂函数图象交点坐标是(0,0) , (1,1) , 所以 S= =( ) = .

故选:D 【点评】 本题求两条曲线围成的曲边图形的面积, 着重考查了定积分的几何意义和积分计算 公式等知识,属于基础题. 3.若复数 z 满足(3﹣4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为( A.﹣4 B.﹣ C. D.4 )

【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式、虚部的定义即可得出. . 【解答】解:∵|4+3i|= ∴(3﹣4i)z=|4+3i|, 化为 = = = , =5.

则 z 的虚部为 . 故选: 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、虚部的定义,属于基础题. 4.如图,若 Ω 是长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1 后得到的 几何体,其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点,F 为线段 BB1 上异于 B1 的点,且 EH∥A1D1, 则下列结论中不正确的是( )

A.EH∥FG B.四边形 EFGH 是矩形 C.Ω 是棱柱 D.四边形 EFGH 可能为梯形 【考点】直线与平面平行的性质. 【专题】计算题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】在 A 中,利用反证法能证明 FG∥EH;由 EH⊥平面 A1ABB1,得到 EH⊥EF,从 而得到四边形 EFGH 为矩形,故 B 正确,D 错误;将 Ω 从正面看过去,是一个五棱柱. 【解答】解:若 FG 不平行于 EH,则 FG 与 EH 相交,交点必然在 B1C1 上,与 EH∥B1C1 矛盾,所以 FG∥EH,故 A 正确; 由 EH⊥平面 A1ABB1,得到 EH⊥EF,可以得到四边形 EFGH 为矩形,故 B 正确; 将 Ω 从正面看过去,就知道是一个五棱柱,故 C 正确; 因为 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1 后, EH B1C1 CF, 所以四边形 EFGH 不可能为梯形,

故 D 错误. 故选:D. 【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培 养. 5.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为 2,则输入的正整数 a 的可能取值的集合是 ( )

A.{1,2,3,4,5} B.{1,2,3,4,5,6} C.{2,3,4,5} D.{2,3,4,5,6} 【考点】程序框图. 【专题】算法和程序框图. 【分析】模拟程序的运行过程,结合退出循环的条件,构造关于 a 的不等式组,解不等式组 可得正整数 a 的可能取值的集合. 【解答】解:输入 a 值,此时 i=0,执行循环体后,a=2a+3,i=1,不应该退出; 再次执行循环体后,a=2(2a+3)+3=4a+9,i=2,应该退出; 故 ,

解得:1<a≤5, 故输入的正整数 a 的可能取值的集合是{2,3,4,5}, 故选:C 【点评】本题考查的知识点是程序框图,其中根据已知框图,采用模拟循环的方法,构造关 于 a 的不等式组,是解答的关键. 6.已知在等差数列{an}中,a1=120,d=﹣4,若 Sn≤an(n≥2) ,则 n 的最小值为( A.60 B.62 C.70 D.72 【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】计算题;压轴题. )

【分析】由等差数列的首项和公差,表示出前 n 项的和 Sn 和通项公式 an,代入到 Sn≤an 得 到关于 n 的一元二次不等式,求出不等式的解集即可得到 n 的取值范围,根据 n 大于等于 2 得到满足题意的 n 的范围,根据 n 的范围即可求出 n 的最小值. 【解答】解:Sn=120n+
2

×(﹣4)=﹣2n +122n,an=120﹣4(n﹣1)=﹣4n+124,

2

因为 Sn≤an,所以﹣2n +122n≤﹣4n+124, 2 化简得:n ﹣63n+62≥0 即(n﹣1) (n﹣62)≥0, 解得:n≥62 或 n≤1(与 n≥2 矛盾,舍去) 所以 n 的最小值为 62.

故选 B 【点评】 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前 n 项和的公式化简求值, 是一道中 档题.

7.若向量 , 满足| |=1,| |= A. B. C. D.

,且 ⊥

,则 与 的夹角为(



【考点】数量积表示两个向量的夹角;平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用. 【分析】 由题意可得 >的值 即可求得< 【解答】解:由题意可得 =0. 解得 cos< 再由< >=﹣ . >= , =0, 即 1+1× >的值. =0,即 =0,∴1+1× ×cos< > ×cos< >=0, 由此求得 cos<

>∈[0,π],可得<

故选 C. 【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量夹角公式的应用,属于基础题.

8.若函数 f(x)=sin(2x+φ) (|φ|< 区间是( A.[2kπ﹣ C.[kπ﹣ ) ,2kπ+ ,kπ+ ](k∈Z)

) 满足 f(x)≤f(

) ,则函数 f(x)的单调递增

B.[2kπ+

,2kπ+

](k∈Z)

](k∈Z) D.[kπ+

,kπ+

](k∈Z)

【考点】正弦函数的图象. 【专题】综合题;转化思想;综合法;三角函数的图像与性质. 【分析】由 f(x)≤f( ) ,对 x∈R 恒成立,结合函数最值的定义,求得 f( )等于函数

的最大值,由此可以确定满足条件的初相角 φ 的值,然后根据正弦型函数单调区间的求法, 即可得到答案. 【解答】解:若 f(x)≤f( 即 2× +φ=2kπ+ ,k∈Z, ) ,对 x∈R 恒成立,则 f( )等于函数的最大值,

则 φ=2kπ﹣

,k∈Z,

又|φ|< ∴φ=﹣ 令 2x﹣

, , ∈[2kπ﹣ ,2kπ+ ],k∈Z,

解得 x∈[kπ﹣

,kπ+

](k∈Z) . ,kπ+ ](k∈Z) .

则 f(x)的单调递增区间是[kπ﹣

故选:C. 【点评】本题考查的知识点是函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换、三角函数的单调性,其中 解答本题的关键是根据已知条件求出满足条件的初相角 φ 的值.属于中档题. 9.已知圆 C1: (x﹣2) +(y﹣3) =1,圆 C2: (x﹣3) +(y﹣4) =9,M,N 分别是圆 C1,C2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( ) A.5 ﹣4 B. 1 C.6﹣2 D. 【考点】圆与圆的位置关系及其判定;两点间的距离公式. 【专题】直线与圆. 【分析】求出圆 C1 关于 x 轴的对称圆的圆心坐标 A,以及半径,然后求解圆 A 与圆 C2 的 圆心距减去两个圆的半径和,即可求出|PM|+|PN|的最小值. 【解答】解:如图圆 C1 关于 x 轴的对称圆的圆心坐标 A(2,﹣3) ,半径为 1, 圆 C2 的圆心坐标(3,4) ,半径为 3,|PM|+|PN|的最小值为圆 A 与圆 C2 的圆心距减去两个 圆的半径和, 即: 故选 A. =5 ﹣4.
2 2 2 2

【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法,两个圆的位置关系,两点距离公式的应用,考 查转化思想与计算能力.

10.已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,若 cosB= ,a=10,△ABC 的面 积为 42,则 b+ A. B. 的值等于( C. ) D.16

【考点】正弦定理. 【专题】解三角形. 【分析】 由 cosB 的值及 B 为三角形的内角, 利用同角三角函数间的基本关系求出 sinB 的值, 利用三角形面积公式表示出三角形 ABC 面积,将 a,sinA 以及已知面积代入求出 c 的值, 再利用余弦定理求出 b 的值,利用正弦定理求出 【解答】解: :∵cosB= ,B 为三角形内角,∴sinB= 的值,即可确定出原式的值. = .

∵a=10,△ABC 的面积为 42,∴ ac?sinB=42,即 3c=42,解得:c=14, ∴由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB=100+196﹣224=72,即 b=6 再由正弦定理可得 = = =10 ,∴b+ =16 ,
2 2 2



故选:B. 【点评】此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形的面积公式,熟练掌握定理及公式是解本 题的关键,属于基础题. 11.过抛物线:y =2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线 l,若直线 l 与抛物线在第一 象限的交点为 A,并且点 A 也在双曲线: 曲线的离心率为( A. B. C. ) D. ﹣ =1(a>0,b>0)的一条渐近线上,则双
2

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由题意画出图形,把 A 的坐标用 p 表示,代入双曲线的渐近线方程得到 a,b 的关 2 2 2 系,结合 a +b =c 求得双曲线的离心率. 【解答】解:如图,

设 A(x0,y0) ,则|AF|=2( 又|AF|= ,∴ ,

) , ,解得 ,

∵A(

)在双曲线:



=1(a>0,b>0)的一条渐近线上,


2 2 2

,解得:



由 a +b =c ,得

,即

,∴



故选:A. 【点评】 本题考查了抛物线与双曲线的几何性质, 考查了数形结合的解题思想方法和数学转 化思想方法,是中档题.

12.已知函数

,把函数 g(x)=f(x)﹣x+1 的零点按

从小到大的顺序排列成一个数列,该数列的前 n 项的和 Sn,则 S10=( ) 10 9 A.45 B.55 C.2 ﹣1 D.2 ﹣1 【考点】数列的求和;函数的零点. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】函数 y=f(x)与 y=x﹣1 在(0,1], (1,2], (2,3], (3,4],…, (n,n+1]上的 交点依次为(0,0) , (1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) ,…, (n+1,n+1) .即函数 g(x) =f(x)﹣x+1 的零点按从小到大的顺序为 0,1,2,3,4,…,n+1.方程 g(x)=f(x)﹣ x+1 的根按从小到大的顺序排列所得数列为 0,1,2,3,4,…,可得数列通项公式. 【解答】解:当 x≤0 时,g(x)=f(x)﹣x+1=x,故 a1=0 当 0<x≤1 时,有﹣1<x﹣1≤0,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2(x﹣1)﹣1+1=2x﹣2,g(x)=f (x)﹣x+1=x﹣1,故 a2=1 当 1<x≤2 时,有 0<x﹣1≤1,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2(x﹣1)﹣2+1=2x﹣3,g(x)=f (x)﹣x+1=x﹣2,故 a3=2

当 2<x≤3 时,有 1<x﹣1≤2,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2(x﹣1)﹣3+1=2x﹣4,g(x)=f (x)﹣x+1=x﹣3,故 a4=3 … 以此类推,当 n<x≤n+1(其中 n∈N)时,则 f(x)=n+1, 故数列的前 n 项构成一个以 0 为首项,以 1 为公差的等差数列 故 S10= =45

故选 A 【点评】本题考查了数列递推公式的灵活运用,解题时要注意分类讨论思想和归纳总结;本 题属于较难的题目,要细心解答. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填写在题中的横线上. 13.在( ﹣1) 的展开式中,x 的系数为 6 . 【考点】二项式定理的应用. 【专题】计算题;二项式定理. 【分析】根据题意二项式( ﹣1) 的展开式的通项公式为 Tr+1=
4 4

?(﹣1) ?

r

,分

析可得,r=1 时,有 x 的项,将 r=1 代入可得答案. 【解答】解:二项式( 令 2﹣ =1,求得 r=2, ∴二项式( ﹣1) 的展开式中 x 的系数为
4

﹣1) 的展开式的通项公式为 Tr+1=

4

?(﹣1) ?

r



=6,

故答案为:6. 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用, 二项展开式的通项公式, 求展开式中某项的系数, 属于中档题

14.



= ﹣4 .

【考点】两角和与差的正弦函数. 【专题】三角函数的求值. 【分析】将所求关系式通分,利用三角恒等变换与二倍角的正弦即可求得答案. 【解答】解:原式= ﹣

=

=

=

=﹣4,

故答案为:﹣4. 【点评】本题考查两角和与差的正弦函数,考查转化思想与运算求解能力,属于中档题. 15.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是正三角形,则几何体的外接球的表面积为

. 【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;立体几何. 【分析】根据题意得到该几何体有一个侧面 PAC 垂直于底面,高为 2 ,底面是一个等腰 直角三角形的三棱锥,如图所示,这个几何体的外接球的球心 O 在高线 PD 上,且是等边三 角形 PAC 的中心,求出外接球的半径,即可确定出表面积. 【解答】解:由已知中正视图是一个正三角形,侧视图和俯视图均为三角形, 可得该几何体是有一个侧面 PAC 垂直于底面,高为 2 ,底面是一个等腰直角三角形的三 棱锥,如图所示, ∴这个几何体的外接球的球心 O 在高线 PD 上,且是等边三角形 PAC 的中心, ∴这个几何体的外接球的半径 R= PD= 则几何体的外接球的表面积为 4πR = 够答案为:
2

, .

【点评】此题考查了由三视图求面积、体积,根据三视图正确画出几何体是解本题的关键. 16.如图,在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=2,AD=DC=1,P 是线段 BC 上一动点, Q 是线段 DC 上一动点, =λ , =(1﹣λ) ,则 ? 的取值范围是 [0,2] .

【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 【专题】平面向量及应用. 【分析】通过向量的坐标运算转化为二次函数的单调性即可得出. 【解答】解:如图所示, A(0,0) ,B(2,0) ,C(1,1) ,D(0,1) . =(1,1)+(1﹣λ) ,λ∈[0,1].

=(1,1)+(1﹣λ) (1,﹣1)=(2﹣λ,λ) . = ∴f(λ)= =﹣λ +3λ = ,
2

=(0,1)+

=(0,1)+λ(1,0)=(λ,1) .

=(2﹣λ,λ)?(λ,1)=λ(2﹣λ)+λ

∵λ∈[0,1],∴f(0)≤f(λ)≤f(1) , ∴0≤f(λ)≤2. ∴ ? 的取值范围是[0,2].

故答案为:[0,2].

【点评】本题考查了向量的坐标运算、二次函数的单调性,属于基础题. 三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.已知等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前 n 项和为 Sn,{bn}是等比数列,b1=1,且 b2S2=64,b3S3=960. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)求证: 都成立.

【考点】数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 【专题】综合题.

【分析】 (1)因为数列{an}为等差数列,所以只要求出首项与公差,就可以求出通项公式, 同样,因为数列{an}为等比数列,所以只要求出首项与公比,就可以求出通项公式,然后根 据 a1=3,前 n 项和为 Sn,{bn}是等比数列,b1=1,且 b2S2=64,b3S3=960.寻找含 a1,d, b1,q 的关系式,求出 a1,d,b1,q 即可. (2)由(1)中所求数列{an}的首项与公差,代入等差数列的前 n 项和公式,求出 Sn,再计 算 ,最后用放缩法即可证明.

【解答】解: (1)设{an}的公差为 d(d>0) ,{bn}的公比为 q, 则

解得

(舍)
*

所以 an=3+2(n﹣1)=2n+1,n∈N , n﹣1 * bn=8 ,n∈N . (2)因为 Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2) 所以 =

= = 故 . 都成立.

【点评】本题考查了等差等比数列通项公式的求法,以及放缩法比较大小. 18.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加,现有来自甲 协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名,乙协会的运动员 5 名,其中种子选手 3 名,从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛. (Ⅰ)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手,且这 2 名种子选手来自同一个协会”, 求事件 A 发生的概率; (Ⅱ)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【专题】概率与统计. 【分析】 (Ⅰ)利用组合知识求出基本事件总数及事件 A 发生的个数,然后利用古典概型概 率计算公式得答案; (Ⅱ)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4,由古典概型概率计算公式求得概率,列 出分布列,代入期望公式求期望.

【解答】解: (Ⅰ)由已知,有 P(A)=



∴事件 A 发生的概率为



(Ⅱ)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4. P(X=k)= (k=1,2,3,4) .

∴随机变量 X 的分布列为: X 1 2 3 4 P 随机变量 X 的数学期望 E(X)= .

【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列与 数学期望等基础知识,考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,是中档题. 19.如图,已知长方形 ABCD 中,AB=2,AD=1,M 为 DC 的中点.将△ADM 沿 AM 折起, 使得平面 ADM⊥平面 ABCM. (1)求证:AD⊥BM; (2) 若点 E 是线段 DB 上的一动点, 问点 E 在何位置时, 二面角 E﹣AM﹣D 的余弦值为 .

【考点】用空间向量求平面间的夹角;平面与平面垂直的性质;与二面角有关的立体几何综 合题. 【专题】综合题;空间位置关系与距离;空间角. 【分析】 (1)先证明 BM⊥AM,再利用平面 ADM⊥平面 ABCM,证明 BM⊥平面 ADM, 从而可得 AD⊥BM; (2)建立直角坐标系,设 ,求出平面 AMD、平面 AME 的一个法向量,利用向 ,即可得出结论.

量的夹角公式,结合二面角 E﹣AM﹣D 的余弦值为

【解答】 (1)证明:∵长方形 ABCD 中,AB=2,AD=1,M 为 DC 的中点, ∴AM=BM= , ∴BM⊥AM, ∵平面 ADM⊥平面 ABCM,平面 ADM∩平面 ABCM=AM,BM?平面 ABCM ∴BM⊥平面 ADM ∵AD?平面 ADM

∴AD⊥BM; (2)建立如图所示的直角坐标系,设 ,

则平面 AMD 的一个法向量



= (





) ,

设平面 AME 的一个法向量为 取 y=1,得 x=0,y=1,z=



,所以 =(0,1,

) ,

因为

求得

,所以 E 为 BD 的中点.

【点评】本题考查线面垂直,考查面面角,正确运用面面垂直的性质,掌握线面垂直的判定 方法,正确运用向量法是关键.

20.已知直线 l1:x+y﹣1=0 与椭圆 上的一点, =﹣

+

=1(a>b>0)相交于 A,B 两点,M 是线段 AB

,且点 M 在直线 l2:y= x 上.

(I)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设椭圆左焦点为 F1,若∠AF1B 为钝角,求椭圆长轴长的取值范围. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】综合题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (Ⅰ)联立直线方程和椭圆方程,利用根与系数的关系求出 A,B 的中点坐标,代 入直线 y= x,求得 a,b,c 的关系,结合隐含条件求得椭圆的离心率;

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 可得 b=c, 结合∠AF1B 为钝角, 即

求出 c 的范围, 再由

求得椭圆长轴长的取值范围. 【解答】解:设 A,B 两点的坐标分别为 A(x1,y1)B(x2,y2) .
2 2 2 2 2 2 2

(Ⅰ) 由

=﹣

, 知 M 是 AB 的中点, 由

, 得: (a +b ) x ﹣2a x+a ﹣a b =0,







∴点 M 的坐标为



又点 M 在直线 l2 上,∴
2 2 2 2 2 2



∴a =2b =2(a ﹣c ) ,∴a =2c ,则
2


2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 b=c,方程化为 3x ﹣4x+2﹣2c =0. 由△=16﹣24(1﹣c )>0,得
2



∴ 由已知可得

, ,即

,y1y2=x1x2﹣(x1+x2)+1=



. 把根与系数的关系代入上式得 c ﹣4c﹣3>0,解得 或 , 综上, . 又 , ∴2a 的取值范围是( ,+∞) . 【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查了直线与圆锥曲线的位置关系,涉及直线与圆锥曲 线的位置关系问题,常采用联立直线方程和圆锥曲线方程,化为关于 x 的一元二次方程后, 利用根与系数的关系求解,是中档题. 21.已知函数 f(x)=ax +1n(x+1) . (Ⅰ)当时 a=﹣ 时,求函数 f(x)的单调区间;
2 2

(Ⅱ)当 x∈[0,+∞)时,函数 y=f(x)的图象上的点都在 求实数口的取值范围.

所表示的平面区域内,

【考点】利用导数研究函数的单调性. 【专题】导数的综合应用. 【分析】 (Ⅰ)将 a 的值代入,求出函数 f(x)的导数,解关于导函数的不等式,从而求出 函数 f(x)的单调区间; 2 2 (Ⅱ)将问题转化为 ax +ln(x+1)≤x 恒成立,设 g(x)=ax +ln(x+1)﹣x, (x≥0) ,只需 g(x)max≤0 即可,通过讨论 a 的范围,得到函数 g(x)的单调性, 从而求出 a 是范围. 【解答】解: (Ⅰ)当 a=﹣ 时,f(x)=﹣ x +ln(x+1) , (x>﹣1) , f′(x)=﹣ x+ =﹣ , (x>﹣1) ,
2

由 f′(x)>0 解得﹣1<x<1,由 f′(x)<0 解得:x>1, ∴函数 f(x)的单调递增区间是(﹣1,1) ,单调递减区间是(1,+∞) ; (Ⅱ)当 x∈[0,+∞)时,函数 y=f(x)的图象上的点都在 所表示的平面区域内,即当 x∈[0,+∞)时,不等式 f(x)≤x 恒成立, 即 ax +ln(x+1)≤x 恒成立,设 g(x)=ax +ln(x+1)﹣x, (x≥0) , 只需 g(x)max≤0 即可, 由 g′(x)=2ax+ ﹣1= , ,
2 2

(i)当 a=0 时,g′(x)=

当 x>0 时,g′(x)<0,函数 g(x)在(0,+∞)单调递减, ∴g(x)≤g(0)=0 成立, (ii)当 a>0 时,由 g′(x)= 因 x∈[0,+∞) ,∴x= ①若 ﹣1, =0,

﹣1<0,即 a> 时,在区间(0,+∞)上,g′(x)>0,

函数 g(x)在(0,+∞)上单调递增,函数 g(x)在[0,+∞)上无最大值,此时不满足; ②若 ﹣1≥0,即 0<a≤ 时,函数 g(x)在(0, ﹣1)上单调递减,

在区间( 足;

﹣1,+∞)上单调递增,同样函数 g(x)在[0,+∞)上无最大值,此时也不满

(iii)当 a<0 时,由 g′(x)=

,∵x∈[0,+∞) ,

∴2ax+(2a﹣1)<0,∴g′(x)<0,故函数 g(x)在[0,+∞)单调递减, ∴g(x)≤g(0)=0 恒成立, 综上:实数 a 的取值范围是(﹣∞,0]. 【点评】本题考查了导数的应用,考查了函数恒成立问题,考查分类讨论思想,本题有一定 的难度.

四.请考生在(22) 、 (23)两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做, 则按所做第一个题目计分,作答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.在极坐标系中,已知射线 C1:θ= (ρ≥0) ,动圆 C2:ρ ﹣2x0ρcosθ+x0 ﹣4=0(x0∈R) .
2 2

(1)求 C1,C2 的直角坐标方程; (2)若射线 C1 与动圆 C2 相交于 M 与 N 两个不同点,求 x0 的取值范围. 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【专题】方程思想;转化思想;综合法;坐标系和参数方程. 【分析】 (1) 利用 tan θ= , θ= 即可得出 C2 的直角坐标方程.
2

(ρ≥0) , 即可得出 C1 的直角坐标方程. 利用



(2)联立

,由于关于 ρ 的一元二次方程 ρ ﹣

x0ρ+x0 ﹣4=0(x0∈R)在[0,+∞)内有两个实根.可得 解出即可得出. 【解答】解: (1)∵tan θ= ,θ= ∴C1 的直角坐标方程为 y= ∵ (ρ≥0) ,∴y= x(x≥0) .

2



x(x≥0) .
2 2 2

,∴C2 的直角坐标方程 x +y ﹣2x0x+x0 ﹣4=0.

(2)联立
2 2

关于 ρ 的一元二次方程 ρ ﹣

x0ρ+x0 ﹣4=0(x0∈R)在[0,+∞)内有两个实根.









解得 2≤x0<4. 【点评】 本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、 曲线的交点坐标、 极坐标方程的应用、 一元二次方程的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

23. (2014?开封一模)已知函数 f(x)=|2x﹣1|+|x﹣2a|. (Ⅰ)当 a=1 时,求 f(x)≤3 的解集; (Ⅱ)当 x∈[1,2]时,f(x)≤3 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法;函数恒成立问题. 【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】 (Ⅰ) 当 a=1 时, 由f (x) ≤3, 可得① 或 ③ , 或② ,

.分别求得①、②、③的解集,再取并集,即得所求.

(Ⅱ) 当 x∈[1,2]时,f(x)≤3 恒成立,即|x﹣2a|≤3﹣|2x﹣1|=4﹣2x,化简得 3x﹣4≤2a≤4 ﹣x.再根据 3x﹣4 的最大值为 2,4﹣x 的最小值 2,可得 2a=2,从而得到 a 的范围. 【解答】解: (Ⅰ)当 a=1 时,由 f(x)≤3,可得|2x﹣1|+|x﹣2|≤3, ∴① ,或② ,或 ③ .

解①求得 0≤x< ;解②求得 ≤x<2;解③求得 x=2. 综上可得,0≤x≤2,即不等式的解集为[0,2]. (Ⅱ)∵当 x∈[1,2]时,f(x)≤3 恒成立, 即|x﹣2a|≤3﹣|2x﹣1|=4﹣2x, 故 2x﹣4≤2a﹣x≤4﹣2x,即 3x﹣4≤2a≤4﹣x. 再根据 3x﹣4 的最大值为 6﹣4=2,4﹣x 的最小值为 4﹣2=2, ∴2a=2,∴a=1, 即 a 的范围为{1}. 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,体现了转化以及分类讨论 的数学思想,属于中档题.


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