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必修1期中期末复习解答题


必修 1 期中期末复习解答题 一、化简求值题: 常侧重考查指数(根式)、对数的运算公式、运算法则等. 1--1. 化简下列各式:(1) log 1 (log2 16) ;
2

(2) (2a b )(?6a b ) ? (?3a b ) .

2 3

1 2

1 2

/>1 3

1 6

5 6

1--2. (1)计算: lg

1 5 2 1 ? lg ? lg12.5 ? log8 9 ? log 3 4 ; (2)已知 3a ? 4b ? 36 ,求 ? 的值. 2 8 a b

二、集合交并补: 常求集合交并补,子集问题,含参问题求范围,与函数的定义域、值域、不等式解法等结合. 2--1.已知:函数 f (x) ? (1)求集合 A;
]

4 ? x ? lg(3x ? 9) 的定义域为 A,集合 B= ?x x ? a ? 0, a ?R ?,
(2)求 A ? B.

2--2.已知函数 f ( x) ?

3? x ?

1 的定义域为集合 A , B ? { x | x ? a} . x?2

(1)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围. (2)若全集 U ? {x | x ? 4 } , a ? ?1 ,求 CU A 及 A ? (CU B) . 1 解: (1)由题意得 A ? x ? 2 ? x ? 3

(2)由题意得 CU A ? x x ? ?2或3 ? x ? 4

?

?

?

?,

由 A ? B 可得: a ? 3

A ? (CU B) ? ?x ?1 ? x ? 3?

.

2--3.已知 A ? ?x | ?1 ? x ? 3? , B ? ?x | m ? x ? 1 ? 3m? (1)当 m ? 1 时,求 A ? B ; (2) 若 B ? CR A ,求实数 m 的取值范围.

2--4.已知函数 y ?

21? 4 x ? x 2 的定义域为 A,函数 y ? log2 ( x ? a ? 1) 的定义域为 B.

(1)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围; (2)若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围.
1 7?x

2--5.已知函数 f ( x) ?

x?3 ?

的定义域为集合 A , B ? x ? Z 2 ? x ? 10 ,

?

?

(1)求 A , (CR A) ? B ; (2)若 A ? C ? R ,求实数 a 的取值范围。 C ? ?x ? R x ? a或x ? a ? 1?; 三、二次函数: 常考查求解析式、最值(在闭区间上的值域、动轴问题) 、单调性(已知单调性求参数范围) 、奇偶性、 解不等式、解方程、恒成立等,关注函数对称轴,分类讨论 3--1.已知:函数 f(x)=x -bx+3,且 f(0)=f(4) 。
2

(1)求函数 y=f(x)的零点,写出满足条件 f(x)<0 的 x 的集合; (2)求函数 y=f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值。

3--2.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 2 (1)求 f (x) 在区间 ? ,3? 上的最大值和最小值; 2 (2)若 g ( x) ? f ( x) ? m x在 ?2,4?上是单调函数, 求 m 的取值范围.
ks5 u

?1 ?

? ?

3--3.已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b (1)若对任意的实数 x 都有 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 成立,求实数 a 的值; (2)若 f ( x ) 为偶函数,求实数 a 的值; (3)若 f ( x ) 在[ 1,+∞)内递增,求实数 a 的范围

3--4.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,已知当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 3 . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)画出函数 f ( x) 的图象,并写出函数 f ( x) 的单调递增区间; (3)求 f ( x) 在区间 [?1,2] 上的值域。

3--5.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a, b, c ? R, a ? 0) , f (?2) ? f (0) ? 0 , f (x) 的最小值为 ? 1 .
2

⑴ 求函数 f (x) 的解析式; ⑵ 设 g ( x) ? f (? x) ? m f ( x) ? 1 ,若 g (x) 在 [?1, 1] 上是减函数,求实数 m 的取值范围;

3--6.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1 (a, b ? R, a ? 0, x ? R) ,若 f (?1) ? 0 ,且函数 f (x) 的值域为 ?0,??? .
2

(1)求函数 f (x) 的表达式; (2)当 x ? [?2,2] 时, g (x) ? f ( x) ? kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围. 四、分段函数问题: 常考查分段函数画图、利用奇偶性等求解析式、求值、求最值、

4--1.已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x(1 ? x) . 求: (1) f (x) 的解

析式.

(2)画出 f (x) 的图像.
y B

4--2.如图, ?OAB 是边长为 2 的正三角形,记 ?OAB 位于直线 x ? t (t ? 0) 左侧 的图形的面积为 f (t ) ,试求函数 f (t ) 的解析式.

O

x ?t

A

x

4--3.已知 y ? f ? x ? 是定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1。 (1)求 f ? x ? 的解析式; 五、应用问题 常考查分段函数(多为二次函数)求解析式、最值问题、单调性问题、解不等式等 5--1.某商店经营的消费品进价每件 14 元,月销售量 Q(百件)与销售价格 P(元)的关系如下图,每月 各 种开支 2000 元, (1)写出月销售量 Q(百件)与销售价格 P(元)的函数关系。 (2)该店为了保证职工最低生活费开支 3600 元,问:商品价格应控制在什么范围? (3)当商品价格每件为多少元时,月利润并扣除职工最低生活费的余额最大?并求出最大值。
y Q(百件)

(2)写出 f ? x ? 的单调区间.(不要求证明)

22

10

1 0 14 20 26 x

??2 P ? 50(14 ? P ? 20) 3.解: (1) Q ? ? 3 ? ?? 2 P ? 40(20 ? P ? 26) ?

(2)当 14 ? P ? 20 时, ( P ? 14)(?2P ? 50) ?100 ? 3600 ? 2000 ? 0, 即 P ? 39P ? 378 ? 0 ,解得
2

18 ? P ? 21 ,故 18 ? P ? 20 ;
当 20 ? P ? 26 时, ( P ? 14)(?

3 P ? 40) ?100 ? 3600 ? 2000 ? 0, 2 56 2 ? P ? 22 ,故 20 ? P ? 22 。所以 18 ? P ? 22 即 3P ? 122P ? 1232 ? 0 ,解得 3

(3)每件 19.5 元时,余额最大,为 450 元。

5--2.某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆汽车的月租金为 3000 元时,可全部租出,当每辆车的月租金增 加 50 元时,未租出的车将会增加 1 辆,租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要 维护费 50 元。 (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能组出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少元?

5--3. 《中华人民共和国个人所得税》第十四条中有下表: 目前,右表中“全月应纳税所得额”是从总收入中减除 2000 元后的余额,例如:某人月总收入 2520 元,减除 2000 元,应纳税所得额就是 520 元,由税率表知其中 500 元税率为 5%,另 20 元的税率为 10%, 所以此人应纳个人所得税 500 ? 5 0 0 ? 20 ?10 0 0 ? 27 元; 级别 1 2 3 全月应纳税所得额 不超过 500 元的部分 超过 500 元至 2000 元的部分 超过 2000 元至 5000 元的部分 税率(%) 5 10 15

?

?

?

(1)请写出月个人所得税 y 关于月总收入 x ? 0 ? x ? 7000? 的函数关系; (2)某人在某月交纳的个人所得税为 190 元,那么他这个月的总收入是多少元? 20.解: (1)由题意可知:

0, ? ? 0 ? x ? 2000 ? ? 0 , ? 2000 ? x ? 2500 ? ? ? x ? 2000 ? ? 5 0 y?? 0 0 ? 2500 ? x ? 4000 ? ?500 ? 5 0 ? ? x ? 2500 ? ?10 0 , ?500 ? 5 0 0 ? 1500 ?10 0 0 ? ? x ? 4000 ? ?15 0 0 , ? 4000 ? x ? 7000 ? ?

……………… 4 分

? 0, ? 0 ? x ? 2000 ? ? 0.05 x ? 100, ? 2000 ? x ? 2500 ? 即y?? ? ? 0.1x ? 225, ? 2500 ? x ? 4000 ? ?0.15 x ? 425, ? 4000 ? x ? 7000 ? ?

……………… 8 分

(2)由函数表达式可知:当 y ? 190 时, 4000 ? x ? 7000 ,

……………… 10 分

于是应有 190 ? 0.15 x ? 425 ,解得 x ? 4100 所以,此人在这个月的总收入是 4100 元。 ……………… 12 分 5--4.东方旅社有 100 张普通客床,若每床每夜收租费 10 元时,客床可以全部租出;若每床每夜收费提高 2 元,便减少 10 张客床租出;若再提高 2 元,便再减少 10 张客床租出;依此情况继续下去.为了获得租 金最多,每床每夜租金选择多少? 20.解:设每床每夜租金为 10 ? 2n(n ? N ) ,则 租出的床位 100 ?10n(n ? N且n ? 10) (3 分)
ks5u

租金 f (n) ? (10 ? 2n)(100 ? 10n) ? 20[ ?( n ? ) ?
2

5 2

225 ] ,其中 n ? N 且n ? 10 (7 分) 4

所以,当 n ? 2 或 n ? 3 时,租金最多(9 分) 如果 n ? 2 ,则 租出床位 100-20=80 张;
ks5u

如果 n ? 3 ,则 租出床位 100-30=70 张(11 分)
ks5u

综合考虑, n 应当取 3,即每床每夜租金选择 10 ? 2 ? 3 ? 16 元(12 分)

六、函数的单调性、奇偶性: 常考查单调性、奇偶性的证明;已知单调性、奇偶性求取值范围或求值; 6--1.已知函数 f ( x) ? x ?

1 ; x

(1) 证明 f ( x) 在 [1, ??) 上是增函数; (2) 求 f ( x) 在 [1, 4] 上的最大值及最小值.

x 2 ? 2x ? a 6--2.已知:函数 f(x)= ,x ? ?1,??? , x
(1)当 a=-1 时,判断并证明函数的单调性并求 f(x)的最小值; (2)若对任意 x ? ?1,??? ,f(x)>0 都成立,试求实数 a 的取值范围。

17. 解: (1)当 a=-1 时 f(x)= 对任意 1 ? x1 ? x2 ,

x 2 ? 2x ? 1 1 ? x? ? 2, x x

1分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ?
∵1 ? x1 ? x2 ,

x ? x2 ( x1 ? x2 )(x1 x2 ? 1) 1 1 ? 2 ? x2 ? ? 2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? x1 x2 x1 x2 x1 x2

3分

∴x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 1, ∴x1 x2 ? 1 ? 0, ∴ f(x 1 )-f(x 2 )<0,f(x 1 )<f(x 2 ) 所以 f(x)在 ?1,??? 上单调递增 5分 6分

所以 x=1 时 f(x)取最小值,最小值为 2

x 2 ? 2x ? a 2 (2)若对任意 x ? ?1,??? ,f(x)>0 恒成立,则 >0 对任意 x ? ?1,??? 恒成立,所以 x + x
2x+a>0 对任意 x ? ?1,??? 恒成立,令 g(x)=x +2x+a, x ? ?1,???
2

因为 g(x)= x +2x+a 在 ?1,??? 上单调递增,
2

所以 x=1 时 g(x)取最小值,最小值为 3+a,∵3+a>0,∴a>-3。

10 分

6--3.已知函数 f ( x ) ? 2 x ?

a ,且 f (1) ? 1 . x

(1)求实数 a 的值,并判断函数 f (x) 的奇偶性(要求写出过程). (2)函数 f (x) 在 ?1 , ? ? ? 上是增函数还是减函数?并用定义证明.

6--4.已知函数 f ( x) ?

2x ?1 . 2x ?1

⑴判断函数 f (x) 的奇偶性,并证明;⑵利用函数单调性的定义证明: f (x) 是其定义域上的增函数.

6--5.设 f ? x ? ?

a ? 2x ? 1 是 R 上的奇函数。 1 ? 2x
(2)判定 f ? x ? 在 R 上的单调性。

(1)求实数 a 的值;

1 6--6.已知函数 f ( x) ? ax ? b 是定义域为 ?? 1,1? 上的奇函数,且 f (1) ? 2 1? x2
(1)求 f ( x) 的解析式, (2)用定义证明: f (x) 在 ?? 1,1? 上是增函数,

(3)若实数 t 满足 f (2t ? 1) ? f (t ? 1) ? 0 ,求实数 t 的范围。 6--7.已知函数 f

( x) ?

ax ? b 1 2 是定义在 ?- 1,1?上的奇函数,且 f ( ) ? . 2 2 5 x ?1

(1) 确定函数 (x)的解析式; (2) 当x ? ?- 1,1?时判断函数 ( x)的单调性,并证明; f f (3) 解不等式f (2 x - 1) ? f ( x) ? 0.

6--8.已知函数 f ( x) ?

5 m x2 ? 2 是奇函数,且 f (2) ? 3 3x ? n

(1) 求实数 m 和 n 的值。 ( 2) 判断函数 f (x) 在 (1, ??) 上的单调性,并加以证明。

6--10.已知函数 f ( x) ? log a (1)求 f (x) 的定义域;

1? x (a ? 0且a ? 1) 1? x
(2)判断 f (x) 的奇偶性并证明.

1 . 2 ?1 (1)求证:不论 a 为何实数 f ( x) 总是为增函数; (2)确定 a 的值, 使 f ( x) 为奇函数; (3)当 f ( x) 为奇函数时, 求 f ( x) 的值域.
6--11.已知函数 f ( x) ? a ?
x

21、解析: (1) ? f ( x) 的定义域为 R, 则

设 x1

? x2 ,
1 2 1 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a ?

1 1 2x ? 2x ? a ? x2 = , 2 x1 ? 1 2 ? 1 (1 ? 2 x )(1 ? 2 x )

? x1 ? x2 , ? 2x1 ? 2x2 ? 0,(1 ? 2x1 )(1 ? 2x2 ) ? 0 ,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,
即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以不论 a 为何实数 f ( x ) 总为增函数. (2) ? f ( x) 为奇函数, ? f (? x) ? ? f ( x) ,即 a ? 解得: a ?

1 1 ? ?a ? x , 2 ?1 2 ?1
?x

1 1 1 . ? f ( x) ? ? x . 2 2 2 ?1 1 1 1 x ?1, (3) 由(2)知 f ( x ) ? ? x , ? 2 ? 1 ? 1 ,? 0 ? x 2 ?1 2 2 ?1

??1 ? ?
七、一类抽象函数问题

1 1 1 ? 0,?? ? f ( x) ? 2 ?1 2 2
x

所以 f ( x ) 的值域为 ( ?

1 1 , ). 2 2
1 2

7--1.已知定义域为 (0 , ? ?) 的函数 f ( x ) 满足:① x ? 1 时, f ( x ) ? 0 ;② f ( ) ? 1 ③对任意的

正实数 x , y ,都有 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y)
1 (1)求证: f ( ) ? ? f ( x) ; (2)求证: f ( x) 在定义域内为减函数; x

(3)求不等式 f (2) ? f (5 ? x) ? ?2 的解集.
7--2.已知 f ( x ) 的定义域为(0,+ ? ) ,且满足 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),又当 x 2 >x 1 >0 时,f(x 2 )>f(x 1 ) 。 (1) 求 f(1) ,f(4) ,f(8)的值; (2) 若有 f(x)+f(x-2) ? 3 成立,求 x 的取值范围。 7--3. 已知 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足 f(xy)=f(x)+f(y) ,f(2)=1. (1)求证:f(8)=3. (2)求不等式 f(x)-f(x-2)>3 的解集. 7--4. 已知函数 f ( x ) 对于任意实数 x, y , 总有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 且当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,f (1) ? ?2 (1)求 f (?1) ; (2)求证: f ( x ) 在 R 上是减函数; (3)求 f ( x ) 在 [?4, 4] 上最大值和最小值. 八、其它问题 8--1.设 f ( x) ?

4x , 若 0 ? a ? 1 ,试求: (1) f (a) ? f (1 ? a) 的值。 4x ? 2

1 2 3 1000 )? f( )? f( ) ??? f ( ) 的值 (2) f ( 1001 1001 1001 1001
x ax x 8--2.已知函数 f ( x) ? 3 ,且 f (a ? 2) ? 18 , g ( x) ? 2 ? 3 ? 4 。

(1)求函数 g (x) 的解析式;

(2)求函数 g (x) 在 x ? [?1,1] 上的值域.

4、解(1)由已知 3

? 18 ,? 3 a ? 2 ,??????3 分 ? g ( x) ? 3ax ? 4 x ? 2 ? (3a ) x ? 4 x ? 2 ? 2 x ? 4 x 。??????6 分 1 2 2 x (2)令 t ? 2 ,则 g ( x) ? h(t ) ? ?t ? 2t ? ?(t ? 1) ? 1, t ? [ ,2] ,??????8 分 2 ? h(t ) max ? h(1) ? 1,??????9 分

a?2

3 , h(2) ? 0 ,? h(t ) min ? 0 ,??????11 分 4 即函数 g (x) 在 x ? [?1,1] 的上值域为 [0,1] 。??????12 分
又 h( ) ?

1 2


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